2022屆全國(guó)新高考Ⅱ卷仿真模擬數(shù)學(xué)試卷（四）（解析版）

2022年全國(guó)新高考仿真模擬試卷（四）

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

2-i

1.許二（)

13.c13.〃13.

A.---------1B.---------1C.---1--iD.

222222

13.

—+—1

22

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.

r建硒2-i2-i(2-i)(l-i)l-3i13.

【角】i(l-i)1+i(l+i)(l-i)---------1.

222

故選：B.

2.已知集合A={x|2x2+5x<0},B<4},則()

A.中>-|B.{目-2<%<0}C.{x|x>-2}D.

x--<x<-2>

2

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡(jiǎn)集合4、B,再去求AU8即可

【詳解】4={同2爐+5%<0}=<%--<x<oL

2

8=vx4<4>=>-2},

5

則Au8=<x--<x<0Xx>——

22

故選：A.

3.已知尸（1,7）是角。的終邊上一點(diǎn),則sin（萬(wàn)-2a）=（）

24

D.

25

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式及正弦二倍角公式計(jì)算即可.

【詳解】p（l,7）是角a的終邊上一點(diǎn)，由三角函數(shù)定義可得

.7711

sina-/=―,cosa-/=—,

廬方5&辰尹5行

所以sin(〃-2a)=sin2a=2sinacosa=2x/x%=得

故選：C.

4.若a,beR,則“@〉r’是"a>/’的（）

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充

分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)去判斷與"a>夕'之間的邏輯關(guān)系即可解決.

b

【詳解】若@>1,當(dāng)〃>0時(shí)，a>b,當(dāng)8vO時(shí)，a<b\

b

又當(dāng)a>0>0時(shí)，兩邊除以從得@>1,當(dāng)且b<0時(shí)，兩邊除以4得巴<1.

bb

故，，@〉1”是>夕，的既不充分也不必要條件.

b

故選：D

101

5.已知2"=3，/>=|log210,c=2,則。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.h>c>aB.h>a>cC.c>b>aD.

c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】利用指對(duì)互化以及指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可.

【詳解】由a=log23Vb=k）g2VHivlog2^^=2，c>21=2?可得

故選：C.

6.直線(xiàn)/：3x+4y-l=0被圓C：/+y2-2x-4y-4=0所截得的弦長(zhǎng)為（）

A.275B.4C.2V3D.2V2

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】由題意圓心。（1,2）,圓C的半徑為3,

故C到/：3x+4y-]=0的距離為=2,

7+42

故所求弦長(zhǎng)為2打-22=2石?

故選：A.

7.在如圖所示的圓錐中，底面直徑為4g，母線(xiàn)長(zhǎng)為4,點(diǎn)C是底面直徑A3所對(duì)弧的中

點(diǎn)，點(diǎn)。是母線(xiàn)的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與CO所成角的余弦值為（）

1V3V24

A_RD,lcx.，Dn.

2425

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)底面圓心為O,連接PO,OC,取尸O的中點(diǎn)￡連接。E,CE,可得NCDE

為AB與CO所成的角（或其補(bǔ)角）.在△CDE中求解即可.

【詳解】設(shè)底面圓心為O,連接尸0,0C,取尸0的中點(diǎn)E,連接。E,CE,則

DE//AB，

且DE=M，所以NCDE為A8與C。所成的角（或其補(bǔ)角）.

由題意知OB=2X/5，PB=4,所以P0=2,所以CE=JOE?=拒.

由題意知OCLAB,OC±PO,AB^PO^O,AB,POu平面POB,

所以O(shè)C_L平面POB.又OCu平面POC,所以平面POC±平面POB,

又平面POCCl平面POB=PO,DEu平面POB且。￡_LPO,

所以。E_L平面尸OC,因?yàn)镃Eu平面POC,

所以O(shè)E_LCE.又。￡==所以CD=ylDE2+CE2=4,

所以cosNCDE=^-.

