2022屆高三數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)第一次聯(lián)考試題 文（含解析）

2021屆高三數(shù)學(xué)質(zhì)量(zhll玲ng)檢測(cè)第一次聯(lián)考試題文〔含解析〕

考前須知(xuzhi)：

1.本試卷(shijudn)分第，卷(選擇題)和第〃卷(非選擇題)兩局部.答卷前，考生務(wù)必

將自己的姓名(xlngming)、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

2.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答(zubdd),寫在本試卷上效.

第7卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)

符合題目要求的.

1.集合/={x|—l<x<3},8={0』,2,3},那么/口6=()

A.{1,2}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)集合交集的定義直接求解即可.

【詳解】因?yàn)榧?=卜|一l<x<3},3={0,1,2,3},所以4nB={0,1,2}.

應(yīng)選：D

【點(diǎn)睛】此題考查了集合的交集運(yùn)算，屬于根底題.

2.假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(l-2i)=10,那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象

限

【答案】A

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求得z=2+4"得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.

1010(1+2，)

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足z(l-2i)=10,可得z=丁一丁=「^7r>^=2+4，，

1-2/(1-2zj(l+2z)

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4)位于第一象限

應(yīng)選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)數(shù)(fdshU)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記

復(fù)數(shù)的運(yùn)算法那么，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能

力，屬于根底題.

3.a,6是兩條不同(bii16n9)的直線，a,6是兩個(gè)(lidng養(yǎng))不同的平面，且au/7,

aC\0=b,那么(ndme)ualia"是"allb"的()

A.充分(ch6ngf6n)不必要條件B.必要不充分條件C.充要條

件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷alia與allb的關(guān)系即可得到答案.

【詳解】假設(shè)。〃。，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得

假設(shè)a〃b,根據(jù)線面平行的判定定理，可得。〃a.

應(yīng)選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于根底題.

4.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)I

練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”，假設(shè)4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，那么至少需

要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】“正面朝南”"正面朝北”分別用"A""V"表示，

利用列舉法，可得下表，

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

應(yīng)選(yIngxudn)：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法

直觀感受(gdnshbu),屬于根底題.

5.等比數(shù)列(d的gbishu1詁)｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)(zhGngshii),設(shè)其前“項(xiàng)和S”，假設(shè)

(jidsh。)a“a"+]=4"(〃eN")，那么$5=()

A.30B.3172C.156D.62

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)。"。用=4",分別令〃=1,2,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程

組，解方程組求出首項(xiàng)和公式，最后利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,由題意可知中：4>0,夕>0.由。/川=4",分別

令〃=1,2,可得。臼=4、42a3=16，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：

q?q?1二4a、=6

，q,%d=163=2

因此s5=也:一；)=3172.

應(yīng)選:B

【點(diǎn)睛】此題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2

小丁皿ln(x4-1

6.函數(shù)/(x)=_L__的大致圖象是

D.

【答案（ddon）］A

【解析（j述xl）］

【分析（fGnxi）］

利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)（fUhdo）即可作出判斷.

【詳解】由題意可知（k。zhl）函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；

當(dāng)X<0時(shí)，/（x）<o,可排除D選項(xiàng)；

當(dāng)X=1時(shí)，/（1）=/〃2,當(dāng)X=3時(shí)，/（3）=—,ln2>—,

即/（1）>7（3），可排除C選項(xiàng),

應(yīng)選A

【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（1646年-1716年）于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于n的級(jí)數(shù)展開式，該

公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下，我國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家明安圖

（1692年T765年）為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平，從乾隆初年（1736年）開始,歷時(shí)近30年,證

明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公

式,著有?割圓密率捷法?一書，為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算n開創(chuàng)了先河.如下圖的程序框圖可以用

萊布尼茲“關(guān)于”的級(jí)數(shù)展開式"計(jì)算n的近似值（其中P表示n的近似值），假設(shè)輸入

〃=10,那么輸出的結(jié)果是（）

伊始〕

/幡w

/輸/p/

南

nC…1111、

A.P=4(l+-------+???+—)B.尸=4(1----1-------F,,----)

3571735719

C.P=4(1---1---------F…H------)D.P=4(l----1-------F,,----)

3572135721

【答案(d6an)]B

【解析(ji4xl)]

【分析(fQnxi)]

執(zhí)行給定(g6iding)的程序框圖，輸入〃=10,逐次(zhUci)循環(huán)，找到計(jì)算的規(guī)律，即

可求解.

