人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第三冊)同步講義第22講 拓展三：二項(xiàng)分布和超幾何分布辨析原卷版

拓展三：二項(xiàng)分布和超幾何分布辨析考點(diǎn)一超幾何分布考點(diǎn)二二項(xiàng)分布考點(diǎn)三超幾何分布和二項(xiàng)分布的綜合剖析兩種分布的不同點(diǎn)與相同點(diǎn)，關(guān)注概念本質(zhì)區(qū)別與聯(lián)系1、概念不同（1）超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．記作X判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，關(guān)鍵是要看隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布的特征:一個(gè)總體（共有N個(gè)）內(nèi)含有兩種不同的事物A(M個(gè))、B(N-M個(gè))，任取n個(gè)，其中恰有X個(gè)A.符合該條件的即可斷定是超幾何分布。（2）二項(xiàng)分布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率.二項(xiàng)分布必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:①在一次試驗(yàn)中試驗(yàn)結(jié)果，只有SKIPIF1<0與SKIPIF1<0這兩個(gè)，且事件A發(fā)生的概率為SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0；②試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行，即每次重復(fù)做一次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率為SKIPIF1<0.2、隨機(jī)試驗(yàn)的條件不同超幾何分布在試驗(yàn)過程中必須給定總體數(shù)，而且總體必須由數(shù)目明確的“正品”與“次品”兩類構(gòu)成.二項(xiàng)分布進(jìn)行的試驗(yàn)無需知道總體數(shù).3、隨機(jī)試驗(yàn)類型與特點(diǎn)不同超幾何分布的試驗(yàn)：是從含有m（SKIPIF1<0）件次品的N件產(chǎn)品中任取n（SKIPIF1<0件產(chǎn)品，它具有如下特點(diǎn)：（1）有限個(gè)不同的基本事件（2）每個(gè)基本事件的出現(xiàn)是等可能的，我們稱具有這樣特點(diǎn)的試驗(yàn)為古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，可以理解為是不放回抽樣的試驗(yàn)。從另一個(gè)角度看這個(gè)試驗(yàn)，我們也可以看做是包含n個(gè)古典概型隨機(jī)試驗(yàn)的復(fù)合試驗(yàn)，其中第一個(gè)試驗(yàn)是：從N件產(chǎn)品中任取一件，第二個(gè)試驗(yàn)是從余下的N-1件產(chǎn)品中任取一件，以此類推，第n個(gè)試驗(yàn)是從余下的N-（n-1）件產(chǎn)品中任取一件，這n個(gè)試驗(yàn)事相互不獨(dú)立的。二項(xiàng)分布的試驗(yàn)就是我們常說的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即在相同的條件下做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可以理解為有放回抽樣的試驗(yàn)。4、隨機(jī)試驗(yàn)的模型與結(jié)果不同超幾何分布進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是無放回抽樣模型，每一次試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)較多，比如在有3件次品的10件產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品，不同的結(jié)果有C10二項(xiàng)分布進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是重復(fù)試驗(yàn)，所以每次抽取條件不變，可以理解為有放回抽樣模型.而且每一次試驗(yàn)只有兩個(gè)對立的結(jié)果A或A，稱為伯努利試驗(yàn).注：二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣。所以，在解有關(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問題時(shí)，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的（特別注意：二項(xiàng)分布是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的3個(gè)條件成立時(shí)應(yīng)用的.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.）.隨機(jī)變量X表示的事件不同超幾何分布中離散型隨機(jī)變量X表示抽取出的這n件產(chǎn)品中的次品數(shù).所以事件{X=k}表示抽取的n件產(chǎn)品中有二項(xiàng)分布中離散型隨機(jī)變量X表示這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，即成功次數(shù).所以事件{X=k}表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)了k次，事件6、隨機(jī)變量X表示的事件概率計(jì)算公式不同超幾何分布進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)是滿足古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，所以事件{X=k}發(fā)生的概率二項(xiàng)分布中進(jìn)行的是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，滿足獨(dú)立事件的概率乘法公式，所以事件{X=k}發(fā)生的概率7、隨機(jī)變量X的概率計(jì)算條件不同超幾何分布概率計(jì)算會在題設(shè)中給出抽樣個(gè)數(shù)n、總體數(shù)N，會給出或可求出總體中兩類產(chǎn)品中的“次品”數(shù)M.二項(xiàng)分布概率計(jì)算會在題設(shè)中暗示給出或者可求出成功概率p.8、隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望公式不同(1)若X～H(證明由k則EX=∑k=1M?k?CMkCN因?yàn)槌槿∫淮稳〉酱纹犯怕蕿镸N，所以可以理解為抽取一次平均可取到次品MN件，則抽取n次平均可取到次品(2)若X～B(證明同(1)有kCEX=

又

