復(fù)變函數(shù)的微積分

復(fù)變函數(shù)的微積分基本要求：

1.理解解析函數(shù)的定義。

2．掌握C-R條件與解析函數(shù)及調(diào)和函數(shù)的關(guān)系3.掌握科希定理和科希公式，理解其證明方法及關(guān)鍵步驟。內(nèi)容：

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，科希一里曼方程，解析函數(shù)，共軛調(diào)和函數(shù)，平面標(biāo)量場(chǎng)及多值函數(shù)；復(fù)變函數(shù)的積分，單,復(fù)通區(qū)域上的科希定理和科希公式。12導(dǎo)數(shù)一、

導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)為單值函數(shù)，即對(duì)于B上的每一個(gè)z值，有且只有一個(gè)w值與之相對(duì)應(yīng)。如果對(duì)于B上的某點(diǎn)z,極限

存在，且與

z0的方式無(wú)關(guān)，則稱(chēng) 函數(shù)

w=f(z)在z

點(diǎn)可導(dǎo)，此極限定義為函數(shù)

w=f(z)在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或微商），

記為3與實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的區(qū)別：

實(shí)變函數(shù)：

x0；復(fù)變函數(shù)：

z0

z0方式圖示xyo

z02、z=i

y1、z=

x3、z=

x+i

y?4二、求導(dǎo)公式5

必須指出，復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，雖然形式上一樣，實(shí)質(zhì)上卻有很大的不同．這是因?yàn)閷?shí)變數(shù)Δx只能沿著實(shí)軸逼近零、復(fù)變數(shù)Δz卻可以沿復(fù)數(shù)平面上的任一曲線(xiàn)逼近零．因此，與實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)相比，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴(yán)格得多．6三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程證明：1、實(shí)軸方向

,

z=x2、虛軸方向

,

z=i

y

xyo

z02、z=i

y1、z=

x73、f(z)可導(dǎo)，

與

z0的方式無(wú)關(guān)，因此從而：

C-R方程是可導(dǎo)的必要條件?！挛?黎曼（Cauchy-Riemann）方程8例:不滿(mǎn)足C-R條件事實(shí)上9可導(dǎo)的充要條件：u(x,y)和v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)，且滿(mǎn)足C-R條件,則復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

可導(dǎo)。滿(mǎn)足C-R條件?？梢?jiàn)C-R條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件沿實(shí)軸或虛軸，10極坐標(biāo)中的C-R方程：極限是與的方式無(wú)關(guān)的有限值若復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)，則其實(shí)部和虛部通過(guò)C-R而聯(lián)系起來(lái)11復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)方法(如果存在）:

一、已知f(z),求導(dǎo):與實(shí)變函數(shù)求導(dǎo)類(lèi)似。 二、已知

u(x,y)+iv(x,y),求導(dǎo):12例：13解析函數(shù) 一、解析函數(shù)的

定義：如果單值函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)在z0點(diǎn)解析。又若f(z)在區(qū)域B上每一點(diǎn)都解析（可導(dǎo)），則稱(chēng)f(z)是區(qū)域B上的解析函數(shù)

z0點(diǎn)可導(dǎo)與z0

點(diǎn)解析的區(qū)別:函數(shù)f(z)=|z|2(§1.4例2)在z=0點(diǎn)可導(dǎo)，而在其他點(diǎn)均不可導(dǎo)，故z=0點(diǎn)不解析。

z0z0鄰域14可導(dǎo)與解析的關(guān)系z(mì)0點(diǎn)解析z0

點(diǎn)可導(dǎo)區(qū)域上可導(dǎo)區(qū)域上解析不一定！15二.解析函數(shù)的性質(zhì)：若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則

1、u(x,y)=C1

與v(x,y)=C2互相正交;將C-R方程兩邊對(duì)應(yīng)相乘,得

u(x,y)=C1

與v(x,y)=C2互相正交;16

2、

2u=0和2v=0,即u

和v

是調(diào)和函數(shù);將前式對(duì)x求導(dǎo),后式對(duì)y求導(dǎo),相加,得同理可得

—共軛調(diào)和函數(shù)

復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分

復(fù)平面上的路積分定義:復(fù)平面分段光滑曲線(xiàn)L上的連續(xù)函數(shù)f(z)，作和17????A??xyo?Bz0znlz1zk-1zk

k18存在且與

k的選取無(wú)關(guān),則這個(gè)和的極限稱(chēng)為函數(shù)f(z)沿曲線(xiàn)l從A到B的路積分，記為

即若

分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy

參數(shù)形式：曲線(xiàn)l

的參數(shù)方程{x=x(t),y=y(t)},起始點(diǎn)A

和結(jié)束點(diǎn)