【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入〃=10,可得：

第1次循環(huán)：S=l,i=2；

第2次循環(huán)：5=1--,/=3；

3

第3次循環(huán)：S=l--+-,z=4；

35

第10次循環(huán)：5=1--+---+-------,i=U,

35719

此時(shí)滿足判定條件，輸出結(jié)果尸=4S=4(1-----1----------1-----)，

35719

應(yīng)選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次

計(jì)算，得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，

屬于根底題.

8.等差數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和為S“，且見=-3,片=24,假設(shè)q+%=0（z./eN*.

且,那么，的取值集合是（）

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.

{6,7,8,9,10}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足6+勺=0的/的取值集合.

【詳解（xidngjig）］設(shè)公差為d,由題知q=-3=>q+3d=-3,

E2=24nl2q+^^d=24,

I2

解得q=一9,d=2,

所以（su^yi）數(shù)列為-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,--?,

故iw{l,2,3,4,5}.

應(yīng)選（ylngxuan）：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查（k匕ochd）了等差數(shù)列的根本量的求解，屬于根底題.

9.假設(shè)（jidsh。）a=0.5°6,b=0.6°5,c=2°s,那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.

c>b>a

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得1>0.6°S>0.5°-5〉0.5°-6>0,即l>b>a>0，

又由c=2°s>l，所以c>6>a.

應(yīng)選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了指數(shù)累的比擬大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得a1,c

的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于根底題.

10.函數(shù)/(x)=，假設(shè)不等式對(duì)任意的xeR恒成立，那么實(shí)數(shù)

111I

A的取值范圍是()

A.(—00,1]B.[1,+co)C.[。,1)D.(-1,0]

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出函數(shù)(hdnshii)/(X)在(1,0)處的切線方程，在同一(t6ngyf)直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)

/(%)=]和g(X)=|x-《的圖象，利用數(shù)形結(jié)合(ji6h6)進(jìn)行求解即可?

111――L

【詳解(xidngjie)]當(dāng)xNl時(shí)，/(x)=Inx,=>/'(X)=—=>/'(I)=1,所以(subyi)函

數(shù)〃x)在(1,0)處的切線方程為：y=x-l,令g(x)=|x-《，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(4,0).

.f0,x<1,,

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)/(zx)={和g(x)=|x-Z|的圖象如以下圖的所示：

111人,人—JL

利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式/(￡)?上一4對(duì)任意的xeR恒成立，那么實(shí)數(shù)A的取值

范圍是kWl.

應(yīng)選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于

中檔題.

11.小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00^12：

10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，那么小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過5分鐘的

概率是()

1433

A.一B.C.D.

2584

【答案】c

【解析(j述XI)]

【分析(f@nxl)]

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)(gGnjU)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求

解即可.

【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)(ddodd)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為x,y,以12：00

點(diǎn)為開始(kdishi)算起，那么有《，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如下圖：圖中陰影局部

j-x<5

表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域,

10?101創(chuàng)010-,倉(cāng)由5,

P=________22_3

10,108

應(yīng)選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

12.雙曲線G=_孑=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)(jidodidn)分別為耳，鳥，過百

的直線(zhixidn)/與雙曲線。的左支交于4、6兩點(diǎn).假設(shè)

(jidshe)\^B\=\AF2\,ABAF2=120°,那么(ndme)雙曲線C的漸近線方程(fdngch6ng)為

()

A.y=±^~xB.y=±^-xC.y-±^V3-V2jxD.

y=±（G-l）x

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)?鳥|=機(jī)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)\AB\=\AF^=m,:.\BF2\=+以曰2-2#如?用.COS120。=也m，

由雙曲線的定義可知：恒用=m—2%因此忸片=2a,再由雙曲線的定義可知：

忸周-忸用=2。=>用=殍。，在三角形力6瑪中，由余弦定理可知：

歸用2="與『+以段2_2以周J.周cosl20°=>c2=（5一20）/n/+/=（5—26）/

n〃=（4_2百）/=q=（4—26）n-1，因此雙曲線的漸近線方程為：

aa

y=±（6-l）x.

應(yīng)選：D

【點(diǎn)睛】此題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近

線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

二、填空題：此題共4小題.每題5分，共20分.

13.71，是夾角為90°的兩個(gè)單位向量，假設(shè)￡=：+］,t>=j,那么￡與否的夾角為

【答案】45°

【解析】

【分析（f6nxl）］

首先（shbuxidn）求出［與石的數(shù)量積，然后直接（zhiji。）根據(jù)［與B的夾角（jidjido）公式

求解即可.

