題型08 與圓有關(guān)的證明與計(jì)算題【有答案】

備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)十大題型專練卷題型08與圓有關(guān)的證明與計(jì)算題一、單選題1．如圖，是的弦，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為（）．A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】由垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．【詳解】解：如圖，∵，∴．∵是的弦，交于點(diǎn)，∴．∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解題關(guān)鍵證明.2．如圖，為的切線，切點(diǎn)為，連接，與交于點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為()A． B． C． D．【答案】D【分析】由切線性質(zhì)得到，再由等腰三角形性質(zhì)得到，然后用三角形外角性質(zhì)得出【詳解】切線性質(zhì)得到故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等，掌握基礎(chǔ)定義是解題關(guān)鍵3．如圖，是的內(nèi)接三角形，，過點(diǎn)的圓的切線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A．32° B．31° C．29° D．61°【答案】A【分析】根據(jù)題意連接OC，為直角三角形，再根據(jù)BC的優(yōu)弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，可計(jì)算的的度，再根據(jù)直角三角形可得的度數(shù).【詳解】根據(jù)題意連接OC.因?yàn)樗钥傻肂C所對(duì)的大圓心角為因?yàn)锽D為直徑，所以可得由于為直角三角形所以可得故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角的計(jì)算，關(guān)鍵在于圓心角等于同弧所對(duì)圓周角的2倍.4．如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則這段彎路所在圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可以推出AD＝BD＝20，若設(shè)半徑為r，則OD＝r﹣10，OB＝r，結(jié)合勾股定理可推出半徑r的值．【詳解】解：，，在中，，設(shè)半徑為得：，解得：，這段彎路的半徑為故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于設(shè)出半徑為r后，用r表示出OD、OB的長度．5．如圖，點(diǎn)為扇形的半徑上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，且（表示的長），若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面半徑與母線長的比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接OD，求出∠AOB，利用弧長公式和圓的周長公式求解即可.【詳解】解：連接交AC于．由折疊的知識(shí)可得：，，，，且，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形，熟練掌握?qǐng)A錐的弧長公式和圓的周長公式是解題的關(guān)鍵.6．如圖，邊長為的等邊的內(nèi)切圓的半徑為()A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】連接AO、CO，CO的延長線交AB于H，如圖，利用內(nèi)心的性質(zhì)得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CAB=60°，CH⊥AB，則∠OAH=30°，AH=BH=AB=3，然后利用正切的定義計(jì)算出OH即可．【詳解】設(shè)的內(nèi)心為O，連接AO、BO，CO的延長線交AB于H，如圖，∵為等邊三角形，∴CH平分，AO平分，∵為等邊三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴，即內(nèi)切圓的半徑為1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為()A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，繼而可求得OH、AH長，根據(jù)圓周角定理可求得∠BOC=60°，然后根據(jù)S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等知識(shí)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.8．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判斷△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，繼而證明四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，利用面積法求出r的值即可求得答案.【詳解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，∴OE=OF=r，∴S四邊形AEOF=r2，連接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四邊形AEOF=r2=4，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，勾股定理的逆定理，正方形判定與性質(zhì)，面積法等，正確把握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.9．如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)，且平分，分別與，相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓周角定理和角平分線得出，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，選項(xiàng)A成立；由平行線的性質(zhì)得出，選項(xiàng)B成立；由垂徑定理得出，選項(xiàng)D成立；和中，沒有相等的邊，與不全等，選項(xiàng)C不成立，即可得出答案．【詳解】∵是的直徑，平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，選項(xiàng)A成立；∴，選項(xiàng)B成立；∴，選項(xiàng)D成立；∵和中，沒有相等的邊，∴與不全等，選項(xiàng)C不成立，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟練掌圓周角定理和垂徑定理．10．如圖，在中，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵在中，，，，，BC為半圓O的直徑，，，，圖中陰影部分的面積故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分割法求面積。二、填空題11．如圖，的兩條相交弦、，，，則的面積是_______．【答案】．【分析】由，而，所以，得到為等邊三角形，又，從而求得半徑，即可得到的面積．【詳解】解：∵，而，∴，∴為等邊三角形，∵，∴圓的半徑為2，∴的面積是，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是能夠求得圓的半徑，難度不大．12．如圖,邊長為2的正方形ABCD中心與半徑為2的⊙O的圓心重合,E、F分別是AD、BA的延長與⊙O的交點(diǎn),則圖中陰影部分的面積是______.(結(jié)果保留)【答案】－1【分析】延長DC，CB交⊙O于M，N，根據(jù)圓和正方形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長DC，CB交⊙O于M，N，則圖中陰影部分的面積＝×（S圓O?S正方形ABCD）＝×（4π?4）＝π?1，故答案為：π?1．【點(diǎn)睛】本題考查了圓中陰影部分面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，，則弦的長度為______．【答案】【分析】連接、，交于，如圖，利用垂徑定理得到，設(shè)的半徑為，則，，根據(jù)勾股定理得到，解得，再利用垂徑定理得到，，則，，然后解方程組求出，從而得到的長．【詳解】連接、，交于，如圖，∵，，設(shè)⊙的半徑為，則，，在中，，解得，∵，，，在中，，①在中，，②解由①②組成的方程組得到，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．14．如圖，分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)以圓心、以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形.若等邊三角形的邊長為，則勒洛三角形的周長為__________．【答案】【分析】勒洛三角形的周長為3段相等的弧，計(jì)算弧長即可.【詳解】勒洛三角形的周長為3段相等的弧，每段弧的長度為：則勒洛三角形的周長為：故答案為：【點(diǎn)晴】考查弧長公式，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過原點(diǎn)，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，與交于點(diǎn)，，則圓中陰影部分的面積為_____．【答案】【分析】由圓周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的長，然后根據(jù)S陰=S半-S△ABO求解即可.【詳解】連接，∵，∴是直徑，根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得，∵，∴，，即圓的半徑為2，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了：①同弧對(duì)的圓周角相等；②90°的圓周角對(duì)的弦是直徑；③銳角三角函數(shù)的概念；④圓、直角三角形的面積分式．熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答本題的關(guān)鍵.16．如圖，是圓的弦，，垂足為點(diǎn)，將劣弧沿弦折疊交于的中點(diǎn)，若，則圓的半徑為_____．【答案】．【分析】連接OA，設(shè)半徑為x，用x表示OC，根據(jù)勾股定理建立x的方程，便可求得結(jié)果．【詳解】解：連接OA，設(shè)半徑為x，

