1982年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

1．選擇題(本題48分，每一小題答對者得6分，答錯者得0分，不答者得1分)：⑴如果凸n邊形F(n≥4)的所有對角線都相等，那么A．F∈{四邊形}B．F∈{五邊形}C．F∈{四邊形}∪{五邊形}D．F∈{邊相等的多邊形}∪{內(nèi)角相等的多邊形}⑵極坐標(biāo)方程ρ=eq\f(1,1－cosθ+sinθ)所確定的曲線是A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線⑺設(shè)M={(x，y)||xy|=1，x>0}，N={(x，y)|arctanx+arccoty=π}，那么A．M∪N={(x，y)||xy|=1}B．M∪N=MC．M∪N=ND．M∪N={(x，y)||xy|=1，且x，y不同時為負(fù)數(shù)}⑻當(dāng)a，b是兩個不相等的正數(shù)時，下列三個代數(shù)式：甲：(a+eq\f(1,a))(b+eq\f(1,b))，乙：(eq\r(ab)+eq\f(1,\r(ab)))2，丙：(eq\f(a+b,2)+eq\f(2,a+b))2中間，值最大的一個是A．必定是甲B．必定是乙C．必定是丙D．一般并不確定，而與a、b的取值有關(guān)2．(本題16分)已知四面體SABC中，∠ASB=eq\f(π,2)，∠ASC=α(0<α<eq\f(π,2))，∠BSC=β(0<β<eq\f(π,2))．以SC為棱的二面角的平面角為θ．求證：θ=－arccos(cotα?cotβ)．3．(本題16分)已知：⑴半圓的直徑AB長為2r；⑵半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，|AT|=2a(2a<)；⑶半圓上有相異兩點M、N，它們與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件eq\f(|MP|,|AM|)=eq\f(|NQ|,|AN|)=1．求證：|AM|+|AN|=|AB|．

1982年二十八省、市、自治區(qū)中學(xué)生聯(lián)合數(shù)學(xué)競賽解答1．選擇題(本題48分，每一小題答對者得6分，答錯者得0分，不答者得1分)：⑴如果凸n邊形F(n≥4)的所有對角線都相等，那么A．F∈{四邊形}B．F∈{五邊形}C．F∈{四邊形}∪{五邊形}D．F∈{邊相等的多邊形}∪{內(nèi)角相等的多邊形}【答案】C【解析】由正方形及正五邊形知A、B均錯，由對角線相等的四邊形形狀不確定，知D錯，選C．=⑷由方程|x－1|+|y－1|=1確定的曲線所圍成的圖形的面積是A．1B．2C．πD．4【答案】B【解析】此曲線的圖形是一個正方形，頂點為(0，1)，(1，0)，(2，1)，(1，2)；其面積為2．選B．⑹已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k為實數(shù))的兩個實數(shù)根，x12+x22的最大值是A．19B．18C．5eq\f(5,9)D．不存在⑺設(shè)M={(x，y)||xy|=1，x>0}，N={(x，y)|arctanx+arccoty=π}，那么A．M∪N={(x，y)||xy|=1}B．M∪N=MC．M∪N=ND．M∪N={(x，y)||xy|=1，且x，y不同時為負(fù)數(shù)}⑻當(dāng)a，b是兩個不相等的正數(shù)時，下列三個代數(shù)式：甲：(a+eq\f(1,a))(b+eq\f(1,b))，乙：(eq\r(ab)+eq\f(1,\r(ab)))2，丙：(eq\f(a+b,2)+eq\f(2,a+b))2中間，值最大的一個是A．必定是甲B．必定是乙C．必定是丙D．一般并不確定，而與a、b的取值有關(guān)【答案】D【解析】甲>乙，但甲、丙大小不確定．故選D．2．(本題16分)已知四面體SABC中，∠ASB=eq\f(π,2)，∠ASC=α(0<α<eq\f(π,2))，∠BSC=β(0<β<eq\f(π,2))．以SC為棱的二面角的平面角為θ．求證：θ=－arccos(cotα?cotβ)．【解析】證明：在SC上取點D，使SD=1，在面SAC、SBC內(nèi)分別作DE⊥SC，DF⊥SC，分別交SA、SB于E、F，連EF．則∠EDF為二面角A—SC—B的平面角．即∠EDF=θ．由∠BSC=β，知SF=secβ，DF=tanβ．由∠ASC=α，得SE=secα，DE=tanα．由∠ASB=eq\f(,2)，得EF2=SE2+SF2=DE2+DF2－2DE?DFcosθ．∴sec2α+sec2β=tan2α+tan2β－2tanαtanβcosθ．cosθ=－cotαcotβ．∴θ=－arc(cotαcotβ)．3．(本題16分)已知：⑴半圓的直徑AB長為2r；⑵半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，|AT|=2a(2a<)；⑶半圓上有相異兩點M、N，它們與直線l的距離|MP|、|NQ|滿足條件eq\f(|MP|,|AM|)=eq\f(|NQ|,|AN|)=1．求證：|AM|+|AN|=|AB|．4．(本題20分)已知邊長為4的正三角形ABC．D、E、F分別是BC、CA、AB上的點，且|AE|=|BF|=|CD|=1，連結(jié)AD、BE、CF，交成△RQS．點P在△RQS內(nèi)及邊上移動，點P到△ABC三邊的距離分別記作x、y、z．⑴求證當(dāng)點P在△RQS的頂點位置時乘積xyz有極小值；⑵求上述乘積xyz的極小值．【解析】利用面積，易證：⑴當(dāng)點P在△ABC內(nèi)部及邊上移動時，x+y+z為定值h=2eq\r(3)；⑵過P作BC的平行線l，交△ABC的兩邊于G、H．當(dāng)點P在線段GH上移動時，y+z為定值，從而x為定值．⑶設(shè)y∈[α，β]，m為定值．則函數(shù)u=y(m－y)在點y=α或y=β時取得極小值．于是可知，過R作AB、AC的平行線，過Q作AB、BC的平行線，過S作BC、AC的平行線，這6條平行線交得六邊形STRUQV，由上證，易得只有當(dāng)點P在此六點上時，xyz取得極小值．由對稱性易知，xyz的值在此六點處相等．由eq\f(EA,AC)·eq\f(CD,DB)·eq\f(BS,SE)=1，得eq\f(BS,BE)=eq\f(12,13)，x=eq\f(12,13)·eq\f(3,4)h=eq\f(9,13)h，y=eq\f(SE,BE)h=eq\f(1,13)h，z=eq\f(3,13)h．∴xyz=(eq\f(3,13))3h3=eq\f(648,2197)eq\r(3)．5．