2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之突破詳解14統(tǒng)計(jì)【含答案】

統(tǒng)計(jì)

一.知識(shí)列表

高考要求

本講模塊高考考點(diǎn)

了解理解掌握

頻率估計(jì)概率A

古典概型互斥事件與對(duì)立事件C

古典概型C

長(zhǎng)度型幾何概型B

幾何概型面積型幾何概型C

體積型幾何概型B

回歸直線B

獨(dú)立性檢驗(yàn)C

統(tǒng)計(jì)

離散型隨機(jī)變量的分布列及期望

C

方差

二.基礎(chǔ)知識(shí)：

古典概型

1.頻率和概率

(1)在相同條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件/是否出現(xiàn)，則"次試驗(yàn)中事件/出現(xiàn)

的次數(shù)m為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例＜(/)=竺為事件A出現(xiàn)的頻率；

n

(2)如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件4發(fā)生的頻率/“(N)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)

記為。(N)，稱為事件4的概率.簡(jiǎn)稱為〃的概率；

(3)頻率和概率有本質(zhì)區(qū)別，頻率隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)；對(duì)于給定

的事件4,由于事件/發(fā)生的頻率/“(N)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率尸(⑷，因此可

以用頻率/；(?)來(lái)估計(jì)概率尸(⑷.概率的取值范圍：

2.互斥事件：如果/CIB為不可能事件4口8=。，則稱事件N與事件8互斥，即事件

A與事件8在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生.互斥事件的概率加法公式:

P(AU8)=P{A+8)=尸(/)+P(B)

P(4U4U-U4)=P(4)+P(4)+-+P(4)

3.對(duì)立事件：若NOB為不可能事件，而NU8為必然事件，那么事件4與事件5互為對(duì)

立事件，其含義是事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生.

對(duì)立事件的概率：P(7)=1-P(Z)

4.古典概型

(1)基本事件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱為基本事件.

基本事件的特點(diǎn)：

①任何兩個(gè)基本事件是互斥.

②任何事件都可以表示成基本事件的和.

(2)古典概型的兩大特點(diǎn)：

①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

5.古典概型的概率計(jì)算公式：

P('47)=嗯總曾的基譽(yù)本f事號(hào)件個(gè)氏數(shù)數(shù)=-n("為總的基本事件個(gè)數(shù)，m為事件A的結(jié)果數(shù))

6.幾何概型

(1)幾何概型的概念

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概

率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.

(2)兒何概型的概率公式

/X構(gòu)成事件的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

(J一試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的的區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)

7.統(tǒng)計(jì)

1.抽樣方法

(1)抽樣要具有隨機(jī)性、等可能性，這樣才能通過(guò)對(duì)樣本的分析和研究更準(zhǔn)確的反映總體的

情況，常用的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.

(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是指一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為園(較小的有限數(shù))，通過(guò)逐個(gè)抽取一個(gè)樣本，且每

次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機(jī)數(shù)表

法.

(3)分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個(gè)部分，然后按各部

分所占比例抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

(4)系統(tǒng)抽樣是當(dāng)總體中的個(gè)數(shù)較多時(shí)，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽

取.

2.總體分布的估計(jì)

(1)作頻率分布直方圖的步驟：

①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)

②決定組距與組數(shù)

③將數(shù)據(jù)分組

④列頻率分布表(下圖)

分組頻數(shù)頻率累計(jì)頻率

f\f\

[%,上2)r2fz工+%

????????????

醫(yī)Tfk工+月+?=>/;1

⑤畫頻率分布直方圖，將區(qū)間［a,b)標(biāo)在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個(gè)組

距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫矩形，共得上個(gè)矩形，這樣得到的圖形叫頻

率分布直方圖.

頻率分布直方圖的性質(zhì)：①第i個(gè)矩形的面積等于樣本值落入?yún)^(qū)間弘_1,方)的頻率；②由

于工十月■+?=./；1，所以所有小矩形的面積的和為1.

(2)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上邊的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量

的增加，折線圖會(huì)越來(lái)越近似于一條光滑曲線，稱之為總體密度曲線.

(3)統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是中格中間的一列數(shù)，葉是從莖旁邊

長(zhǎng)出來(lái)的一列數(shù).

用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始信息的損失，所有的數(shù)據(jù)

信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以在比賽時(shí)隨時(shí)記錄，方便記錄與表示.