將劣弧沿弦AB折疊交于OC的中點(diǎn)D，

，，

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，

解得，．

故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出半徑的方程．17．如圖，扇形中，.為弧上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，與交于點(diǎn)，若，則該扇形的半徑長為___________【答案】5【分析】連接OP，設(shè)半徑為r，在直角三角形OCP中利用勾股定理將CO用r表示，得到AC，又有△ACD∽△AOB，利用，解出r即可【詳解】連接OP，設(shè)半徑為r，則OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3,在直角三角形OCP中，，即得OC2=r2-9，得到OC=得到AC=，又易知△ACD∽△AOB，所以，即，得到，解出r=5；故填5【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及相似三角形的證明與性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于能夠連OP，表示出AC18．如圖，在圓心角為90°的扇形中，，為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長為_____．【答案】【分析】以為斜邊在的右邊作等腰，以為圓心為半徑作⊙，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)H，連接，，，．求出，證，得，由，證四點(diǎn)共圓，故點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，由弧長公式可得.【詳解】如圖，以為斜邊在的左邊作等腰，以為圓心為半徑作⊙，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)H，連接，，，．∵，∴，∵點(diǎn)是內(nèi)心，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，∴內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算公式：l=，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．同時(shí)考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．19．如圖，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交于點(diǎn)，點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則陰影部分的面積為_____.【答案】【分析】根據(jù)題意連接OC，可得陰影部分的面積等于兩個(gè)陰影部分面積之和，再根據(jù)弧AC所對(duì)的陰影部分面積等于弧AC所對(duì)圓心角的面積減去的面積，而不規(guī)則圖形BCD的面積等于的面積減去弧DC所對(duì)圓心角的面積.進(jìn)而可得陰影部分的面積.【詳解】解：根據(jù)題意連接OC為等邊三角形陰影部分面積1=陰影部分面積2=陰影部分面積=陰影部分面積1+陰影部分面積2=故答案為?！军c(diǎn)睛】本題只要考查圓弧的面積計(jì)算，關(guān)鍵在于陰影部分面積的分割.20．如圖，在扇形AOB中，，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且．若，則陰影部分的面積為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是的面積與扇形OBC的面積之和再減去的面積，本題得以解決．【詳解】解：作于點(diǎn)F，在扇形AOB中，，半徑OC交弦AB于點(diǎn)D，且．，，，，，，，，，，陰影部分的面積是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題21．如圖，內(nèi)接于，直徑交于點(diǎn)E，延長至點(diǎn)F，使，連接并延長交過點(diǎn)A的切線于點(diǎn)G，且滿足，連接，若，．（1）求證：；（2）求的半徑；（3）求證：是的切線．【答案】（1）見解析；（2）的半徑為；（3）見解析.【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓周角定理，結(jié)合題意進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；（2）根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)，得到，從而得出答案；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：（1）∵是的切線，是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴設(shè)，，∵，∴，∵，∴，∴，∴（負(fù)值舍去），∴，∴的半徑為；（3）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、圓周角定理、三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì).22．如圖,內(nèi)接于，.將斜邊繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).（1）求證：是的切線;（2）連接交于點(diǎn)，連接求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）因?yàn)橹苯侨切蔚耐庑臑樾边呏悬c(diǎn)，所以點(diǎn)O在AB上，AB為⊙O直徑，故只需證AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可證得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C在同一直線上，用180°減去90°即為∠BAD=90°，得證．（2）由（1）利用勾股定理得出，公積金圖形得出，可知，即可得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，又因?yàn)椋纯山獯稹驹斀狻浚?）證明：且為的半徑為的切線（2）證明：由①知由模型可知，【點(diǎn)睛】此題考查三角形相似，圓切線證明，解題關(guān)鍵在于證明AD⊥AB23．如圖1，有一個(gè)殘缺的圓，請(qǐng)做出殘缺圓的圓心（保留作圖痕跡，不寫做法）如圖2，設(shè)是該殘缺圓的直徑，是圓上一點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求殘缺圓的半圓面積．【答案】圖1做圖題作法：詳見解析；圖2解答過程：（1）詳見解析；（2）5π【分析】作弦，，再作兩弦的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)O即為圓心．（1）連接交于，由切線的性質(zhì)可得，然后證明∥即可；（2）首先證明四邊形是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解決問題．【詳解】解：圖1做圖題作法：①在殘缺的圓上取兩條不平行的弦和；②以點(diǎn)為圓心大于一半長為半徑在兩側(cè)作圓??；③以點(diǎn)為圓心，同樣長的半徑在兩側(cè)作圓弧與②中的圓弧交于，兩點(diǎn)；④作直線即為線段的垂直平分線；⑤以同樣的方法做線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)即為該殘缺圓的圓心.