2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市德保縣高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市德?？h高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題（每小題5分，共40分）1．是虛數(shù)單位，則（

）A． B．C． D．2．圓和的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切3．已知橢圓方程為，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．6 B．12 C．8 D．164．已知直線與直線，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．55．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．6．設(shè)，向量，，，且，，則（

）A． B．3 C． D．47．已知點(diǎn)，，若直線：與線段相交，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知空間中三點(diǎn)，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題（每小題5分，選不全，得2分，全選對(duì)得5分，共20分）9．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若，，則直線的傾斜角為C．若直線過(guò)點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過(guò)點(diǎn)D．直線的截距為10．已知圓：，直線：，則（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為B．直線與圓的位置關(guān)系無(wú)法確定C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)是D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)11．關(guān)于函數(shù)下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)的增區(qū)間為C．函數(shù)的最小值為 D．函數(shù)的一條對(duì)稱軸的方程為12．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則（

）A．為定值B．的周長(zhǎng)的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為直角三角形D．當(dāng)時(shí)，的面積為三、填空題（每小題5分，共20分）13．已知空間向量的夾角為，則．14．直線：與圓相交、兩點(diǎn)，則．15．已知為軸上一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，△為正三角形，且的中點(diǎn)恰好在橢圓上，則該橢圓的離心率為．16．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，將軍從點(diǎn)出發(fā)，河岸線所在直線方程為，假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程．四、解答題（6題，共70分）17．已知直線過(guò)點(diǎn)且與直線：垂直．(1)求直線的方程；(2)若直線l經(jīng)過(guò)，且過(guò)直線與的交點(diǎn)，求直線l的方程．18．已知，.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.19．已知圓過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，記為線段的中點(diǎn)，求的軌跡方程；20．在下面的三個(gè)條件：①，②，③.任選一個(gè)補(bǔ)充到問(wèn)題中，并給出解答.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且__________.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.21．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，為原點(diǎn).橢圓上任意一點(diǎn)到，距離之和為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的斜率為2的直線交橢圓于?兩點(diǎn)，求的面積.22．如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是2，分別是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出答案.【詳解】.故選：A2．D【分析】由圓與圓的位置關(guān)系判斷，【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓可化為，圓心為，半徑為4，而兩圓心的距離為，故兩圓外切，故選：D3．D【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)方程可求得，再根據(jù)長(zhǎng)軸定義即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知，解得；所以該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：D4．A【分析】解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】解：若，則，所以或．當(dāng)時(shí)，重合，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時(shí)，符合題意．故選：A5．B【分析】根據(jù)空間向量基本定理進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以，故.故選：B6．C【分析】通過(guò)，，可列式求出，則可求出，進(jìn)而求出.【詳解】解：，，得，又，則，得，，，.故選：C.本題考查空間向量垂直，平行，模的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題.7．B【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)，在求出臨界點(diǎn)處直線的斜率，結(jié)合圖象得到不等式組，解得即可.【詳解】因?yàn)橹本€：，即，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，，直線的斜率為，要使直線與線段有公共點(diǎn)，由圖可知，解得，即的取值范圍是.

故選：B.8．A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可求解．【詳解】依題意得則點(diǎn)C到直線AB的距離為故選：A9．BC【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系，點(diǎn)斜式及斜截式判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，錯(cuò)；B：由于，的橫坐標(biāo)相等，即直線與y軸垂直，故傾斜角為，對(duì)；C：由題設(shè)，直線方程為，顯然在直線上，對(duì)；D：直線在y軸上的截距為，但軸上的截距不一定為，錯(cuò).故選：BC10．AD【分析】A選項(xiàng)，變形后得到方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；B選項(xiàng)，確定直線所過(guò)定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而得到直線與圓的位置關(guān)系；C選項(xiàng)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，由兩點(diǎn)間距離公式和垂徑定理得到最短弦長(zhǎng)；D選項(xiàng)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)最大，將圓心坐標(biāo)代入直線，得到的值.【詳解】A選項(xiàng)，變形為，令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，故在圓內(nèi)，則直線與圓相交，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，