4

故選:B.

8.將6盆不同的花卉擺放成一排，其中A、B兩盆花卉均擺放在C花卉的同一側(cè)，則不同的

擺放種數(shù)為()

A.360B.480C.600D.720

【答案】B

【解析】

【分析】對(duì)C花卉的位置進(jìn)行分類(lèi)討論即可解決.

【詳解】分類(lèi)討論的方法解決如圖中的6個(gè)位置，

①當(dāng)C在位置1時(shí)，不同的擺法有A；=120種；

②當(dāng)C在位置2時(shí)，不同的擺法有C；A：=72種；

③當(dāng)C在位置3時(shí)，不同的擺法有人；人；+人；人；=48種；

由對(duì)稱(chēng)性知C在4、5、6位置時(shí)擺放的種數(shù)和C在3、2、1時(shí)相同，

故擺放種數(shù)有,2x(120+72+48)=480.

故選：B

□2|3|4|5

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某城市地鐵交通建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成，為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿(mǎn)意度，分別從不同地

鐵站點(diǎn)隨機(jī)抽取1000名市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)評(píng)分均在[40,100]內(nèi)，把評(píng)分

分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組,并繪制成頻率

分布直方圖(如圖所示).則下列判斷正確的是()

A.圖中a的值為0.025B.該次滿(mǎn)意度評(píng)分的平均分為85

C.該次滿(mǎn)意度評(píng)分的眾數(shù)為85D.大約有34%的市民滿(mǎn)意度評(píng)分在

[60,80)內(nèi)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖即可求出所求數(shù)據(jù).

【詳解】由頻率分布直方圖知0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075,由

10x(0.075+a)=1得。=0.025，故A正確；

因?yàn)?5x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7,所以滿(mǎn)意

度的平均分為80.7,故B錯(cuò)誤；

由頻率分布圖可知眾數(shù)估計(jì)為85,故C正確；

(0.014+0.020)x10=0.34,由樣本估計(jì)總體可以認(rèn)為約有34%的市民評(píng)分在[60,80)

內(nèi)，故D正確.

故答案為：ACD.

10.已知函數(shù)/(x)=sinx(cosx-sinx),則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)“X)的最小正周期為2〃B./(x)的最大值為造1

c.的圖像關(guān)于直線(xiàn)x=—J對(duì)稱(chēng)D.將“X)的圖像向右平移!個(gè)單

88

位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)

【答案】BD

【解析】

【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)以及圖

像變換對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

△sin2x-E2=2/lsin(2x+4-L

f(x)=sinx(cosx-sinx)sinxcosx-sin2x

222I2

,故/(x)的最小正周期為7=等=萬(wàn)，最大值為當(dāng)二1,故A錯(cuò)誤，B正確;

對(duì)稱(chēng)軸方程為2x+f=A左+￡,keZ,即％=■+工，keZ,當(dāng)x=—工時(shí)，k不為

42288

整數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,將/(力的圖像向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

O

V2.吟乃］1逝.01

y=sin2xH————=——sm2x——,

2LI8j4J222

然后將此圖像向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)g(x)=*sin2x的圖像，g(x)是一個(gè)奇函數(shù)，故D正確.

故選：BD.

11.已知定義在R上的函數(shù)/(力滿(mǎn)足〃x)+/'(x)>0,則下列式子成立的是()

A.f(2021)<ef(2022)B.f(2021)>ef(2022)

C./(x)是R上的增函數(shù)D.Vt>0,則

【答案】AD

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)^=6、/(可，由已知可得函數(shù)單調(diào)遞增，即可判斷選項(xiàng)ABD,舉特例

可判斷選項(xiàng)C.