3.平均數(shù)和方差的計(jì)算

-1

(1)如果有〃個(gè)數(shù)據(jù)玉，X2xn,則x=—…+x〃)

n

i___

叫做這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，=±[(X「X)2+(X2-X)2+―+(X“-X)2]

n

叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s叫做標(biāo)準(zhǔn)差.

1—2

⑵公式/…+]

n

⑶當(dāng)一組數(shù)據(jù)M，x2%中各數(shù)較大時(shí)，可以將各數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)〃，得到

,一,2

2

x/=xj-a,x2'=x^,a―,毛'=勺a,則s?=一]5」％2”+—I-X?)-MX]

n

4.利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征

(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以

估計(jì)中位數(shù)值.

(2)平均數(shù)：平均數(shù)的估計(jì)值等于每個(gè)小矩形的面積乘以矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和.

(3)眾數(shù)：最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(4)極差=最大數(shù)一最小的數(shù).

5.兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系

(1)如果兩個(gè)變量之間沒(méi)有函數(shù)關(guān)系所具有的確定性，它們的關(guān)系帶有隨機(jī)性，則稱這兩個(gè)

變量具有相關(guān)關(guān)系.

(2)有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，若一個(gè)變量的值由小到大時(shí)，另一個(gè)變量的值也是由小到大，

這種相關(guān)稱為正相關(guān)；反之，一個(gè)變量的值由小到大，另一個(gè)變量的值由大到小，這種相

關(guān)稱為負(fù)相關(guān).

(3)如果散點(diǎn)圖中，具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量所有觀察值的數(shù)據(jù)點(diǎn)，分布在一條直線附近，

則稱這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線，方程為

-〃*歹

其中族=與-----------a=y-bx

打：一喉了

/=1

(4)樣本的相關(guān)系數(shù)

Zx,"一府?歹

r-ii=l----------------

但(七一亍)2$(其一歹了

Vi=l1=1

當(dāng)r〉0時(shí)，表示兩個(gè)變量正相關(guān)，當(dāng)r<0時(shí)，表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，|川越接近于

1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；|川越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性

相關(guān)關(guān)系.通常當(dāng)|r|>0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.

6.獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)分類變量

用變量的不同“值”，表示個(gè)體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量.例如：是否

吸煙，信仰信仰，國(guó)籍等.

(2)列聯(lián)表：即列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表：一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量［和亍，它們的

值域分別為｛』62｝和｛%,%｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為:

合計(jì)

Yiy2

Xaba-\-b

X2Cdc+d

合計(jì)a+cb+dn

其中n=a+b+c+d為樣本容量.

(3)可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較為準(zhǔn)確地給出這種

判斷的可靠程度，具體做法是：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算由公式

n(ad-be)2

K2所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量的觀測(cè)值上,并且人的值越大,

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

說(shuō)明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大，同時(shí)可以利用以下數(shù)據(jù)來(lái)確定”>與丫有關(guān)

系”的可信程度.

這種利用隨機(jī)變量K?來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法

稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).

3.典例分析

例1.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：

5人及5人以

排隊(duì)人數(shù)01234

上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少:

(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少.

C

記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件“1人排隊(duì)等候”為事件8,“2人排隊(duì)等候”為事件C,

“3人排隊(duì)等候”為事件。，“4人排隊(duì)等候”為事件E,“5人及5人以上排隊(duì)等候”為

事件下,則事件瓦尸互斥.

(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G,則G=N+8+C,所以

P(G)=P(A)+P(6)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一：記“至少3人排隊(duì)等候"為事件"，則”=。+￡+尸，所以

P(H)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件則其對(duì)立事件為事件G,所以

P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.

練習(xí)1.在12件瓷器中，有10件一級(jí)品，2件二級(jí)品，從中任取3件.

(1)“3件都是二級(jí)品”是什么事件？

(2)“3件都是一級(jí)品”是什么事件？

(3)“至少有一件是一級(jí)品”是什么事件？

(1)不可能事件(2)隨機(jī)事件(3)必然事件

(1)因?yàn)?2件瓷器中，只有2件二級(jí)品，取出3件都是二級(jí)品是不可能發(fā)生的，故是不

可能事件.

(2)“3件都是一級(jí)品”在題設(shè)條件下是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的，故是隨機(jī)事件.

