留數(shù)教案講義

留數(shù)定理§5.1孤立奇點(diǎn)若在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)解析，但在點(diǎn)不解析，則稱為的孤立奇點(diǎn)。若是的一個(gè)奇點(diǎn)，且在點(diǎn)的無(wú)論多么小的鄰域內(nèi)總還有除點(diǎn)外的其它奇點(diǎn)，則稱點(diǎn)為的非孤立奇點(diǎn)。例如，為的孤立奇點(diǎn)，為的非孤立奇點(diǎn)。去心鄰域可看作內(nèi)圓周縮為一點(diǎn)的環(huán)域。若為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則總存在著正數(shù)，使得在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可展成洛朗級(jí)數(shù)。這里的正數(shù)，顯然最大可取為與的離最近的一個(gè)奇點(diǎn)間的距離。在孤立奇點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi)，有時(shí)也稱為在孤立奇點(diǎn)的洛朗展開(kāi)。1.孤立奇點(diǎn)的分類設(shè)為函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)，在去心鄰域內(nèi)的洛朗展式為。前面已知，右邊第二個(gè)級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)的解析部分，其和函數(shù)在包括點(diǎn)的鄰域內(nèi)是解析的，故在點(diǎn)的奇異性質(zhì)完全體現(xiàn)在的洛朗展式的負(fù)冪項(xiàng)部分，所以從出現(xiàn)奇異性來(lái)說(shuō)，我們稱為在點(diǎn)的主要部分。根據(jù)主要部分僅可能出現(xiàn)三種情況，將的有限孤立奇點(diǎn)作如下分類：定義5.1.1：設(shè)為的有限孤立奇點(diǎn)。（1）若在點(diǎn)的主要部分為零，則稱為的可去奇點(diǎn)。（2）若在點(diǎn)的主要部分為有限多項(xiàng)，設(shè)為，則稱為的階極點(diǎn)。一階極點(diǎn)也稱為簡(jiǎn)單極點(diǎn)。（3）若在點(diǎn)的主要部分有無(wú)限多項(xiàng)，則稱為的本性奇點(diǎn)?！咀ⅰ浚憾x中的第（1）種情形為什么叫可去奇點(diǎn)？其由來(lái)是：因主要部分為零，函數(shù)在可去奇點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的洛朗展式只有非負(fù)冪項(xiàng)的解析部分，前面已知，這解析部分的和函數(shù)在包括點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，。于是在內(nèi)，當(dāng)我們適當(dāng)補(bǔ)充或改變?cè)邳c(diǎn)的定義，令之后，在鄰域內(nèi)就沒(méi)有奇點(diǎn)了。這就是可去奇點(diǎn)名稱中“可去”的由來(lái)。下面幾個(gè)在洛朗展式基礎(chǔ)上證明的定理，分別描述了解析函數(shù)在三類有限孤立奇點(diǎn)附近的性態(tài)，也給出了各類奇點(diǎn)的判別法。定理5.1.1：若為的孤立奇點(diǎn)，則下列兩條中的每一條都是為階極點(diǎn)的充要條件：（1）在點(diǎn)的主要部分為；（2）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)能表成，其中在點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，且；2.解析函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)定理5.1.2：若為的孤立奇點(diǎn)，則下列三條中的每一條都是為可去奇點(diǎn)的特征（即每一條都是為可去奇點(diǎn)的充要條件）：（1）在點(diǎn)的主要部分為零；（2）（有限復(fù)數(shù)）；（3）在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有界。定理5.1.3：的孤立奇點(diǎn)為極點(diǎn)。定理5.1.4：的孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)不存在有限或無(wú)限的極限。3.解析函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義5.1.2：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)解析。若，則稱為解析函數(shù)的零點(diǎn)。若，但，則稱為解析函數(shù)的階零點(diǎn)。特別，當(dāng)時(shí)，也稱為的簡(jiǎn)單零點(diǎn)。若在鄰域內(nèi)解析，不恒為零，則為的階零點(diǎn)時(shí)，在內(nèi)的泰勒展式形式為。右端提取公因式，并記，容易證明在鄰域內(nèi)解析，且。于是在鄰域內(nèi)有。反之，當(dāng)在內(nèi)解析，并能表成上述形式時(shí)，由泰勒定理中的關(guān)系式，立即可知為的階零點(diǎn)。