所以EX=因?yàn)樵趎次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A事件發(fā)生的概率為p，所以可以理解為一次隨機(jī)試驗(yàn)中A事件平均發(fā)生p次，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A事件平均發(fā)生np次.9、兩種分布的相同點(diǎn)(1)兩者都是離散型隨機(jī)變量分布，且隨機(jī)變量都只能取非負(fù)整數(shù)值.(2)錯(cuò)解與正解中兩者的數(shù)學(xué)期望會相等.正因?yàn)槿绱?，在抽樣問題中出現(xiàn)答案貌似“正確”，但卻是錯(cuò)解的現(xiàn)象以后，有些同學(xué)甚至很堅(jiān)定地認(rèn)為自己的錯(cuò)解是正確的.究其原因是在題目中取到“次品”概率p=10、兩種分布之間的聯(lián)系當(dāng)總體數(shù)N較小時(shí)，無放回抽樣中按照超幾何分布計(jì)算的概率與有放回抽樣中按照二項(xiàng)分布計(jì)算的概率差異比較明顯，當(dāng)總體數(shù)N不斷變大時(shí)兩種分布計(jì)算的概率逐漸接近，當(dāng)總體數(shù)N無限或很大時(shí)，此時(shí)limN→∞?lim證明因?yàn)镃===(=(NnN(N?1)?(limNlimNlim故limN因此判斷兩種分布時(shí)，不能機(jī)械地以抽樣方法來判定，對于總體數(shù)N很大的這種抽取，盡管是無放回抽樣，但超幾何分布已經(jīng)近似為二項(xiàng)分布了，我們都把它看成是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，按照二項(xiàng)分布來解題.11、實(shí)例：一個(gè)袋中放有SKIPIF1<0個(gè)紅球，（SKIPIF1<0）個(gè)白球，依次從袋中取SKIPIF1<0個(gè)球，記下紅球的個(gè)數(shù)SKIPIF1<0如果是不放回地取，則SKIPIF1<0服從超幾何分布。SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）注：每一次取到紅球的概率是不同的如果有放回地取，則SKIPIF1<0～B（SKIPIF1<0）注：每一次取到紅球的概率是相同的所以，超幾何分布與二項(xiàng)分布的本質(zhì)區(qū)別就在于每一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率是否相同，不同的是超幾何分布，相同的是二項(xiàng)分布。聯(lián)系：當(dāng)抽取的方式從無放回變?yōu)橛蟹呕兀瑤缀畏植甲優(yōu)槎?xiàng)分布，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)N很大時(shí)，超幾何分布變?yōu)槎?xiàng)分布。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)際原型是有放回的抽樣檢驗(yàn)問題，但在實(shí)際應(yīng)用中，從大批產(chǎn)品中抽取少量樣品的不放回檢驗(yàn)，可以近似的看做此類型。拓展：在實(shí)際問題中，哪些語言暗示每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率相同？“從流水線上抽取”“每次試驗(yàn)以事件A發(fā)生的頻率近似作為概率等”12、命題方向主要有兩類：第一類命題直接考查二項(xiàng)分布和超幾何分布；第二類是借用二項(xiàng)分布和超幾何分布的計(jì)算概率的思想，但題目所研究的隨機(jī)變量并不服從二項(xiàng)分布和超幾何分布。13、如何避免發(fā)生兩種分布的誤判要避免發(fā)生兩種分布的誤判，除了需要在知識方面強(qiáng)化對兩種分布概念的理解與辨析，理清概念的本質(zhì)區(qū)別，提高對兩種分布的辨識力之外，由于概率統(tǒng)計(jì)題目包含文字較多，加之部分題目中條件可能會以圖表的形式給出，在緊張的考試過程中，學(xué)生就更加難以從繁冗的已知條件中找準(zhǔn)關(guān)鍵字句提取重要信息，往往憑借并不完善的經(jīng)驗(yàn)選取概率模型解題，但基于兩種分布在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)，學(xué)生在解題時(shí)極易發(fā)生兩種分布的誤判，所以為了避免發(fā)生誤判還需培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣，找準(zhǔn)題目中的關(guān)鍵字句進(jìn)行分析，跳出題目設(shè)置的“陷阱”，走出認(rèn)識誤區(qū).那么為了讓錯(cuò)誤不再重演，如何審題才能避免發(fā)生兩種分布的誤判?通過以上對兩種分布的概念解讀，不難發(fā)現(xiàn)在判斷兩種分布時(shí)需要做到以下五“看”：(1)看總體數(shù)是否給出，末給出或若給出總體數(shù)較大一般考查二項(xiàng)分布.(2)看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項(xiàng)分布.(3)看一次抽取的結(jié)果是否只有兩個(gè)結(jié)果，若只有兩個(gè)對立的結(jié)果A或A，一般考查二項(xiàng)分布.(4)看抽樣方法，如果是有放回抽樣，一定是二項(xiàng)分布;若是無放回抽樣，需要考慮總體數(shù)再確定.(5)看每一次抽樣試驗(yàn)中，事件是否獨(dú)立，事件發(fā)生概率是否不變，若事件獨(dú)立且概率不變，一定考查二項(xiàng)分布，這也是判斷二項(xiàng)分布的最根本依據(jù).考點(diǎn)一超幾何分布1．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？茧A段練習(xí)）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗，設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，白粽8個(gè)，這兩種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(gè)．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．2．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）盒子中有5個(gè)乒兵球，其中2個(gè)次品，3個(gè)正品．現(xiàn)從中不放回地隨機(jī)摸取2次小球，每次一個(gè)．(1)記“第二次摸出的小球是正品”為事件B，求證：SKIPIF1<0；(2)用X表示摸出的2個(gè)小球中次品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和期望．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會被選到．(1)求恰有1名甲班的候選人被選中的概率；(2)用X表示選中的候選人中來自甲班的人數(shù)，求SKIPIF1<0；(3)求（2）中X的分布列及數(shù)學(xué)期望．