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文檔簡介
復(fù)變函數(shù)的微積分基本要求:
1.理解解析函數(shù)的定義。
2.掌握C-R條件與解析函數(shù)及調(diào)和函數(shù)的關(guān)系3.掌握科希定理和科希公式,理解其證明方法及關(guān)鍵步驟。內(nèi)容:
復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù),科希一里曼方程,解析函數(shù),共軛調(diào)和函數(shù),平面標量場及多值函數(shù);復(fù)變函數(shù)的積分,單,復(fù)通區(qū)域上的科希定理和科希公式。12導(dǎo)數(shù)一、
導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)為單值函數(shù),即對于B上的每一個z值,有且只有一個w值與之相對應(yīng)。如果對于B上的某點z,極限
存在,且與
z0的方式無關(guān),則稱 函數(shù)
w=f(z)在z
點可導(dǎo),此極限定義為函數(shù)
w=f(z)在z點的導(dǎo)數(shù)(或微商),
記為3與實變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的區(qū)別:
實變函數(shù):
x0;復(fù)變函數(shù):
z0
z0方式圖示xyo
z02、z=i
y1、z=
x3、z=
x+i
y?4二、求導(dǎo)公式5
必須指出,復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義,雖然形式上一樣,實質(zhì)上卻有很大的不同.這是因為實變數(shù)Δx只能沿著實軸逼近零、復(fù)變數(shù)Δz卻可以沿復(fù)數(shù)平面上的任一曲線逼近零.因此,與實變函數(shù)的可導(dǎo)相比,復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴格得多.6三、柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程證明:1、實軸方向
,
z=x2、虛軸方向
,
z=i
y
xyo
z02、z=i
y1、z=
x73、f(z)可導(dǎo),
與
z0的方式無關(guān),因此從而:
C-R方程是可導(dǎo)的必要條件?!挛?黎曼(Cauchy-Riemann)方程8例:不滿足C-R條件事實上9可導(dǎo)的充要條件:u(x,y)和v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù),且滿足C-R條件,則復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
可導(dǎo)。滿足C-R條件??梢奀-R條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件沿實軸或虛軸,10極坐標中的C-R方程:極限是與的方式無關(guān)的有限值若復(fù)變函數(shù)可導(dǎo),則其實部和虛部通過C-R而聯(lián)系起來11復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)方法(如果存在):
一、已知f(z),求導(dǎo):與實變函數(shù)求導(dǎo)類似。 二、已知
u(x,y)+iv(x,y),求導(dǎo):12例:13解析函數(shù) 一、解析函數(shù)的
定義:如果單值函數(shù)f(z)在點z0及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱f(z)在z0點解析。又若f(z)在區(qū)域B上每一點都解析(可導(dǎo)),則稱f(z)是區(qū)域B上的解析函數(shù)
z0點可導(dǎo)與z0
點解析的區(qū)別:函數(shù)f(z)=|z|2(§1.4例2)在z=0點可導(dǎo),而在其他點均不可導(dǎo),故z=0點不解析。
z0z0鄰域14可導(dǎo)與解析的關(guān)系z0點解析z0
點可導(dǎo)區(qū)域上可導(dǎo)區(qū)域上解析不一定!15二.解析函數(shù)的性質(zhì):若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析,則
1、u(x,y)=C1
與v(x,y)=C2互相正交;將C-R方程兩邊對應(yīng)相乘,得
u(x,y)=C1
與v(x,y)=C2互相正交;16
2、
2u=0和2v=0,即u
和v
是調(diào)和函數(shù);將前式對x求導(dǎo),后式對y求導(dǎo),相加,得同理可得
—共軛調(diào)和函數(shù)
復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分
復(fù)平面上的路積分定義:復(fù)平面分段光滑曲線L上的連續(xù)函數(shù)f(z),作和17????A??xyo?Bz0znlz1zk-1zk
k18存在且與
