橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法

PAGEPAGE4橢圓、雙曲線的離心率取值范圍求解方法一、利用三角形三邊的關(guān)系建立不等關(guān)系（但要注意可以取到等號(hào)成立）例1：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A.(1,3) B. C.(3,+) D.【解析】，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線等號(hào)成立）,選B例2、如果橢圓上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與它到右焦點(diǎn)的距離相等，那么橢圓的離心率的取值范圍為 （）A． B． C． D．[解析]設(shè)，由題意及橢圓第二定義可知（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線等號(hào)成立），把代入化簡(jiǎn)可得又,選B二、利用三角函數(shù)有界性結(jié)合余弦定理建立不等關(guān)系例1：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在右頂點(diǎn)處，．．三、利用曲線的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系例1：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若為其上一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A.(1,3) B. C.(3,+) D.解：,,即在雙曲線右支上恒存在點(diǎn)使得可知，又,選B例2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，P到右準(zhǔn)線的距離為d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比數(shù)列，求雙曲線的離心率的取值范圍。

解：由題意得因?yàn)椋?，從?/p>

，。又因?yàn)镻在右支上，所以。

。。例3．橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，而|FA|＝w|PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴m又e∈(0,1)故e∈答案：D 例4、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．若雙曲線上存在點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．【解析】（由正弦定理得），，．又，，，由雙曲線性質(zhì)知，，即，得，又，得．例5、設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使∠=900，求離心率e的取值范圍。

解析：∵P點(diǎn)滿足∠F1PF2=90°，∴點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上又∵P是橢圓上一點(diǎn)，∴以F1F2為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，∵F1、F2是橢圓的焦點(diǎn)∴以F1F2為直徑的圓的半徑r滿足：r=c≥b，兩邊平方，得c2≥b2即c2≥a2-c2例2、已知雙曲線與直線：交于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，求雙曲線離心率的取值范圍。解析：把雙曲線方程和直線方程聯(lián)立消去得：時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則，，即且，所以，即且。

五、利用均值不等式建立不等關(guān)系例1、已知橢圓(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2=60°則橢圓離心率e的取值范圍；解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n則根據(jù)橢圓的定義，得m+n=2a，①又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°∴由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2．②①②聯(lián)解，得mn＝

又∵mn≤＝a2，∴≤a2，化簡(jiǎn)整理，得a2＜4c2，解之得≤e＜1

例2、已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)為，最小值是，則雙曲線離心率的取值范圍。解析：，由均值定理知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，又所以，則。例3、設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使∠=900，則離心率e的取值范圍。解析：由橢圓定義，有平方后得六、利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立不等關(guān)系設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】．，根據(jù)二次函數(shù)值域可得．七、利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)例已知過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線離心率的取值范圍。解析：設(shè)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程：，代入雙曲線方程得：，由韋達(dá)定理得：，，由OP⊥OQ得，即：，解得：，因?yàn)?，所以，則，所以。練習(xí)1、設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足∠F1PF2=120°，則橢圓的離心率的取值范圍是（A）A．[，1)B.（，1)C.(0，)D.(0，]解：設(shè)，P（x1，y1），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），c＞0，則|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．

在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°＝，解得x12＝．∵x12∈（0，a2]，

∴4c2-3a2≥0．且e2＜1∴e∈[，1)2、設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】設(shè)若為右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，可知，即，又在右準(zhǔn)線上可知，所以離心率的取值范圍為．3、橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為．若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】因?yàn)閮蓽?zhǔn)線距離為，又因?yàn)?，所以有，即，所以?、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 【解析】如圖與分別為與雙曲線的漸近線平行的兩條直線，直線為過(guò)且傾斜角為的直線，要使與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)使．．5、設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)，，求雙曲線離心率的取值范圍。解析1：由雙曲線第一定義得：，與已知聯(lián)立解得：，由三角形性質(zhì)得：解得：。解析2：，點(diǎn)P在雙曲線右支上由圖1可知：，，即，兩式相加得：，解得：。6、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．若雙曲線上存在點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．【解析】因?yàn)樵谥?，由正弦定理得則由已知，得，即，且知點(diǎn)P在雙曲線的右支上，設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式，得則解得由雙曲線的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率7、若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()A.B.C.D.解析:因?yàn)槭且阎p曲線的左焦點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線方程為，設(shè)點(diǎn)P，則有，解得，因?yàn)椋?，所?，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，故的取值范圍是，選B。7、已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于軸的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是20080418（A）20080418A． B． C. D．8、已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為?！窘馕觥咳鐖D，,作軸于點(diǎn)D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得,整理得.兩邊都除以,得,解得.9、已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)．若，則（）（A）1（B）（C） （D）2【解析】設(shè)直線l為橢圓的有準(zhǔn)線，e為離心率，過(guò)A，B分別作AA1，BB1垂直于l，A1，B為垂足，過(guò)B作BE垂直于AA1與E，由第二定義得，，由，得，∴即k=，故選