4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）教育部門最近出臺了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）.“雙減”政策的出合對校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表.消費(fèi)金額（千元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0人數(shù)305060203010該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為SKIPIF1<0的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；5．（浙江省衢溫51聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在2023年3月10日，十四屆全國人大一次會議在北京召開.中共中央總書記、國家主席、中央軍委主席習(xí)近平在十四屆全國人大一次會議閉幕會上發(fā)表重要講話.出席全國兩會的代表委員和全國各地干部群眾紛紛表示，這一重要講話堅(jiān)定歷史自信、飽含人民情懷、彰顯使命擔(dān)當(dāng)、指引前進(jìn)方向，必將激勵(lì)我們在新征程上團(tuán)結(jié)奮斗，開拓創(chuàng)新，堅(jiān)定信心，勇毅前行，作出無負(fù)時(shí)代、無負(fù)歷史、無負(fù)人民的業(yè)績，為推進(jìn)強(qiáng)國建設(shè)、民族復(fù)興作出應(yīng)有貢獻(xiàn).某社區(qū)為調(diào)查社區(qū)居民對這次會議的關(guān)注度，隨機(jī)抽取了60名年齡在SKIPIF1<0的社區(qū)居民，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求選取的社區(qū)居民平均年齡及選取的社區(qū)居民年齡的中位數(shù)；(2)現(xiàn)若樣本中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0年齡段的所有居民都觀看了會議講話，社區(qū)計(jì)劃從樣本里這兩個(gè)年齡段的居民中抽取3人分享此次觀看會議的感受，設(shè)SKIPIF1<0表示年齡段在SKIPIF1<0的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列及期望.6．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間(單位：SKIPIF1<0)的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電舌訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在SKIPIF1<0的人數(shù)SKIPIF1<0分布和數(shù)學(xué)期望.7．（2023·山東聊城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某藥廠研制了治療某種疾病的新藥，該藥的治愈率為p，現(xiàn)用該藥給10位病人治療，記被治愈的人數(shù)為X．(1)若SKIPIF1<0，從這10人中隨機(jī)選2人進(jìn)行用藥訪談，求被選中的治愈人數(shù)Y的分布列；(2)已知SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0{SKIPIF1<0概率SKIPIF1<0最大}，且A中僅有兩個(gè)元素，求SKIPIF1<0．考點(diǎn)二二項(xiàng)分布8．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？家荒＃?022年秋季開始，勞動(dòng)課程將正式成為中小學(xué)的一門獨(dú)立課程，根據(jù)2022年版義務(wù)教育“新課標(biāo)顯示”，清潔與衛(wèi)生、整理與收納、烹飪與健康、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)勞作等任務(wù)，將貫穿不同的年級.某校為了貫徹落實(shí)教育部要求，調(diào)查了在校高中生一周參加勞動(dòng)的時(shí)間，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求a的值；(2)求該校學(xué)生一周參加勞動(dòng)的平均時(shí)間；(3)以頻率估計(jì)概率，若在該市所有學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記一周的勞動(dòng)時(shí)間在SKIPIF1<0的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<09．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考二模）“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心.據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；(2)現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的3人中至少1人的年齡在第1組中的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，從所有參與生態(tài)文明建設(shè)關(guān)注調(diào)查的人員（假設(shè)人數(shù)很多，各人是否關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)互不影響）中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.10．（2023·湖南常德·二模）某大學(xué)一個(gè)專業(yè)團(tuán)隊(duì)為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三款軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團(tuán)隊(duì)調(diào)查了這個(gè)專業(yè)大一四個(gè)班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：班級一二三四人數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)從這SKIPIF1<0人中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0人，求這SKIPIF1<0人恰好來自同一班級的概率；(2)從這SKIPIF1<0名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時(shí)間每人選擇一款軟件，其中選SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩款軟件學(xué)習(xí)的概率都是SKIPIF1<0，且他們選擇SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任一款軟件都是相互獨(dú)立的，設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時(shí)間選軟件SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望．