【詳解】由/(耳+,/(力>(),得e"(x)+e"，(x)>0,即［e"(x)］'>0，

所以函數(shù)、=0"(刈為R上的增函數(shù)，故02°2上(2021)<62。22〃2022),

所以/(2021)<0(2022),故A正確，B不正確;

函數(shù)e"(x)為增函數(shù)時(shí)，/(x)不一定為增函數(shù)，如/(x)=?,顯然e"(x)是增函

數(shù)，但/(x)是減函數(shù)，所以C不正確；

因?yàn)楹瘮?shù)e"(x)為增函數(shù)，所以/>0時(shí),有e"(x)<*7'(x+r),故有

/(x)<eV(x+。成立，所以D正確.

故選：AD.

22

y

12.已知雙曲線(xiàn)C:==l(a>Z?>0)的左，右頂點(diǎn)分別為A，4，點(diǎn)P,Q是雙曲

a~

線(xiàn)。上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，直線(xiàn)24，的斜率分別為左明，

3

kpA]，若kpzkpA、=z，則下列說(shuō)法正確的是()

A.雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=?'xB.雙曲線(xiàn)C的離心率為立

42

C.原為定值D.tan/AP4的取值范圍為

(0,+8)

【答案】BCD

【解析】

【分析】求得雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程判斷選項(xiàng)A；求得雙曲線(xiàn)C的離心率判斷選項(xiàng)B；化

簡(jiǎn)心A?卜。%后再判斷選項(xiàng)C；求得tanZ^FA的取值范圍判斷選項(xiàng)D.

(2、

【詳解】設(shè)P(x,y),則y2=〃*一1,因?yàn)?(—a,o),4(a,0),

7

及__]

故”.k____y_/=I/J),

'A%2x+Q%_Q%2_Q212_〃2Q2

依題意有1=2,所以2=3,

a24a2

所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為>=±2尤=±^x,

a2

離心率e=」￡12=Jl+C=E,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；

Va22a22

因?yàn)辄c(diǎn)P，。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以四邊形4P4Q為平行四邊形，即有陽(yáng)?=陽(yáng)/，

3

所以以。.以°=陽(yáng)右以「="故C正確；

3

設(shè)PR的傾斜角為a,PA,的傾斜角為夕，由題意可得tana-tanp=—，

4

則幺叫=心一"，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)尸在x軸上方，則b>a,則幺尸&=￡—。，

/、

,/i4(門(mén)\tan￡-tana4/,\4,3

則tanZAfd=-------N=G\kpA,_kfpJ=jk—,

PAy2

1+tan(7-tanp7'飛"714kPAJ

cA

因?yàn)槭赬軸上方，則幻A>3或—<0,

?22”-

函數(shù)/(x)=上單調(diào)遞增,

所以tanZAj%G（0,+oo）,故D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量5滿(mǎn)足同=2忖，且（1+6），伍一33，則向量〃，方夾角的余弦

值為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量的夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意得

他+孫（@-35）=同--2萬(wàn).5-3忖=4忖-2?-&-31^|=忖-lab=0,所以

萬(wàn)石=/1,

故答案為：一

4

14.已知/（X）為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，在數(shù)列｛%｝中，4=20,對(duì)任意正整數(shù)"，

/（4用）+/（3-4）=0,則數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S,,的最大值為.

【答案】77

【解析】

【分析】先由題給條件判定數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列｛?,｝通項(xiàng)公式，利用

數(shù)列｛4｝的單調(diào)性即可求得其前〃項(xiàng)和S”的最大值.

【詳解】因?yàn)椤?+J+〃3—a“）=0,且“X）為R上的奇函數(shù)，所以

）=/（??-3）.

又/(x)在R上單調(diào)遞增，所以《川=4-3,即。用一?！?一3,

所以｛。“｝為等差數(shù)列，且公差為-3,首項(xiàng)為20,

所以為=23-3”，所以q>4>…>%>。>。8>為>…，

7x6

所以S7最大，且S7=7x20+型x(—3)=77.