這樣我們就證明了下述定理：定理5.1.5：不恒為零的解析函數(shù)以為階零點(diǎn)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，其中在鄰域內(nèi)解析，且。解析函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)，有如下關(guān)系：定理5.1.6：若為的孤立奇點(diǎn)，則為階極點(diǎn)的充要條件是為的可去奇點(diǎn)，將作為的解析點(diǎn)看待，為的階零點(diǎn)。4.解析函數(shù)在無(wú)窮孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)定義5.1.3：若函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)去心鄰域內(nèi)解析，則稱點(diǎn)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。若點(diǎn)是的奇點(diǎn)的聚點(diǎn)，則點(diǎn)是的非孤立奇點(diǎn)。定義5.1.4：設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，作倒數(shù)變換后有。若為的可去奇點(diǎn)（視為解析點(diǎn)），則稱為的可去奇點(diǎn)（解析點(diǎn)）；若為的階極點(diǎn)，則稱為的階極點(diǎn)；若為的本性極點(diǎn)，則稱為的本性極點(diǎn)。我們可按廣義連續(xù)性來(lái)定義函數(shù)在點(diǎn)處的值：定義。同樣雖在點(diǎn)處沒(méi)有定義差商，從而沒(méi)有定義函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的可微性，但現(xiàn)在有了定義5.1.4之后，今后我們稱在點(diǎn)解析，其意義是指：點(diǎn)為的可去奇點(diǎn)，且定義。設(shè)由上面式確定的在去心鄰域內(nèi)的洛朗展式為，換回到變量，即令，就得到在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的洛朗展式,(5.1.1)其中，即在原點(diǎn)去心鄰域的展式中的負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)，與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)去心鄰域的展式中的相應(yīng)正冪項(xiàng)系數(shù)相等,而前者展式中的正冪項(xiàng)系數(shù)與后者負(fù)冪項(xiàng)相應(yīng)系數(shù)相等。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，應(yīng)用對(duì)有限孤立奇點(diǎn)的討論結(jié)果，我們得知，就洛朗展式看：可去奇點(diǎn)展式(5.1.1)中不含的正次冪，為的階極點(diǎn)展式(5.1.1)中只有有限個(gè)正次冪，且最高次冪為，本性奇點(diǎn)展式(5.1.1)中有無(wú)限多個(gè)正次冪。就函數(shù)的極限值看：可去奇點(diǎn)（有限復(fù)數(shù)），為的階極點(diǎn)，本性奇點(diǎn)不存在。§5.2留數(shù)5.1留數(shù)的定義我們知道，若于閉路（即圍線）上及其內(nèi)部解析，則依柯西積分定理有；但若內(nèi)含有的孤立奇點(diǎn)，則不一定等于。對(duì)于后者情況，現(xiàn)在我們先把進(jìn)行羅朗展開(kāi)，然后再來(lái)對(duì)它進(jìn)行積分：事實(shí)上，設(shè)于去心鄰域內(nèi)解析，則它有羅朗展式此級(jí)數(shù)在上述去心鄰域內(nèi)的圍線上一致收斂，故沿該圍線可逐項(xiàng)積分，所以對(duì)上式兩邊積分，有但該式右端除了這一項(xiàng)外，全部等于（依據(jù)書(shū)中P73例2的積分得），于是有。由此可見(jiàn)，羅朗展式中系數(shù)是個(gè)特別的數(shù)，它是在上述逐項(xiàng)積分后唯一殘留下來(lái)的系數(shù)。若不計(jì)因子，它就代表了對(duì)圍線積分的值。鑒于此，我們作如下定義：定義5.2.1：若函數(shù)以有限點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，即在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析，則在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可以展成羅朗級(jí)數(shù)，，我們稱此級(jí)數(shù)中這一項(xiàng)的系數(shù)或積分（它正好就能依羅朗系數(shù)公式(4.4.6)取時(shí)得出）為在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)（也稱殘數(shù)），記為或（是residue的縮寫(xiě)），即，或。