(3)“至少有一件是一級(jí)品”是必然事件，因?yàn)?2件瓷器中只有2件二級(jí)品，取三件必有

一級(jí)品.

練習(xí)2.盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球.

(1)“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

4

(1)0,(2)-(3)1

9

【解析】（1）“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下根本不可能發(fā)生，因此它是不可能事件，其概率為0.

（2）“取出的球是白球”是隨機(jī)事件，它的概率是：4.

9

（3）“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2.已知。，8c為集合2={1,2,3,4,5,6}中三個(gè)不同的數(shù)，通過(guò)右邊框圖給出的一個(gè)算

法輸出一個(gè)整數(shù)a,則輸出的數(shù)。=5的概率是（）

A

根據(jù)框圖判斷，本框圖輸出的。為輸入的三個(gè)數(shù)a,8c中的最大值

最大值是3的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,1種情況

最大值是4的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3里兩個(gè)以及4,3種情況

最大值是5的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,4里兩個(gè)數(shù)以及5,6種情況

最大值是6的情況，輸入的三個(gè)數(shù)為1,2,3,4,5里兩個(gè)數(shù)及6,10種情況

2

a=5的概率=

5

2

故答案為

5

練習(xí)1.五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己

的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來(lái)；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著.那么,

沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為

]_n155

A.D.---c.UD.

2323216

C

【解析】五個(gè)人的編號(hào)為12345

由題意，所有事件共有=32種，沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的基本事件有

(1),(2),(3),(4),(5),(1,3),(1,4),(2,4),再加上(Z5),(3,5)

沒(méi)有人站起來(lái)的可能有1種，共11種情況,

所以沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為—

32

故答案選c

練習(xí)2.一鮮花店一個(gè)月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:

日銷售量

0-4950?99100—149150?199200?250

（枝）

銷售天數(shù)

3天3天15天6天3天

（天）

將日銷售量落入各組區(qū)間的頻率視為概率.

（1）試求這30天中日銷售量低于100枝的概率;

（2）若此花店在日銷售量低于100枝的6天中選擇2天作促銷活動(dòng)，求這2天的日銷售量

都低于50枝的概率（不需要枚舉基本事件）.

(1)(2)-

55

3131

(1)設(shè)日銷售量為X,則尸(04xW49)=」-=」>,P(50<x<100)=—=—

'73010'73010

由互斥事件的概率加法公式,

P（0<x<100）=P（0<x<49）+P（50<x<100）=^+^=-.

注：直接按照古典概型的計(jì)算公式，得尸（0Wx<100）=黑=3.同樣給分.

（2）日銷售量低于100枝共有6天，從中任選兩天促銷共有〃=15種情況；日銷售量低于

50枝共有3天，從中任選兩天促銷共有〃?=3種情況.

由古典概型的概率計(jì)算公式，所求概率P=23=±1.

155

【防陷阱措施】求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本

事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形

圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.

例3.在區(qū)間[0,4]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程一一四+3P-8=0有兩個(gè)正根的概率

為（）

2

3

A>0

）8

方程/一川+3p-8=0有兩個(gè)正根，則有1須+々>0，即解得P之8或

xxx2>0

又pe[0,4],由幾何概型概率公式可得方程f—1+3口—8=0有兩個(gè)正根的概率為

練習(xí)1.在棱長(zhǎng)為。的正方體中隨機(jī)地取一點(diǎn)p,則點(diǎn)p與正方體各表面的距離都大于巴的

3

概率為（）

符合條件的點(diǎn)〃落在棱長(zhǎng)為@的正方體內(nèi),

3

\3）1

根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得P==—

a327

練習(xí)2.正方體/8GD—%用G。中，點(diǎn)。在&C上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則8。與力A所

成角的取值范圍是（）

兀兀717171717171

4'3

D

【解析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，44、DC、DD]分別為X、》、z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,設(shè)點(diǎn)

P坐標(biāo)為（X[-x,x）,則赤=（x-L—x,x）,苑=（-L（M）設(shè)正南的夾角為a,所以

_______1_______________1_______

,所以當(dāng)x時(shí),cosa取最大值

/x-l)2+2x2Xy/2｝卜一］+：啦

迫71

，a~6

2

IJI

當(dāng)x=l時(shí)，cosa取最小值一,a=—.

23

因?yàn)锽CJ/4Di.

故選D.