故答案為：77

15.己知拋物線(xiàn)C：f=20(2>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線(xiàn)交C于點(diǎn)4,B,交C的準(zhǔn)

線(xiàn)于點(diǎn)E,若喬=而，忸耳=2,則P=.

【答案】3

【解析】

【分析】過(guò)A,8分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為M,N,然后利用拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行求解

即可.

【詳解】過(guò)A,8分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為M,N,準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為G,

則|A月=|40|,忸同=忸川.因?yàn)閱?兩，

所以廬尸|=|AM|=；|4E],所以NA￡M=30。，

所以|￡同=2忸N|=4,所以FG|=g|Er|=gx6=3,

即〃=3.

故答案為：3

￡NIGM

16.如圖，在三棱錐A-3CD中，AD=CD=2,AB=BC=AC=242<平面

AC￡>_L平面ABC,則三棱錐A-BCD的體積為,其外接球的表面積為

D

【_答案】①.竺2A上/6##—<6②.一32萬(wàn)##——32"

3333

【解析】

【分析】取AC的中點(diǎn)E,連接OE,BE,在BE上取一點(diǎn)。，使得3O=2EO,證明

6E1平面ACQ,利用棱錐體積公式求解即可；計(jì)算。。=亞，可知。為三棱錐

—3

A-BCD外接球的球心，從而得到半徑及表面積.

【詳解】如圖，取4c的中點(diǎn)E,連接。區(qū)BE,在BE上取一點(diǎn)0,使得5O=2EO,

由A0=C￡>=2,AC=2叵,所以AZ^+CO?=AC?,所以AZ>，CD,

所以Z)E=4E=CE=V5，BE=娓,80=城，￡0=—.

33

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以BE_LAC，又平面ACDL平面ABC,

且平面ACO0平面ABC=AC,BEu平面ACB,所以班：！平面AC￡>,

所以匕

BCD=%ACD=-x—x2x2x76=-^^-，

A-IS\^.U15-32”3

又Z)Eu平面AC￡>,所以BELDE，所以O(shè)O=.(2『+(逅］=2?,

VJI3J3

所以。為三棱錐A-BCD外接球的球心，所以三棱錐A-BCD外接球的半徑為2v5,

3

則三棱錐A-3c。的外接球的表面積為4萬(wàn)x2=絲》.

I3J3

故答案為：還;”

33

D\

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

17.已知數(shù)列z間）滿(mǎn)足4=1,…晨，為〃為奇偶數(shù)數(shù)，.

⑴令d=見(jiàn)“，求仿,仇及也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛4｝的前2〃項(xiàng)和S2”.

1

【答案】⑴仇=1,」=2,bn=2"-

n+1

（2）S2?=2-2

【解析】

【分析】（1）利用題給條件即可求得4，d的值；先由遞推關(guān)系判定數(shù)列也,｝為等比數(shù)

列，進(jìn)而求得數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（2）分別求得數(shù)列｛”“｝的奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，利用分組求和的方法

即可求得數(shù)列｛%｝的前2〃項(xiàng)和S2ll.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得。2=。］=1，%=2ao=2,%=%=2,/=2%=4,=%=4,

4=%=1,b2=a4=2,4=4=4,

當(dāng)〃22時(shí)，bn=a2n=/“-I=2a2n-2=2%」,

又仄=1,所以也｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以a=2〃T.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知。2〃=2"，所以。2,1=%〃=2""，

所以S2n=----出八一］+a2n=（々I+々3----）+（&2+。4--------出"）

1_yni_

=(1+2+4+…+2”T)+(1+2+4+…+2'i)=-^—+——=2'向一2.

'1-21-2

18.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其面積為S,且

b(^a-b+c)(sinA4-sin3+sinC)=6S.

(1)求角8的大小；

(2)若〃=Z?+1,c=b-2,求cosA,cosC的值.