定義5.2.2：設(shè)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，即在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析，則在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)可以展成羅朗級(jí)數(shù)，，我們稱級(jí)數(shù)中這一項(xiàng)的系數(shù)的反號(hào)數(shù)或積分為在點(diǎn)的留數(shù)，記為或，即，或其中指取的順時(shí)針?lè)较颍ㄖ赃@樣取向，是因?yàn)檫@個(gè)方向正是繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向）。5.2留數(shù)的基本定理有界區(qū)域的留數(shù)定理：定理5.2.1（留數(shù)定理）：若在圍線或復(fù)圍線所圍區(qū)域內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析，在閉域上除外連續(xù)，則?！甲C〗：在內(nèi)以每個(gè)為中心作半徑充分小的圓周（），使得這些小圓周及其內(nèi)部均含于，并且彼此互相隔離。應(yīng)用多連通區(qū)域上的柯西積分定理得又由留數(shù)定義有代入上式，即知定理中的結(jié)果式子成立?！鯏U(kuò)充復(fù)平面上的留數(shù)定理：定理5.2.2：若在擴(kuò)充復(fù)平面上除有限個(gè)點(diǎn)外解析，點(diǎn)也為的孤立奇點(diǎn)，則，即在所有孤立奇點(diǎn)的留數(shù)之和為零?！甲C〗：以原點(diǎn)為中心作半徑充分大的圓周，使的內(nèi)部包含。由定理5.2.1得,但所以即知定理中的結(jié)果式子成立。□5.3留數(shù)的計(jì)算：原則上，只要算得了函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的羅朗展式，那么函數(shù)在此點(diǎn)的留數(shù)也就求出來(lái)了（求其負(fù)一次冪項(xiàng)的系數(shù)就是）。但總是用這樣的一般方法去做并不合算，因?yàn)榍罅_朗展式往往并不容易。下面介紹的方法，是將留數(shù)的計(jì)算歸結(jié)為求極限、求導(dǎo)這一類有時(shí)是很簡(jiǎn)單的計(jì)算，免得去使用羅朗展式。但這種方法的得到其實(shí)卻要以羅朗展式為理論工具。此外要說(shuō)明，這種方法對(duì)于高階極點(diǎn)，計(jì)算起來(lái)也未必簡(jiǎn)單。因函數(shù)在其有限的可去奇點(diǎn)的羅朗展式中不含負(fù)冪項(xiàng)，故函數(shù)在其有限的可去奇點(diǎn)的留數(shù)總等于零。因此，對(duì)于函數(shù)在其有限的孤立奇點(diǎn)的留數(shù)就只要去考慮極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)。以下我們主要討論在極點(diǎn)的留數(shù)的計(jì)算方法。5.3.1有限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算方法1）.若為的可去奇點(diǎn)，則在內(nèi)的羅朗展開(kāi)式中不含負(fù)冪項(xiàng)，從而，故當(dāng)為的可去奇點(diǎn)時(shí)，。2）.若為的一階極點(diǎn)（1）第一種情形：若為的一階極點(diǎn)，則在內(nèi)的羅朗展開(kāi)式為顯然，故當(dāng)為的一階極點(diǎn)時(shí)，。（2）第二種情形：若為的一階極點(diǎn)，且，則。3）.若為的階極點(diǎn)，則。證明：由于以乘以上式兩端，得兩邊求階導(dǎo)數(shù)，得{含有正冪的項(xiàng)}令，兩端求極限，有根據(jù)，并兩端除以，就得所證?！?）.當(dāng)為的本性奇點(diǎn)時(shí)，幾乎沒(méi)有什么簡(jiǎn)捷方法，因此對(duì)于本性奇點(diǎn)處的留數(shù)，就只能利用羅朗展開(kāi)式的方法或計(jì)算積分的方法來(lái)求．有限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)計(jì)算典型實(shí)例例：求。解：容易知道是函數(shù)的一階極點(diǎn)，所以5.3.2無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算方法1.利用無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義或留數(shù)定理例：求函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù)。解：函數(shù)以及為一階極點(diǎn)，而為本性奇點(diǎn)。又所以。2.利用下述定理求無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定理5.2.3：若，則?！甲C明〗：由條件，故可設(shè)在的去心鄰域的羅朗級(jí)數(shù)為因此。□3.利用下述定理求無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定理5.2.4：若，則§5.3留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用5.3.1計(jì)算型積分定理5.3.1：設(shè)為、的有理函數(shù)，且在上連續(xù)，則，(5.2.1)其中，為在單位圓內(nèi)的奇點(diǎn)。5.3.2計(jì)算積分路徑上沒(méi)有奇點(diǎn)的無(wú)窮限積分§5.4對(duì)數(shù)留數(shù)與幅