例4.太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖形圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽(yáng)輪轉(zhuǎn)，相反相

成是萬(wàn)物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美.按照太極圖的構(gòu)

7T

圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓。被歹=3sin±x的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案,

6

其中小圓的半徑均為1,現(xiàn)在大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）

B

rri1c

設(shè)大圓的半徑為R,則：R=-=-x—=6,

22工

6

則大圓面積為：5=萬(wàn)夫2=36不，小圓面積為：$2=?xFx2=2不，

2萬(wàn)1

則滿足題意的概率值為："=二=上.本題選擇B選項(xiàng).

36萬(wàn)18

練習(xí)1.北宋歐陽(yáng)修在《賣油翁》中寫道：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐

以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無(wú)他，唯手熟爾.”可見技能都能通過(guò)

反復(fù)苦練而達(dá)至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為1.2c加的圓，中間有邊長(zhǎng)為0.4c加的正

方形孔，你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油滴(油滴的大小忽略不計(jì))正好落入孔中的概率

為()

A.—B.—C.—D.—

9兀946萬(wàn)6萬(wàn)

B

0421

概率為幾何概型，測(cè)度為面積，概率=——,選B.

1.22^-9兀

練習(xí)2.甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)

地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待的概率是()

91c73

A.—B.-C.—D.一

162168

【解析】設(shè)甲到達(dá)的時(shí)刻為X,乙到達(dá)的時(shí)刻為y,則所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?/p>

n={(x,y)10Wx424,0WyW24},設(shè)“這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待”為事件A,則

事件A包含的基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)閊={(x,y)|0<x<M0<y<24:[x-y|<6},如圖中陰影部分

所示.

乙

船

到

達(dá)

時(shí)

間

I

由幾何概型概率公式得尸(〃)=醇=118x187

=—,即這兩艘船中至少有一艘在停

24x2416

靠泊位時(shí)必須等待的概率為工，選目

16

【防陷阱措施】求解幾何概型的概率問(wèn)題，一定要正確確定試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，

從而正確選擇合理的測(cè)度，進(jìn)而利用概率公式求解.

幾何概型應(yīng)注意：

(1)求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，然后

求解；

(2)依據(jù)幾何概型的特點(diǎn)判斷基本事件應(yīng)從“等可能”的角度入手，選擇恰當(dāng)合理的觀察角

度；

(3)求與角度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化成角度，然后求解.

例5.雙十一網(wǎng)購(gòu)狂歡，快遞業(yè)務(wù)量猛增.甲、乙兩位快遞員11月12日到18日每天送件

數(shù)量的莖葉圖如圖所示.

(I)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)快遞員的平均送件數(shù)量較多(寫出結(jié)論即可);

(II)求甲送件數(shù)量的平均數(shù);

(III)從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取2個(gè)，求至少有一個(gè)送件數(shù)量超過(guò)甲的平均送件數(shù)量的概

率.

甲乙

64245

4312526

8226359

277

(I)乙快遞員的平均送件數(shù)量較多(H)三=254(III)—

21

(I)由莖葉圖知甲快遞員11月12日到18日每天送件數(shù)量相對(duì)乙來(lái)說(shuō)位于莖葉圖的左上

方偏多,

二乙快遞員的平均送件數(shù)量較多.

(II)甲送件數(shù)量的平均數(shù):

亍=*44+246+251+253+254+262+268)=254

(III)從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件總數(shù)曾=21，

至少有一個(gè)送件數(shù)量超過(guò)甲的平均送件數(shù)量的對(duì)立事件是抽取的2個(gè)送件量都不大于254,

...至少有一個(gè)送件數(shù)量超過(guò)甲的平均送件數(shù)量的概率：

練習(xí)1.在某公司的職工食堂中，食堂每天以3元/個(gè)的價(jià)格從面包店購(gòu)進(jìn)面包，然后以5

元1個(gè)的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以1元/個(gè)的價(jià)格賣給飼料加工廠.根據(jù)以

往統(tǒng)計(jì)資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購(gòu)進(jìn)了90個(gè)

面包，以x(個(gè))(其中60WXW110)表示面包的需求量，T(元)表示利潤(rùn).

(1)根據(jù)直方圖計(jì)算需求量的中位數(shù);

(2)估計(jì)利潤(rùn)7不少于100元的概率;

（1）85個(gè)；（2）0.75;（3）142.