此時(shí)，由垂徑定理得，最短弦長(zhǎng)為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，被圓截得的弦長(zhǎng)最大，將代入中，，解得，D正確.故選：AD11．AD【分析】通過(guò)對(duì)進(jìn)行恒等變換，，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷【詳解】，對(duì)A，最小正周期為，A對(duì)；對(duì)B，由，得，B錯(cuò)；對(duì)C，最小值為，C錯(cuò)；對(duì)D，由得，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，D對(duì).故選：AD12．AD【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)對(duì)稱性得到，結(jié)合定義可判定A正確；由，得到，根據(jù)周長(zhǎng)，可判定B錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組求得，，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，得到，可判定C錯(cuò)誤；由，結(jié)合面積公式，可判定D正確.【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，所以，故A正確；由橢圓，可得，則，因?yàn)?，所以的取值范圍是，所以的周長(zhǎng)為，其取值范圍是，故B錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，解得，，又由，所以，所以為鈍角，則為鈍角三角形，故C錯(cuò)誤；聯(lián)立方程組，解得，，可得，所以，又由，，可得，故D正確.故選：AD.13．13【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算律即可求得的值.【詳解】空間向量的夾角為，則.故1314．【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】由解得或，不妨令，所以.故15．【分析】連接，由題設(shè)易知且，結(jié)合橢圓的定義得到，即可求離心率.【詳解】如圖，連接．由△為正三角形，且為線段的中點(diǎn)，∴．又，，∴，，由橢圓的定義，得，即，∴，即橢圓的離心率．故16．【分析】求出點(diǎn)關(guān)于河岸線所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)可得原點(diǎn)與點(diǎn)連線和河岸線所在直線的交點(diǎn)即為“將軍飲馬”點(diǎn)，再求出最小值即得.【詳解】若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋瑘A：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，如圖：設(shè)為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，于是，解得，即，令原點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，對(duì)直線上任意點(diǎn)，，因此將軍飲馬點(diǎn)為時(shí)，最小，最小值為，由于到達(dá)營(yíng)區(qū)點(diǎn)即回到軍營(yíng)，所以“將軍飲馬”的最短總路程為點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離.故17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)出的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的值，即可得出答案；（2）聯(lián)立直線與的方程，求解方程組得出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后即可根據(jù)兩點(diǎn)式方程，求出答案.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線的方程為.又直線過(guò)點(diǎn)，所以有，解得，所以，直線的方程為.（2）聯(lián)立直線與的方程，可得，所以，直線與的交點(diǎn).又直線l經(jīng)過(guò)，代入直線的兩點(diǎn)式方程可得，，整理可得.18．(1)(2)【分析】(1)利用空間向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；(2)根據(jù)兩向量的共線定理，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】（1）由已知可得，，∴.（2），，∵，∴存在實(shí)數(shù)使得，∴，，，聯(lián)立解得.19．(1)(2)【分析】（1）先求的垂直平分線方程為，與的交點(diǎn)即圓心，圓心到點(diǎn)的距離即為半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由為線段的中點(diǎn)得到坐標(biāo)與坐標(biāo)的關(guān)系，代入圓方程可得軌跡方程.【詳解】（1），的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立得，即圓的圓心為，半徑為，故圓的方程為（2）設(shè)，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，則，因點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，則，即的軌跡方程為.20．(1)條件選擇見(jiàn)解析，；(2).【分析】（1）若選①：利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化和兩角和的正弦公式，即可求出答案；若選②：利用三角恒等變換結(jié)合條件即得；若選③：利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化和余弦定理，即可求出答案；（2）利用正弦定理表示出，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）選①：由正弦定理及，得，又，，又，，又，；選②：由，得，即，，，，，即；選③：由及正弦定理，得，又由余弦定理得，所以，，；（2）由，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以的取值范圍?21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義可知a，c，再根據(jù)，即可求出b，由此即可求出橢圓的方程；（2）求出直線的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線AB的距離，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，∴，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）直線l的方程為，代入橢圓方程得，設(shè)，，則，，，∴，又∵點(diǎn)O到直線AB的距離，∴，即△OAB的面積為.22．(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得，證得，，即可求解；（2）利用空間向量的