兀

【答案】（1）-

3

（2）1,U

714

【解析】

【分析】（1）由三角形的面積公式結(jié)合正弦余弦定理化簡(jiǎn)即可得到答案;

（2）由余弦定理計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

由S=；a/?sinC,又8（。一人+c）（sinA+sinB+sinC）=3a〃sinC,

由。＞0,則（a—b+c）（sinA+sinB+sinC）=3asinC.

由正弦定理得（a-匕+c）（a+匕+c）=3ac,

所以a?+c?-人之-ac-

由余弦定理得cosB=Y+i"

2ac2ac2

TT

因?yàn)?<B<〃，所以8=—.

3

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?〃=ac，a—b+1,c-b—2,

所以(人+1)2+(Z?-2)2-b2=(/?+l)(Z?-2),

解得。=7,所以a=8,c=5.

/+°2_。272+52-821

所以cosA=

2bc-76-7

cosC=^±^82+72-5211

2ab11214

19.經(jīng)過(guò)全國(guó)上下的共同努力，我國(guó)的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些國(guó)家的疫情

并沒(méi)有得到有效控制，疫情防控形勢(shì)仍然比較嚴(yán)峻，為扎緊疫情防控的籬笆，提高疫情防

控意識(shí)，某市宣傳部門(mén)開(kāi)展了線(xiàn)上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從全市的參

與者中隨機(jī)抽取了1000名幸運(yùn)者的成績(jī)進(jìn)行分析，他們的得分（滿(mǎn)分100分）情況如下

表：

得分[30,40](40,50](50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻數(shù)2515020025022510050

（1）若此次知識(shí)競(jìng)賽得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)〃，。分別為抽

取的1000名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替），求〃，G

的值；（結(jié)果保留整數(shù)）

（2）在（1）的條件下，為感謝市民的積極參與，對(duì)參與者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超

過(guò)79分的可獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分超過(guò)79分的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)，抽

32

到10元紅包的概率為巨，抽到20元紅包的概率為已知胡老師是這次活動(dòng)中的參與者，

估算胡老師在此次活動(dòng)中所獲得紅包的數(shù)學(xué)期望.（結(jié)果保留整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：P（〃一b<X<//+b）=0.6826；P（"-2b<X?/7+2（T）=0.954；

PQ/-3b<XW〃+3b）=0.9974,而a1.449.

【答案】（1）65,14

（2）16（元）

【解析】

【分析】（1）利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差公式直接計(jì)算即可.

（2）先計(jì)算胡老師抽獎(jiǎng)次數(shù)的期望，然后計(jì)算一次抽獎(jiǎng)獲得紅包金額的期望，從而得到在

此次活動(dòng)中所獲得紅包的數(shù)學(xué)期望.

【小問(wèn)1詳解】

35x25+45x150+55x200+65x250+75x225+85x100+95x50y

u---------------------------------------------------------------------------------------=65，

1000

2

cr=p—［（35—65）2x25+（45-65）2x150+（55—65J2x200+（65-65）\250+（75-65）\225

+（85-65）2xl00+（95-35）2x501=210,

所以b*14.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)隨機(jī)變量N表示胡老師的抽獎(jiǎng)次數(shù)，則N的可能取值為1,2.

尸（N=2）=尸（X>79）=士答型a（）.1587,

p（2V=1）=P（X<79）?0.8413,

其分布列為

N12

P0.84130.1587

所以E（N）=1x0.8413+2x0.1587=1.1587.

設(shè)隨機(jī)變量T為胡老師一次抽獎(jiǎng)獲得的紅包金額，則T的可能取值為10,20,

由題意知P（T=10）=M，P（T=20）=y,

所以隨機(jī)變量7的分布列為

T1020

32

P

5

32

￡（T）=10x1+20x-=14.

所以胡老師此次活動(dòng)所獲得紅包的數(shù)學(xué)期望為1.1587x14=16.2218al6（元）.

20.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABGR中，AB=2BC=2A4,,尸為4片的中點(diǎn).