【詳解（xidngjie）］由題知a=i+j,b=j,

有=+=

a-b1V2

R=麗=不丁子

所以cos(a,b\=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角的求解，屬于根底題.

14.假設(shè)函數(shù)/（》）=5皿5+夕）3＞0,0＜夕＜24）滿足：①/（x）是偶函數(shù)；②/（x）的

圖象關(guān)于點(diǎn)（。,0對(duì)稱.那么同時(shí)滿足①②的0，9的一組值可以分別是

3兀

【答案】---

22

【解析】

【分析】

根據(jù)/（x）是偶函數(shù)和“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可求出滿足條件的①和。.

【詳解】由"X）是偶函數(shù)及04夕＜2兀，可取°=1，

那么/（x）=sin69X+—=COS69X,

包兀7兀

由/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)］,0對(duì)稱,得①X—=攵兀+一ksZ,

32

33

即0=3%+—，keZ,可取。=巳.

22

371

故①，8的一組值可以分別是大，

22

371

故答案為：—■,

22

【點(diǎn)睛】此題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于根底題.

15."北斗三號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)（yig4）焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為此假設(shè)

2

其近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約（d&yuG）分別是4及，那么“北斗三號(hào)（sdnhdo）z,

3

衛(wèi)星運(yùn)行軌道的離心率為

【答案（dGan）］-

2

【解析（jimxi）］

【分析】

畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件，求得4。的值，即可求得橢圓的離心率，得到答

案.

【詳解】如下圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為。，半焦距為c,

2

因?yàn)榈厍虬霃綖镽,假設(shè)其近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是一R,4R,

3

a+c=4R+R

可得《解得4=WR,C=*R,

a—c=—R+R33

3

所以橢圓的離心率為e———二一=—

a107?2

3

故答案為：

2

此題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求

得。，c的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于根底題.

16.在三棱錐P—Z8C中，PA=PC=2,BA=BC=T，4BC=9。。,假設(shè)

（ji方shG）必與底面1所成的角為60°，那么（ndme）點(diǎn)一到底（而。di）面/比■的距離

是；三棱錐尸/比■的外接球的外表（waibiao）積.

【答案】(1).G(2).571

【解析】

【分析】

首先補(bǔ)全三棱錐為長(zhǎng)方體，即可求出點(diǎn)P到底面4%'的距離，同時(shí)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是

三棱錐的外接球的直徑，然后即可求出外接球的外表積.

【詳解】將三棱錐P—ABC置于長(zhǎng)方體中，其中平面Z8C，

由與底面4a1所成的角為60°,可得=

即為點(diǎn)P到底面用曲距離，

由△尸々4名4尸［。，得＜4=片。=1,如圖，

用就是長(zhǎng)方體(三條棱長(zhǎng)分別為1,1,5外接球的直徑,

也是三棱錐。一ABC外接球的直徑，即心=石，

(內(nèi)

所以球的外表積為4兀I—2J=5兀.

故答案為：A/3：5Tl.

【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)到面的距離和三棱錐外接球的外表積，屬于一般題.

三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.在AZBC中，角4,B,。的對(duì)邊分別(f6nbi6)為a,b,c,且

A-k-C

bsin(4+8)=csin---.

⑴求民

(2)假設(shè)(jidsh6)ZkABC的面積(midnji)為周長(zhǎng)(zhduchdng)為8,求6.

【答案(ddan)](1)B=J(2)b=—

34

【解析】

【分析】

A+r

(1)通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)bsin(A+8)=csinz—,再通過二倍角公式即可

求出D8；

(2)通過三角形面積公式和三角形的周長(zhǎng)為8,求出6的表達(dá)式后即可求出6的值.

【詳解】(1)由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得6sinC=ccosO,

2

結(jié)合正弦定理，得sin8=cosg,

2

由0<0〈工及二倍角公式，得sinO='，

2222

B兀砧0兀

H即ll一=—,故B

263

(2)由題設(shè)，得』acsin3=G，從而ac=4，

2

由余弦定理，^b2=a1+c2-laccosB?即b2=(a+c/-12,

又a+6+c=8,所以/=(8-6)2-12,

13

解得匕=：.

4

【點(diǎn)睛】此題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于根底題.