【解析】需求量的中位數(shù)號(hào)=85(個(gè))(其它解法也給分)

（2）由題意，當(dāng)60WXK90時(shí)，利潤(rùn)7=5丫+1-（90-了）-3*90=4X一180,

當(dāng)90<XK110時(shí)，利潤(rùn)『=5x90—3x90=180,

180（90<^<110）

設(shè)利潤(rùn)T不少于100元為事件A,利潤(rùn)T不少于100元時(shí)，即4X-1802100，

：.X>70,即70WXWU0,由直方圖可知，當(dāng)70WXWU0時(shí),

所求概率：P（/）=1-0（彳）=1-0.025x（70-60）=0.75

練習(xí)2.2017年“十一”期間，高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小

型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)

調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁?而")分成六段：[60,65),[65,70),

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),后得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;

(2)若從車速在［60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概

率.

Q

(1)77.5,77.5.(2)0=一.

15

【解析】(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于”.5,

設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車速為X,則中位數(shù)的估計(jì)值為：

O.Olx5+O.O2x5+O.O4x5+0.06x(x-75)=0.5,解得x=77.5.

即中位數(shù)的估計(jì)值為77.5.

(2)從圖中可知，車速在［60,65)的車輛數(shù)為：叫=0.01x5x40=2(輛)，

車速在［65,70)的車輛數(shù)為：帆2=002x5x40=4(輛)，

設(shè)車速在［60,65)的車輛設(shè)為a,b,車速在［65,70)的車輛設(shè)為c,d,e,/,則

所有基本事件有：(a,b)，(a,c),(a,d),(a,e),(a,/)，(b,c),(b,d),

(b,e),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(e,y)共15種，

其中車速在［65,70)的車輛恰有一輛的事件有：(a,c),(a,d),(a,e),

(b,c),(b,d),(h,e),伍,/)共8種.所以，車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概率

為P=§.

15

例6.某媒體為調(diào)查喜愛(ài)娛樂(lè)節(jié)目A是否與觀眾性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了30名男性和30名

女性觀眾，抽查結(jié)果用等高條形圖表示如圖：

II直歡節(jié)目，

II不言歡節(jié)目d

男性雙眾女性觀眾

(1)根據(jù)該等高條形圖，完成下列2x2列聯(lián)表，并用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法分析，能否在犯

錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂(lè)節(jié)目A與觀眾性別有關(guān)？

喜歡節(jié)目A不喜歡節(jié)目A總計(jì)

男性觀眾

女性觀眾

總計(jì)60

(2)從性觀眾中按喜歡節(jié)目/與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進(jìn)一步調(diào)查.從這5

名中任選2名，求恰有1名喜歡節(jié)目/和1名不喜歡節(jié)目A的概率.

附：

2

P（K>k）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

K?n(ad-bey

(a+/))(c+d)(a+<?)(/>+d)

(1)列聯(lián)表見解析，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂(lè)節(jié)目A與觀眾

2

性別有關(guān);(2)

5

(1)由題意得2x2列聯(lián)表如表:

喜歡節(jié)目A不喜歡節(jié)目工總計(jì)

男性觀眾24630

女性觀眾151530

總計(jì)392160

假設(shè)4。：喜歡娛樂(lè)節(jié)目〃與觀眾性別無(wú)關(guān),

60（24x15-15x6/540

則K2的觀測(cè)值上5.934>3.841

39x21x30x303r

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為喜歡娛樂(lè)節(jié)目A與觀眾性別有關(guān).

(2)利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中喜歡娛樂(lè)節(jié)目〃的人數(shù)為

24x—=4,不喜歡節(jié)目/的人數(shù)為6x2=1.

3030

被抽取的喜歡娛樂(lè)節(jié)目/的4名分別記為a,b,c,d；不喜歡節(jié)目N的1名記為

B.

則從5名中任選2人的所有可能的結(jié)果為：{a,h},{a,c},{a,d},

{b,c},{b,d},{b,B},\c,d},{b,c},{48}共有10利1,其中恰有1名喜歡節(jié)

目力和1名不喜歡節(jié)目〃的有{”,8},也3},{h,c},{d,8}共4種，

所以所抽取的觀眾中恰有1名喜歡節(jié)目/和1名不喜歡節(jié)目/的觀眾的概率是二=*.

