專題01 勾股定理（五大類型）（題型專練）（原卷版）

專題01勾股定理（五大類型）【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】【題型4作無理數(shù)的線段】【題型5勾股定理的證明】【題型1已知直角的兩邊長，求第三邊長】1．（2023春?禪城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，則AB邊的長度是（）A．3 B．4 C． D．2．（2023春?張北縣校級期中）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°且AB＝3，BC＝4，則AC＝（）A．5 B． C．5或 D．±5或3．（2023春?黃岡月考）直角三角形兩邊分別為5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．74．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．165．（2022秋?晉江市期末）我國古代稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊為勾，另一條直角邊為股，斜邊為弦．若一勾股形中勾為9，股為12，則弦為（）A．21 B．15 C．13 D．126．（2022秋?內(nèi)江期末）如圖所示：求黑色部分（長方形）的面積為（）A．24 B．30 C．48 D．187．（2023?金水區(qū)開學(xué)）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME﹣7）的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，則OA21的長為（）A．22 B． C．21 D．【題型2直接求直角三角形周長、面積和斜邊上的高等問題】8．（2022秋?榆樹市期末）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB、BC、AC為邊向外作正方形，若三個(gè)正方形的面積分別為225、400、S，則S的值為（）A．25 B．175 C．600 D．6259．（2022秋?沈丘縣期末）如圖，以Rt△ABC的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝50，則S1的值為（）A．10 B．15 C．20 D．2510．（2023春?大荔縣期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O．若AD＝2，BC＝5，則AB2+CD2＝．11．（2023春?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，四邊形ADEC是正方形，則正方形ADEC的面積是（）?A．8 B．16 C．18 D．2012．（2023春?市北區(qū)期中）如圖，∠ACB＝90°，將Rt△ABC沿著射線BC方向平移5cm，得到△A'B'C'，已知BC＝3cm，AC＝4cm，則陰影部分的面積為（）A．14cm2 B．16cm2 C．18cm2 D．20cm213．（2022秋?兩江新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分線，則△CDE的周長是（）A．6 B．7 C．8 D．914．（2023春?銅仁市期末）如圖，若四個(gè)完全相同的小直角三角形按如圖方式全部放置在大直角三角形ABC的內(nèi)部，這四個(gè)小三角形的斜邊剛好相接在斜邊BC上，AB+AC＝7，BC＝5，則這四個(gè)小直角三角形的周長之和為．15．（2023春?德州期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，分別以AC，BC為底邊向外作等腰直角三角形，等腰直角三角形的面積分別記為S1，S2，則S1+S2的值為．16．（2023春?微山縣期中）在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面積依次為5，7，20，則正方形B的面積是．?17．（2023春?昆明期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，AD＝10，CD＝8．求四邊形ABCD的面積．18．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，∠DCB＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，，求四邊形ABCD的面積．19．（2022秋?蘇州期末）計(jì)算圖中四邊形ABCD的面積．20．（2022秋?張店區(qū)校級期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝4，CD是斜邊AB上高．（1）求△ABC的面積；（2）求斜邊AB；（3）求高CD．21．（2022秋?南宮市期末）如圖，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，AD⊥BC，且BD＝DE，連接AE．（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度數(shù)．（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周長．【題型3等面積法求直角三角形斜邊上的高】22．（2023春?西城區(qū)校級期中）直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12，則斜邊上的高為（）A． B． C．6 D．1323．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．524．（2023春?代縣月考）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，則邊BC的長為（）A．4 B．14 C．4或14 D．8或1425．（2022秋?榕城區(qū)期末）如圖是邊長為1的3×3的正方形網(wǎng)格，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，則BC邊上的高是（）A． B． C．2 D．26．（2023春?長沙期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD為AB邊上的高．（1）求斜邊AB的長；（2）求CD的長．27．（2023春?靖西市期中）如圖，在Rt△ABC中，兩直角邊AC＝8，BC＝6．（1）求AB的長；（2）求斜邊上的高CD的長．28．（2022秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，則AD＝，BD＝；（2）若BC＝20，求CD的長．29．（2023春?福山區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求：（1）Rt△ABC的面積；（2）斜邊AB的長；（3）求AB邊上的高CD的長．【題型4作無理數(shù)的線段】30．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D在數(shù)軸上，且點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)D表示的數(shù)為0，用圓規(guī)在數(shù)軸上截取AE＝AC，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）A．1 B．1﹣ C．﹣1 D．31．如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為．35．如圖所示，點(diǎn)C表示的數(shù)是．32．如圖，已知長方形的一邊在數(shù)軸上，寬為1，BA＝BC，寫出數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是．33．如圖，OA＝OB，OC＝3，BC＝1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是．34．如圖，在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)（不寫作法，要求保留作圖痕跡）．【題型5勾股定理的證明】35．（2023春?渝北區(qū)校級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．36．（2021秋?海州區(qū)期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個(gè)直角三角形中邊長為12的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）A．148 B．100 C．196 D．14437．（2022春?河?xùn)|區(qū)期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形．如圖所示，如果大正方形的面積是100，小正方形的面積為20，那么每個(gè)直角三角形的周長為（）A．10+ B．10+ C．10+ D．2438．（2023春?朝陽區(qū)校級期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b（a＞b），直角三角形的面積為S1，小正方形的面積為S2，則用含S1，S2的代數(shù)式表示a2+b2正確的是（）A．4S1+S21 B．4S1﹣S2 C．4S1 D．4S1+S239．（2023?攀枝花二模）將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．40．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．41．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期中）用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．（1）結(jié)合圖①，求證：a2+b2＝c2；（2）如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH＝6．求該圖形的面積．42.方圖”以驗(yàn)證勾股定理，后世也稱“趙爽弦圖”．實(shí)際上，趙爽弦圖與完全平方公式有著密切的聯(lián)系．如圖是由8個(gè)全等的直角三角形拼成，其中直角邊分別為a，b，請回答以下問題：（1）如圖，正方形ABCD的面積為，正方形IJKL的面積為；（用含a，b的式子表示）（2）根據(jù)圖中正方形ABCD的面積及正方形IJKL的面積的關(guān)系，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2的等量關(guān)系為；（3）請通過運(yùn)算證明上述等量關(guān)系；（4）記正方形ABCD，正方形EFGH，正方形IJKL的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝30，直角三角形AEH的面積為，則求（a﹣b）2的值．43．（2022秋?邗江區(qū)期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；