11．（浙江省寧波三鋒教研聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）為了迎接4月23日“世界圖書日”，寧波市將組織中學(xué)生進(jìn)行一次文化知識有獎(jiǎng)競賽，競賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在SKIPIF1<0內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在[80，90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在SKIPIF1<0內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)．為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)求a的值；若現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；(2)若我市所有參賽學(xué)生的成績SKIPIF1<0近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若我市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于10000）隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績在64分以上的學(xué)生數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列?均值．附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．12．（安徽省安慶市示范高中2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）體育課上，體育老師安排了籃球測試，規(guī)定：每位同學(xué)有3次投籃機(jī)會，若投中2次或3次，則測試通過，若沒有通過測試，則必須進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人投籃20次．已知甲同學(xué)每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨(dú)立．(1)求甲同學(xué)通過測試的概率；(2)若乙同學(xué)每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨(dú)立．設(shè)經(jīng)過測試后，甲、乙兩位同學(xué)需要進(jìn)行投籃訓(xùn)練的投籃次數(shù)之和為X，求X的分布列與均值；(3)為提高甲同學(xué)通過測試的概率，體育老師要求甲同學(xué)可以找一個(gè)“最佳搭檔”，該搭檔有2次投籃機(jī)會，規(guī)定甲同學(xué)與其搭檔投中次數(shù)不少于3次，則甲同學(xué)通過測試．若甲同學(xué)所找的搭檔每次投中的概率為SKIPIF1<0且每次是否投中相互獨(dú)立，問：當(dāng)p滿足什么條件時(shí)可以提高甲同學(xué)通過測試的概率？13．（2023春·湖南張家界·高二慈利縣第一中學(xué)?？计谥校┰陂_展某些問卷調(diào)查時(shí)，往往會因?yàn)樯婕皞€(gè)人隱私而導(dǎo)致調(diào)查數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確，某小組為探究“甲校園中曾經(jīng)有多少學(xué)生上課睡過覺”設(shè)計(jì)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩個(gè)問題，SKIPIF1<0問題“你是否曾經(jīng)上課睡過覺”，SKIPIF1<0問題“你是否在上半年出生”，小組成員邀請學(xué)生逐一在裝有SKIPIF1<0、B問題的兩個(gè)袋子中隨機(jī)選取一個(gè)，若答案是肯定的，則向盒子中放入1個(gè)石子，否則直接離開（SKIPIF1<0問題肯定與否定的概率視為相等），由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個(gè)問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實(shí)際情況的答案.(1)若該小組共邀請了100名學(xué)生，盒子內(nèi)出現(xiàn)了30個(gè)石子，甲校園內(nèi)有1000個(gè)學(xué)生，試估計(jì)甲校園內(nèi)曾經(jīng)上課睡過覺的學(xué)生人數(shù)；(2)視（1）問中的頻率為概率，現(xiàn)從該校園中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0名學(xué)生，記其中曾經(jīng)上課睡過覺的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望.14．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由SKIPIF1<0個(gè)相同的元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率均為SKIPIF1<0，各元件之間相互獨(dú)立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個(gè)元件正常工作時(shí)，設(shè)備正常運(yùn)行，否則設(shè)備停止運(yùn)行，記設(shè)備正常運(yùn)行的概率為SKIPIF1<0（例如：SKIPIF1<0表示控制系統(tǒng)由3個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率；SKIPIF1<0表示控制系統(tǒng)由5個(gè)元件組成時(shí)設(shè)備正常運(yùn)行的概率）.(1)若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求SKIPIF1<0；(2)已知設(shè)備升級前，單位時(shí)間的產(chǎn)量為a件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運(yùn)行狀態(tài)下，單位時(shí)間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為SKIPIF1<0，每件高端產(chǎn)品的利潤是2元.