105

練習(xí)1.假設(shè)某種設(shè)備使用的年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有以下統(tǒng)計(jì)資

料：

使用年限X23456

維修費(fèi)用y24567

若由資料知y對(duì)X呈線性相關(guān)關(guān)系.試求：

(1)求亍，歹；(2)線性回歸方程y=6x+a；(3)估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

附：利用“最小二乘法”計(jì)算a,6的值時(shí)，可根據(jù)以下公式：

b=三-----------a=y-bx

^x,2-rt(x)2

/=1

(1)亍=4,7=4.8(2)y=i.2x(3)維修費(fèi)用為12萬(wàn)元

A

試題分析：(1)利用焉歹的計(jì)算公式即可得出；(2)利用b的計(jì)算公式得出結(jié)果，再求

A

a；

(3)利用第(2)問(wèn)得出的回歸方程，計(jì)算x=10時(shí)的結(jié)果.

試題解析:

_2+3+4+5+6-2+4+5+6+7「

(1)x=------------=4,y=-------------=4.8

(2)

NX/,=2x2+3x4+4x5+5x6+6x7=108>=5x4x4.8=96,

i-l

*(9a□□□fc人108—96

=224-32+4+5*+6“=90>nx1=5x42=80/.b-..............=1.2

:90-80

?=y4x=4.8-1.2x4=0,所以，線性回歸方程為y=L2x.

(3)當(dāng)x=10時(shí)，y=12,所以該設(shè)備使用10年，維修費(fèi)用為12萬(wàn)元.

練習(xí)2..在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經(jīng)成為全球性的威脅，為

了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下聯(lián)表：

感染未感染總計(jì)

服用104050

未服用203050

總計(jì)3070100

、n(ad-he}

參考公式：K2=-———、/\——r

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k^)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參照附表，在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過(guò)(填百分比)的前提下，可認(rèn)為“該種

疫苗由預(yù)防埃博拉病毒感染的效果

5%

,100x(10x30-20x40V

由題意可得，-=-----\---------------人*4.762〉3.841,參照附表，可得：在犯

50x50x30x70

錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為“小動(dòng)物是否被感染與有沒(méi)有服用疫苗有關(guān)”，故

答案為5%.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表；（2）根據(jù)公式

1n（ad-bc\、,

K2=-——、/＜，、/）、,——^計(jì)算片的值；⑶查表比較K2與臨界值的大小關(guān)系,

（a+b）（a+d）（a+c）（b+d）

作統(tǒng)計(jì)判斷.（注意：在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論也僅僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，得到的結(jié)

論也可能犯錯(cuò)誤.）

【防陷阱措施】1.頻率分布直方圖的有關(guān)特征數(shù)問(wèn)題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn)；

中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個(gè)小矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)

的矩形的底邊中點(diǎn)的和等知識(shí).把統(tǒng)計(jì)和概率結(jié)合在一起，比較新穎，也是高考的方向，

應(yīng)引起重視.

2.求解回歸方程問(wèn)題的三個(gè)易誤點(diǎn)：

①易混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，兩者的區(qū)別是函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系

是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能

是伴隨關(guān)系.

②回歸分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實(shí)質(zhì)上回歸直線必過(guò)（五分點(diǎn)，可能

所有的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線上.

③利用回歸方程分析問(wèn)題時(shí)，所得的數(shù)據(jù)易誤認(rèn)為準(zhǔn)確值，而實(shí)質(zhì)上是預(yù)測(cè)值（期望值）

類型7.兩點(diǎn)分布

1,正面向上.、

例7.拋擲一枚硬幣，記X={uh右,,則￡（x）=（）

-1,反面向上IJ

叵回_1亙

2

0

E（X）=lxl+（-l）x1=O，選回

練習(xí)L設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的目倍，用隨機(jī)變量因描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則

因的值可以是.

這里“成功率是失敗率的0倍”是干擾條件，對(duì)1次試驗(yàn)的成功次數(shù)沒(méi)有影響，故因可能

取值有兩種，即雷.

練習(xí)2.籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中的0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中率為0.7,求

他一次罰球得分的分布列及均值.