18.假設(shè)養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過1%,那么該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在

2021年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

月份1月2月3月4月5月6月7月8月

月養(yǎng)殖量/千只33456791012

月利潤(rùn)/十萬(wàn)元3.64.14.45.26.27.57.99.1

生豬死亡數(shù)/只293749537798126145

(1)從該養(yǎng)殖場(chǎng)2021年2月到6月這5個(gè)月中任意(3nyi)選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月

考核獲得合格的概率；

(2)根據(jù)(g百njiOl月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤(rùn)y(十萬(wàn)元)關(guān)于(gudnyii)月養(yǎng)殖量x

(千只)的線性回歸方程(精確(jingqu。)到0.001).

(3)預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤(rùn)與月養(yǎng)殖量仍然(r6ngr6n)服從(2)中的關(guān)系，假設(shè)9

月份的養(yǎng)殖量為L(zhǎng)5萬(wàn)只，試估計(jì)：該月利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？

附：線性回歸方程y=a+bx中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：

~^x^-nxy

b=弋-------，a=y-bx

f=l

參考數(shù)據(jù)：38>,2=460,8，為乂=379.5.

i=li=l

3

【答案】(1)-；(2)j>=0.640x+1.520；(3)利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.

5

【解析】

【分析】

(1)首先列出根本領(lǐng)件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；

(2)首先求出利潤(rùn)y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截

距即可求出線性回歸方程；

(3)根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤(rùn).

【詳解】(1)2月到6月中，合格的月份為2,3,4月份，

那么5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的根本領(lǐng)件有

(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),

(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共計(jì)10個(gè)，

故恰好有兩個(gè)月考核合格的概率為P=9=3；

105

⑵x=79y=6，

379.5-8x7x643.5

b￡—_____________=____X0.640，

460-8x72-68

a=6-0.640x7=1.520,

故》=0.640x+1.520；

⑶當(dāng)x=15千只，

$=0.640x15+1.520=11.12(十萬(wàn)元)=111.2(萬(wàn)元)，

故9月份(yu3f3n)的利潤(rùn)約為111.2萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】此題主要考查(kdochd)了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于根底題.

19.在三棱柱(Idngzhii)44G中，四邊形4片切是菱形("ngxing),AB=4,

N4BB]=60。,4G=3,BCLAB，點(diǎn)、M、N分別(f@nbi6)是、/G的中點(diǎn)，且

MNLAB,.

(1)求證：平面8。。|彳，平面4旦氏4；

(2)求四棱錐4—BCCM的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)8百.

【解析】

【分析】

(1)要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出8C_L平面44胡即可；

(2)求出點(diǎn)力到平面BCG4的距離，然后根據(jù)棱錐的體積公式即可求出四棱錐

A-BCC}B]的體積.

【詳解】(1)連接4C,由4CG4是平行四邊形及力是AG的中點(diǎn)，

得W也是AC的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn).〃是AB的中點(diǎn)，斫以MNIIBC，

因?yàn)镸N_LA4,所以8d4，

又AB[}AB}=A,所以(subyi)8CL平面(plngmidn)4B|BA,

又BCu平面(pingmian)BCClBl,所以(suiyi)平面BCClBiJ_平面(pingmian)AiBiBA；

(2)過4作力。，48交于點(diǎn)0,

因?yàn)槠矫鍮CC4J_平面4耳8A,平面8CC￡n平面448/=8乃，

所以401平面BCC￡,

由A484是菱形及NAB與=60°,得△48%為三角形，那么4。=26，

由BC，平面得BC工B]B,從而側(cè)面為矩形，

所以匕flrr?=-XOJX5CXR5=-X2A/3X3X4=8A/3.

A—DC|O|3I3

cG

【點(diǎn)睛】此題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.

20.在平面直角坐標(biāo)系x0中，拋物線E:/=2px(p〉0)的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為1,P是拋

物線￡上一點(diǎn)，且點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,|P目=3.

(1)求拋物線￡的方程；

(2)過點(diǎn)尸的直線而與拋物線《交于4、Z?兩點(diǎn)，過點(diǎn)廠且與直線卬垂直的直線〃與準(zhǔn)線/

交于點(diǎn)材，設(shè)4?的中點(diǎn)為A；假設(shè)0、收N、/四點(diǎn)共圓，求直線加的方程.

【答案】(1)y2=4x⑵y=±V2(x-l)

【解析】

【分析】

(1)首先根據(jù)拋物線的定義和題中條件求出拋物線的焦準(zhǔn)距，即可得到拋物線的方程；

(2)首先設(shè)直線小方程，然后與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)N坐標(biāo)，然后設(shè)直線

〃的方程求出點(diǎn)物的坐標(biāo)，最后利用。、隊(duì)N、尸四點(diǎn)共圓即可求出直線0的方程.