記設(shè)備升級后單位時(shí)間內(nèi)的利潤為Y（單位：元）.（i）請用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（ii）設(shè)備升級后，在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個(gè)數(shù)來提高利潤.15．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就．某學(xué)校為了解學(xué)生對航天知識的知曉情況，在全校學(xué)生中開展了航天知識測試（滿分100分），隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的測試成績，按照SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分組，得到如下所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生測試成績的中位數(shù)；(2)用樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的成績，用SKIPIF1<0表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生的成績在SKIPIF1<0上的概率，求SKIPIF1<0取最大值時(shí)對應(yīng)的k的值；(3)從測試成績在SKIPIF1<0的同學(xué)中再次選拔進(jìn)入復(fù)賽的選手，一共有6道題，從中隨機(jī)挑選出4道題進(jìn)行測試，至少答對3道題者才可以進(jìn)入復(fù)賽．現(xiàn)有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨(dú)立．記甲、乙兩人中進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及期望．16．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對某款血夜試劑進(jìn)行試生產(chǎn).(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動(dòng)檢測與人工抽檢.已知該款血夜試劑在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為SKIPIF1<0.①求批次I的血液試劑經(jīng)過前三道工序后的次品率SKIPIF1<0；②第四道工序中智能自動(dòng)檢測為次品的血液試劑會被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測顯示合格率為SKIPIF1<0，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）；(2)已知某批次血液試劑的次品率為SKIPIF1<0，設(shè)100個(gè)血液試劑中恰有1個(gè)為不合格品的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值點(diǎn)SKIPIF1<0.17．（2023·全國·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）調(diào)查問卷中常常涉及到個(gè)人隱私或本人不愿正面回答的問題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實(shí)的.某小區(qū)要調(diào)查業(yè)主對物業(yè)工作是否滿意的真實(shí)情況，現(xiàn)利用“隨機(jī)化選答抽樣”方法制作了具體調(diào)查方案，其操作流程如下：在一個(gè)箱子里放3個(gè)紅球和2個(gè)白球，被調(diào)查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答“你的性別是否為男性？”如果抽到的是白球，則回答“你對物業(yè)工作現(xiàn)狀是否滿意？”兩個(gè)問題均用“是”或“否”回答.(1)共收取調(diào)查問卷100份，其中答案為“是”的問卷為60份，求一個(gè)業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的概率，已知該小區(qū)共有業(yè)主500人，估計(jì)該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的人數(shù)；(2)現(xiàn)為了提高對物業(yè)工作滿意的業(yè)主比例，對小區(qū)業(yè)主進(jìn)行隨機(jī)訪談，請表示不滿意的業(yè)主在訪談中提出兩個(gè)有待改進(jìn)的問題.（i）若物業(yè)對每一個(gè)待改進(jìn)的問題均提出一個(gè)相應(yīng)的解決方案，該方案需要由5名業(yè)主委員會代表投票決定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為SKIPIF1<0，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問題，求某個(gè)問題能夠被解決的概率SKIPIF1<0；（ii）假設(shè)業(yè)主所提問題各不相同，每一個(gè)問題能夠被解決的概率都為SKIPIF1<0，并且都相互獨(dú)立.物業(yè)每解決一個(gè)問題，業(yè)主滿意的比例將提高一個(gè)百分點(diǎn).為了讓業(yè)主滿意的比例提高到80%，試估計(jì)至少要訪談多少位業(yè)主？考點(diǎn)三超幾何分布和二項(xiàng)分布的綜合18．（2021·高二單元測試）一機(jī)床生產(chǎn)了SKIPIF1<0個(gè)汽車零件，其中有SKIPIF1<0個(gè)一等品、SKIPIF1<0個(gè)合格品、SKIPIF1<0個(gè)次品，從中隨機(jī)地抽出SKIPIF1<0個(gè)零件作為樣本.用SKIPIF1<0表示樣本中一等品的個(gè)數(shù).（1）若有放回地抽取，求SKIPIF1<0的分布列；（2）若不放回地抽取，用樣本中一等品的比例去估計(jì)總體中一等品的比例.①求誤差不超過SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的值；②求誤差不超過SKIPIF1<0的概率（結(jié)果不用計(jì)算，用式子表示即可）19．（2023春·河南商丘·高二商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）某外國語高中三個(gè)年級的學(xué)生的人數(shù)相同，現(xiàn)按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中隨機(jī)抽取90位同學(xué)，調(diào)查他們外語詞匯量（單位：個(gè)）掌握情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