P

因01

00.30.7

￡(X)=0x0.3+lx0.7=0.7

類型8超幾何分布

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X玉%2…X,…

PP\P1…A…Pn

則稱

E(X)=七門+x2p2+…+x,p,+…+xnpn

為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

若丫=西+6,其中6為常數(shù)，則丫也是隨機(jī)變量，因?yàn)?/p>

P(Y-axi+b)-P(X-x.),z=1,2,…,〃

所以，y的分布列為

???…

Yax{+bax2+baXj+baxn+b

PPxPl???Pi???Pn

于是

E(y)=(。玉+6)P]+{ax2+b)p2T---。(七+h)piH------Fa(xn+b)pn

=a(xlpi+x2p2+---+xipi+---+xnpll)+b(pl+p2+---+pi+---+pn)

=aE(X)+b

方差.

方差刻畫了離散型隨機(jī)變量與均值的平均偏離程度.

離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：（1）片20。=1,2,3,……?）；（2）￡月=1.

/=1

一般地，在含有〃件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則

P（X=k）=CE

，左=0,1,2,…加，

其中機(jī)=min{M,〃},且〃<N,M4N,N,M,〃eN*,如果隨機(jī)變量具有:

X01m

z-?w/^n-m

P

品

則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

例8.一個(gè)攤主在一旅游景點(diǎn)設(shè)攤，在不透明口袋中裝入除顏色外無(wú)差別的2個(gè)白球和3

個(gè)紅球.游客向攤主付2元進(jìn)行1次游戲.游戲規(guī)則為：游客從口袋中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，

若摸出的小球同色，則游客獲得3元獎(jiǎng)勵(lì)；若異色則游客獲得1元獎(jiǎng)勵(lì).則攤主從每次游戲

中獲得的利潤(rùn)（單位:元）的期望值是（）

|A0.2||B.O3|IC.0.4|D.05

0

C2+C22

游客摸出的2個(gè)小球同色的概率為3^=—,所以攤主從每次游戲中獲得的利潤(rùn)分

C；5

布列為，

X-11

23

p

55

23

因此E￥=—lx—+lx—=0.2

55

所以選0

練習(xí)1.某人喜歡玩有三個(gè)關(guān)卡的通關(guān)游戲，根據(jù)他的游戲經(jīng)驗(yàn)，每次開啟一個(gè)新的游戲，

這三個(gè)關(guān)卡他能夠通關(guān)的概率分別為（這個(gè)游戲的游戲規(guī)則是：如果玩者沒(méi)有通

234

過(guò)上一個(gè)關(guān)卡，他照樣可以玩下一個(gè)關(guān)卡，但玩該游戲的得分會(huì)有影響），則此人在開啟一

個(gè)這種新的游戲時(shí)，他能夠通過(guò)兩個(gè)關(guān)卡的概率為,設(shè)X表示他能夠通過(guò)此游

戲的關(guān)卡的個(gè)數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為—

112

412-

隨機(jī)變量X的所有可能取值為1°，1，2三

又尸(X=2)=(l—g1112

X—X—+—X

3424

P(X=O)=

i-)4

1A111

-IX----

37—424

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

11]_1

p

424424

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=Ox卜得+243哈13

12

練習(xí)2.一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品.用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)

抽檢以決定是否接受.抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產(chǎn)品（抽檢后不放回）,

只要檢驗(yàn)到次品就停止繼續(xù)抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒(méi)有檢驗(yàn)到次品，則接受這

箱產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.

27

lo

根據(jù)題意用戶抽檢次數(shù)的可能取值為k2,3那么可知

P(百=1)=—,PU=2)=—x-=—.-.Pa=2)=—x-=—,故根據(jù)期望公式可知

'710'710910'710910

1c1、827

為1x--F2x1-3x—=—,

10101010

故答案為2巴7

10

類型9.期望方差

例9.設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列七,乙/3,…,刀9的公差,隨機(jī)變量J等可能地取值

玉,工2，》3,…，X9,則方差DJ=()

0—d2E—4/201OJ206/

33

回

因?yàn)榈炔顢?shù)列須,彳2，七,…,/的公差是0,所以元="(9再+2券“=玉+4”,

DC)=1(-41)2+(-31)2+(_2d)2+(―1)2+02+(d)2+3)2+加丫+胸丫]=

故選國(guó).

練習(xí)1.袋中有大小相同的三個(gè)球，編號(hào)分別為1,2,2,從袋中每次取出一個(gè)球，若取到球

的編號(hào)為奇數(shù)，則取球停止，用因表示所有被取到的球的編號(hào)之和，則因的方差為

8

3

因的分布列為

因135