【詳解(xidngji§)](1)由拋物線定義，得M=2+f=3.解得p=2,

所以(subyi)拋物線廠的方程(fGngchCng)為J=4%；

(2)設(shè)直線(zhixiGn)/〃的方程(fdngchGng)為X=(y+1,代入丁=4%，得

y2—4ty-4=0?

設(shè)4(%,必),5(x2,y2),那么%+必=4乙y}y2=-4,

由必=4芭，y?=4工29

得陽(yáng)+X2=￡+貨=5+%)2—2弘為=(4爐_2*(-4)=47+2,

'24444

所以N(2r+l,2f),

因?yàn)橹本€0的斜率為L(zhǎng)所以直線〃的斜率為-/,

t

那么直線〃的方程為y=-r(x-l),

x=-1

由,一解得歷一1,2",

y=-t[x-1)

假設(shè)。、也吊尸四點(diǎn)共圓，再結(jié)合五N,尸Af,得。MLON，

那么麗?麗=—1x(2/+1)+2/-2，=2--1=0,

解得/=±*，所以直線勿的方程為y=±亞(x-l).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線的定理，直線與拋物線的交點(diǎn)問題，屬于一般題.

21.函數(shù)y(x)=l+2x-2-641nx存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).

x

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)假設(shè)函數(shù)/(x)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為國(guó)和》2,且/(xj+/(x2)<2—6e,

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(A\

【答案】(1)-,-K?；(2)(e,+oo).

19)

【解析】

【分析】

(1)首先對(duì)函數(shù)/(X)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)求出a的取值范

圍；

⑵首先(shOuxidn)求出/(占)+/(》2)的值，再根據(jù)(g?njfi)/(xJ+〃X2)<2—6e求

出實(shí)數(shù)(shishU)a的取值范圍(fanw6i).

【詳解(xidngji@)1(1)函數(shù)的定義域?yàn)槭?0,+"),

、-2a6a2x2-6ax+2a

/卜)=2+7-丁------s-------

假設(shè)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，那么方程2--6ax+2a=0一定有兩個(gè)不等的正根，

設(shè)為再和％2,且再<工2,

A=36a2-16（7>0

4

所以<玉+工2=3a>0解得a>—,

9

x]x2=a>0

此時(shí)/'(x)=2(二￥%一/),

當(dāng)0cx<玉時(shí)，/'(X)>0,

當(dāng)X1<工<X2時(shí)，/'(X)<°，

當(dāng)4>/時(shí)，r(%)>。，

故X］是極大值點(diǎn)，Z是極小值點(diǎn)，

<4、

故實(shí)數(shù)d的取值范圍是『+8；

Iy/

（2）由（1）知，xl+x2=3afxtx2=a,

2a2。

那么/（xJ+j（工2）二?+2~------6（7InX]+1+2^2------6QInx2,

再吃

=2+2（$+工2）-2"*+'J-6aInxtx2,

g

=2+2x3。-2a30-6QIna=2-6。In。，

a

由/(七)+/(丫2)<2-6e,得2—6aIn。<2—6e,即。In。>e，

令g(a)=alna,考慮(kdolS)到g(e)=elne=e,

所以(su6yi)alna>e可化為g(a)>g(e),

4

所以(sudyi)g(a—,+oo上為增函數(shù),

9

由g(a)>g(e)，得a>e,

故實(shí)數(shù)(shishii)a的取值范圍(fiinwGi)是(e,+8).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等

式，屬于難題.

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的

第一題計(jì)分，作答時(shí)用23鉛筆在答題卡上把所選題號(hào)后的方框涂黑.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為〈為參數(shù)).以原點(diǎn)

y=——+sina

I2

〃為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系.

(1)設(shè)直線1的極坐標(biāo)方程為6=27T,假設(shè)直線/與曲線。交于兩點(diǎn)4氏求16的長(zhǎng);

12

(2)設(shè)〃、川是曲線，上的兩點(diǎn)，假設(shè)NM0N=工，求A0MN面積的最大值.

2

【答案】(1)&；(2)1.

【解析】

【分析】

(1)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可;

⑵A/(p”e),N，由(1)通過計(jì)算得到

S=—p.p,sin—=sin|2^+—，即最大值為1.

2122I3j

【詳解(xidngji§)](1)將曲線C的參數(shù)(cdnshfi)方程化為普通方程為

即工2+y2_x_y/2y=0;

再將/+/=02,x=pcos。，y=psin。代入上式,

彳導(dǎo)一「cos。一Gpsin。