B

tA,tB1920幾個(gè)重要性質(zhì)1。常數(shù)因子可以移到積分號(hào)之外2。函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和3。反轉(zhuǎn)積分路徑，積分值變號(hào)214。全路徑上的積分等于各分段上的積分之和即：如果

l=l1+l2+……+ln5。積分不等式1：6。積分不等式2：其中M

是|f(z)|在l上的最大值，L

是l

的全長(zhǎng)。22例計(jì)算積分解一般言,復(fù)變函數(shù)的積分不僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),同時(shí)還與路徑有關(guān).oxyl1l1l2l211+ii柯西（Cauchy）定理

——研究積分與路徑之間的關(guān)系（一）單連通域情形單連通域在其中作任何簡(jiǎn)單閉合圍線(xiàn)，圍線(xiàn)內(nèi)的點(diǎn)都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn) 單連通區(qū)域的Cauchy定理

：如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域中單值且解析，則沿中任何一個(gè)分段光滑的閉合曲線(xiàn)c(也可以是的邊界l),函數(shù)的積分為零。2324oxylco證明：由路徑積分的定義：因f(z)在上解析，因而在上連續(xù)，25對(duì)實(shí)部虛部分別應(yīng)用格林公式

將回路積分化成面積分又u、v滿(mǎn)足C-R條件故26推廣：若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續(xù)，則沿上任一分段光滑閉合曲線(xiàn)C(也可以是的邊界)，有

（二）復(fù)連通域情形如果區(qū)域內(nèi)存在：（1）奇點(diǎn)；（2）不連續(xù)線(xiàn)段；（3）無(wú)定義區(qū)為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當(dāng)?shù)膰纋1、l2、l3

把它們分隔開(kāi)來(lái)，形成帶孔的區(qū)域-復(fù)連通區(qū)域。一般言，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個(gè)簡(jiǎn)單的閉合圍線(xiàn)其內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點(diǎn)，這樣的區(qū)域便稱(chēng)為復(fù)連通域區(qū)域邊界線(xiàn)的正向當(dāng)觀察者沿著這個(gè)方向前進(jìn)時(shí)，區(qū)域總是在觀察者的左邊。27

xy

l1l2l3l0Bo28復(fù)連通區(qū)域的Cauchy定理：如果f(z)是閉復(fù)連通區(qū)域中的單值解析函數(shù)，則l為外邊界線(xiàn)，

li為內(nèi)邊界線(xiàn)，積分沿邊界線(xiàn)正向證：作割線(xiàn)連接內(nèi)外邊界線(xiàn)2930即31柯西定理總結(jié)：1。若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域上連續(xù)，則沿上任一分段光滑閉合曲線(xiàn)C(也可以是的邊界)的積分為零；2。閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線(xiàn)正方向的積分為零；3。閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿外境界線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较虻姆e分等于沿所有內(nèi)境界線(xiàn)逆時(shí)針?lè)较蚍e分之和；32由Cauchy定理可推出：（與開(kāi)頭呼應(yīng)?。┰陂]單連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域中解析的函數(shù)f(z)，其路積分值只依賴(lài)于起點(diǎn)和終點(diǎn)，而與積分路徑無(wú)關(guān)。證明：由圖可知其中表示C2的反方向。由積分的基本性質(zhì)可得：33ADBC2C134最后可得：只要起點(diǎn)和終點(diǎn)固定不變，當(dāng)積分路徑連續(xù)變形時(shí)（不跳過(guò)“孔”）時(shí)，函數(shù)的路積分值不變不定積分單連通區(qū)域中解析函數(shù)f(z)的積分值與路經(jīng)無(wú)關(guān)，令z0固定，終點(diǎn)z

為變點(diǎn)，有單值函數(shù)ABl2l1且：F(z)

是f(z)

的原函數(shù)還有證略36思考被積函數(shù)為解析函數(shù)和非解析函數(shù)的區(qū)別例2：計(jì)算積分l

CR（n為整數(shù)）解：n0被積函數(shù)解析n<0,z=為（z-)n奇點(diǎn)，作小圓C,在C上

l

CR結(jié)論：(l不包圍

)(l包圍

)40n0n=1討論如下積分的值：柯西積分公式若：f(z)

在閉單通區(qū)域上解析，l是閉區(qū)域的境界線(xiàn)，

是閉區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)，則有柯西積分公式柯西公式可表示為f(z)在l區(qū)域上有奇點(diǎn)，挖去奇點(diǎn)形成復(fù)通區(qū)域，柯西公式l為所有境界線(xiàn)，方向?yàn)檎蛭锢硪饬x：一個(gè)解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)的值由它在該區(qū)域邊界上的值f()所確定z

推論：對(duì)于復(fù)通區(qū)域，類(lèi)推有

zll1l244Cauchy積分公式的重要推論（任意次可導(dǎo)?。?/p>

45n>1討論如下積分的求解過(guò)程：461、計(jì)