詞匯量頻數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0高一年級16SKIPIF1<0220高二年級88SKIPIF1<042高三年級SKIPIF1<06884(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)在這90份樣本數(shù)據(jù)中，從詞匯量位于區(qū)間SKIPIF1<0的高三學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記抽取的這2人詞匯量位于區(qū)間SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本數(shù)據(jù)中詞匯量位于各區(qū)間的頻率作為學(xué)生詞匯量位于該區(qū)間的概率，假設(shè)該學(xué)校有SKIPIF1<0的學(xué)生外語選修日語，且選修日語的學(xué)生中有SKIPIF1<0的人詞匯量位于區(qū)間SKIPIF1<0．現(xiàn)從該學(xué)校任選一位學(xué)生，若已知此學(xué)生詞匯量位于區(qū)間SKIPIF1<0，求他外語選修的是日語的概率．20．（2023春·北京·高二?？茧A段練習(xí)）地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照SKIPIF1<0分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中SKIPIF1<0的值；(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在SKIPIF1<0的三組中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記SKIPIF1<0為3人中成績在SKIPIF1<0的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績在SKIPIF1<0的為A等級，成績在SKIPIF1<0的為B等級，其它為C等級．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率．從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求獲得SKIPIF1<0等級的人數(shù)不少于2人的概率.21．（2023春·四川南充·高三閬中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了SKIPIF1<0名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這SKIPIF1<0名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)為進(jìn)一步了解這SKIPIF1<0名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了SKIPIF1<0人，現(xiàn)從這SKIPIF1<0人中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0人，記周平均閱讀時(shí)間在SKIPIF1<0內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取SKIPIF1<0名學(xué)生，用SKIPIF1<0表示這SKIPIF1<0名學(xué)生中恰有SKIPIF1<0名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在SKIPIF1<0內(nèi)的概率，其中SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，寫出SKIPIF1<0的值．22．（2022秋·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動(dòng)，為鼓勵(lì)更多的人積極參與到宣傳活動(dòng)中來，宣傳活動(dòng)現(xiàn)場設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)．在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案．抽獎(jiǎng)規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行．活動(dòng)開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是SKIPIF1<0．”(1)求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；(2)為了增加抽獎(jiǎng)的趣味性，規(guī)定每個(gè)抽獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有9張卡片的盒中隨機(jī)抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎(jiǎng)規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎(jiǎng)，用X表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和均值．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動(dòng)了我國冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng)，某校組織了一次全校冰雪運(yùn)動(dòng)知識競賽，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競賽得分在SKIPIF1<0為“良好”，競賽得分在SKIPIF1<0為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學(xué)生中，使用分層抽樣抽取10個(gè)學(xué)生，問各抽取多少人？(2)在（1）條件下，再從這10學(xué)生中抽取6人進(jìn)行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(3)以這100名參賽學(xué)生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學(xué)生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為SKIPIF1<0，求隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.24．（2022春·全國·高二期末）2022年全國各地新型冠狀病毒卷土重來，為減小病毒感染風(fēng)險(xiǎn)，人們積極采取措施，其中“戴口罩”是最有效的防疫措施之一．某市為了了解全市居民佩戴口罩的現(xiàn)狀，以便更好的做好宣傳發(fā)動(dòng)工作，主管部門隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們每天戴口罩的時(shí)長分為6段：[0，2），