k的選取無關(guān),則這個和的極限稱為函數(shù)f(z)沿曲線l從A到B的路積分,記為
即若
分量形式:f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy
參數(shù)形式:曲線l
的參數(shù)方程{x=x(t),y=y(t)},起始點A
和結(jié)束點
B
tA,tB1920幾個重要性質(zhì)1。常數(shù)因子可以移到積分號之外2。函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和3。反轉(zhuǎn)積分路徑,積分值變號214。全路徑上的積分等于各分段上的積分之和即:如果
l=l1+l2+……+ln5。積分不等式1:6。積分不等式2:其中M
是|f(z)|在l上的最大值,L
是l
的全長。22例計算積分解一般言,復(fù)變函數(shù)的積分不僅與起點和終點有關(guān),同時還與路徑有關(guān).oxyl1l1l2l211+ii柯西(Cauchy)定理
——研究積分與路徑之間的關(guān)系(一)單連通域情形單連通域在其中作任何簡單閉合圍線,圍線內(nèi)的點都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點 單連通區(qū)域的Cauchy定理
:如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域中單值且解析,則沿中任何一個分段光滑的閉合曲線c(也可以是的邊界l),函數(shù)的積分為零。2324oxylco證明:由路徑積分的定義:因f(z)在上解析,因而在上連續(xù),25對實部虛部分別應(yīng)用格林公式
將回路積分化成面積分又u、v滿足C-R條件故26推廣:若f(z)在單連通域B上解析,在閉單連通域上連續(xù),則沿上任一分段光滑閉合曲線C(也可以是的邊界),有
(二)復(fù)連通域情形如果區(qū)域內(nèi)存在:(1)奇點;(2)不連續(xù)線段;(3)無定義區(qū)為了把這些奇異部分排除在外,需要作適當?shù)膰纋1、l2、l3
把它們分隔開來,形成帶孔的區(qū)域-復(fù)連通區(qū)域。一般言,在區(qū)域內(nèi),只要有一個簡單的閉合圍線其內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點,這樣的區(qū)域便稱為復(fù)連通域區(qū)域邊界線的正向當觀察者沿著這個方向前進時,區(qū)域總是在觀察者的左邊。27
xy
l1l2l3l0Bo28復(fù)連通區(qū)域的Cauchy定理:如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域中的單值解析函數(shù),則l為外邊界線,
li為內(nèi)邊界線,積分沿邊界線正向證:作割線連接內(nèi)外邊界線2930即31柯西定理總結(jié):1。若f(z)在單連通域B上解析,在閉單連通域上連續(xù),則沿上任一分段光滑閉合曲線C(也可以是的邊界)的積分為零;2。閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分為零;3。閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時針方向積分之和;32由Cauchy定理可推出:(與開頭呼應(yīng)?。┰陂]單連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z),其路積分值只依賴于起點和終點,而與積分路徑無關(guān)。證明:由圖可知其中表示C2的反方向。由積分的基本性質(zhì)可得:33ADBC2C134最后可得:只要起點和終點固定不變,當積分路徑連續(xù)變形時(不跳過“孔”)時,函數(shù)的路積分值不變不定積分單連通區(qū)域中解析函數(shù)f(z)的積分值與路經(jīng)無關(guān),令z0固定,終點z
為變點,有單值函數(shù)ABl2l1且:F(z)
是f(z)
的原函數(shù)還有證略36思考被積函數(shù)為解析函數(shù)和非解析函數(shù)的區(qū)別例2:計算積分l
CR(n為整數(shù))解:n0被積函數(shù)解析n<0,z=為(z-)n奇點,作小圓C,在C上
l
CR結(jié)論:(l不包圍
)(l包圍
)40n0n=1討論如下積分的值:柯西積分公式若:f(z)
在閉單通區(qū)域上解析,l是閉區(qū)域的境界線,
是閉區(qū)域內(nèi)的任一點,則有柯西積分公式柯西公式可表示為f(z)在l區(qū)域上有奇點,挖去奇點形成復(fù)通區(qū)域,柯西公式l為所有境界線,方向為正向物理意義:一個解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)的值由它在該區(qū)域邊界上的值f()所確定z
推論:對于復(fù)通區(qū)域,類推有
zll1l244Cauchy積分公式的重要推論(任意次可導(dǎo)?。?/p>
45n>1討論如下積分的求解過程:461、計
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