圖2解答過程：（1）證明：連接交于∵為的切線∴∵平分∴∵∴∴∥∴（2）解：∵是的直徑∴∵∥∴∴，四邊形為矩形∴∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．24．如圖1，已知⊙O外一點(diǎn)P向⊙O作切線PA，點(diǎn)A為切點(diǎn)，連接PO并延長交⊙O于點(diǎn)B，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作，分別交PB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．（1）求證：△APO～△DCA；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)①求的度數(shù)；②連接AB，在⊙O上是否存在點(diǎn)Q使得四邊形APQB是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②存在，.【分析】（1）由切線性質(zhì)和直徑AC可得，由可得，即可得：；（2）①連接OD，由可得△OAD是等邊三角形，由此可得，；②作交⊙O于Q，可證ABQP為菱形，求可轉(zhuǎn)化為求．【詳解】（1）∵PA切⊙O于點(diǎn)A，AC是⊙O的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，（2）如圖2，連接OD，①∵，，∴△是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，②存在．如圖2，過點(diǎn)B作交⊙O于Q，連接PQ，BC，CQ，由①得：，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴∵∴，∴，∵，∴，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∵，∴四邊形ABQP是菱形，∴∴，【點(diǎn)睛】本題是有關(guān)圓的綜合題，難度不大；主要考查了切線性質(zhì)，圓周角與圓心角，等邊三角形性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，菱形性質(zhì)等．25．四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，線段是的直徑，連結(jié)．點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連結(jié)，且，的延長線與的延長線相交與點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，①求證：為等腰直角三角形；②求的長度．【答案】（1）見解析;（2）①見解析;②.【分析】（1）由圓周角的定理可得，可證，由一組對(duì)邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形是平行四邊形；（2）①由平行線的性質(zhì)可證，由，可證為等腰直角三角形；②通過證明，可得，可得，通過證明，可得，可得，可求，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求的長度．【詳解】證明：（1）∵，∴，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，（2）①∵是直徑，∴，且，∴，∴，∵，∴，且，∴，∴，且，∴為等腰直角三角形；②∵四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，∴，且，∴，∴，且，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，且為等腰直角三角形，∴，【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求的長度是本題的關(guān)鍵．26．如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長線與的外接圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長、相交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）3【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，則，從而得到，則可判斷；(2)根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，然后證明得到；(3)證明，利用相似比得到，則，然后計(jì)算即可．【詳解】(1)∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；(2)∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，∵，即，∴；(3)∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形的外心、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.27．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn).為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，.(1)求證：是的切線；(2)在邊上截取，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn).【分析】(1)連接，由等腰三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)證，根據(jù)矩形性質(zhì)證；（2）根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理求CE,CF,由得出結(jié)論.【詳解】解：(1)證明：連接，∵，∴.由折疊可知，∴.∴.∴.∵四邊形是矩形，∴.∴.即.∴是的切線；(2)點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn).∵四邊形是矩形，∴，.∴.∵，∴.∴.∴.∴點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn).【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形性質(zhì)，切線判定.根據(jù)需要尋找條件是關(guān)鍵.28．宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實(shí)物圖，圖②是其示意圖，其中、都與地面l平行，車輪半徑為，，，坐墊與點(diǎn)的距離為.（1）求坐墊到地面的距離；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)坐墊到的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時(shí)，坐騎比較舒適．小明的腿長約為，現(xiàn)將坐墊調(diào)整至坐騎舒適高度位置，求的長．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）99.5（2）3.9【分析】（1）作于點(diǎn)，由可得答案；（2）作于點(diǎn)，先根據(jù)求得的長度，再根據(jù)可得答案【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)E作于點(diǎn)，由題意知、，∴，則單車車座到地面的高度為；（2）如圖2所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，則，∴.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行解答．29．（材料閱讀）:地球是一個(gè)球體，任意兩條相對(duì)