（1）證明：

（2）求二面角P—5G—A的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）逅

9

【解析】

【分析】（1）由向量法結(jié)合判定證明即可；

（2）由向量法得出面角P-的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示

設(shè)AB=2BC=2M=2,則A（1,0,0）,B（1,2,0）,C（0,2,0）,。（0,0,0）

A（LO,1），4（1，2,1）,G（0,2,1）,D}（0,0,1）,

???DP=(1,1,1),BP=(0,-1,1),Bq=(-1,0,1)

麗?麗=—1+1=0,而?居=T+l=0

BP工DP,DP工BC]

又BPcBq=8,OP_L平面BPG

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可知，平面BPG的法向量為方=(1,LD

設(shè)平面AfG的法向量為為=(x,y,z),A月=(o,2,—1)

n-A^B=02y—z=0

=><令z=2,可得法二(2」,2)

n-BC[=0—x+z=0

n-DP2+1+2_573

-

\n\\DP\73x799

故二面角P-BC.-A,的正弦值為

V

21.已知函數(shù)/(x)=；x2-ox+sinx-(x-a)cosx(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性:

(2)當(dāng)0Wa4■時(shí)，證明：/(X)N0.(注a：1.414,y/6~2.449)

【答案】⑴函數(shù)/(x)在(-8,a)上單調(diào)遞減，在(a,Ts)上單調(diào)遞增

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論x>“和x<。，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

即可；

(2)由⑴知，“X)在x="處取得最小值，要證〃x)20,即證ae0,言時(shí),

2

/(x)>/(-r)rajn=f(a)--^a+sina>0,構(gòu)造函數(shù)g(a)=-；，/+sina,證明g(a)在

ae0,且上大于等于0即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

則/'(x)=x-a+cosx+(x-Q)sinx-cosx=(x-〃)(l+sinx),

?jsinxe[-1,1],.-.l+sinx>0.

當(dāng)x<a時(shí)，r(x”()，所以/(x)在(f,a)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>a時(shí),/(x)>0,所以/(x)在(a,一)上單調(diào)遞增；

綜上所述：函數(shù)/(x)在(―,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

小問(wèn)2詳解】

由(1)知，/(x)在x=a處取得唯一極小值，即最小值，所以

/(x)>/(?)=-^?2-a2+sina=-$2+sina,

S77

欲證當(dāng)04a4五時(shí)，/(x)>0,

57ri

印證當(dāng)0Wa<——時(shí)，=/(。)=——/4-sin?>0,

122

令g(Q)=-；〃2+sin。，ae,

5兀

則g'(Q)=-〃+cosa,又令〃(〃)=81〃)=-〃+85〃，aG。，泊,

則〃(a)=-l-sinaWO恒成立，所以〃(a)在0,—上單調(diào)遞減，

畀>—<0,即〃(。)后上。，

???存在唯一?oe(0，向使得〃(。)=0恒成立，

當(dāng)0<a<4時(shí)，〃(。)>0,即g'(a)>0,所以g(a)(0,4)上單調(diào)遞增;

5K

當(dāng)％時(shí)，/?(a)<0,即g'(a)<0,所以g(a上單調(diào)遞減;

12

所以g(a)的最小值在a=0或處取得，又因?yàn)間(0)=(),

571兀71-25兀2&五

x+sin—+—------1

72l總46288-----4

72x(指+&)-25兀272x(2.449+1.414)-25x3.14x3.14_278.136-246.49

Q—>0

288288288

所以g(")min=g(°)=°，

S771

即當(dāng)0<Q<——時(shí)，/(x)>/(?)=——a2+sina>0,

122

故當(dāng)O?aWm57r時(shí)，/(x)>0.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論:

(D/(x)2a恒成立2a；

⑵恒成立=/(x)24a；

Yy2

22.已知橢圓C:j+=1(〃>/?>0)離心率為橢圓c的左、右頂點(diǎn)分別為A,