聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)第30課平行四邊形

第30課平行四邊形

基礎(chǔ)知識題型分類要點(diǎn)梳理題型一平行四邊形的判定基礎(chǔ)自測題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長

與面積問題題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推

理論證易錯警示22.不可將未加證明的條件作為已知條件

或推理依據(jù)知識點(diǎn)索引要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形2.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形兩組對邊分別____________；

(2)平行四邊形對角________，鄰角________；

(3)平行四邊形對角線____________；

(4)平行四邊形是________對稱圖形．平行且相等相等互補(bǔ)互相平分中心要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.平行四邊形的判定

(1)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(2)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(3)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(4)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(5)_____________________的四邊形是平行四邊形．兩組對邊分別平行一組對邊平行且相等兩組對邊分別相等兩組對角分別相等對角線互相平分要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引4.平行四邊形中常添的輔助線

(1)常用連對角線的方法把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題；

(2)有平行線時，常作平行線構(gòu)造平行四邊形；

(3)有中線時，常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形；

(4)圖形具有等鄰邊特征時(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置．基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.(中考真題-廣東)如圖，平行四邊形ABCD中，下列說法一定正確的是(

)A.AC＝BD B.AC⊥BDC.AB＝CD D.AB＝BC基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別判斷各選項即可．A、AC≠BD，故此選項錯誤；B、AC不垂直BD，故此選項錯誤；C、AB＝CD，利用平行四邊形的對邊相等，故此選項正確；D、AB≠BC，故此選項錯誤．故選C.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.(中考真題-廣東)如圖，平行四邊形ABCD中，下列說法一定正確的是(

)A.AC＝BD B.AC⊥BDC.AB＝CD D.AB＝BCC基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引2.(中考真題-益陽)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCDC.AB＝CD D.AC⊥BD基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，故A選項正確，不合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，故B、C選項正確，不合題意；無法得出AC⊥BD，故D選項錯誤，符合題意．故選D.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引2.(中考真題-益陽)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCDC.AB＝CD D.AC⊥BDD基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.(中考真題-昆明)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(

)A.AB∥CD，AD∥BCB.OA＝OC，OB＝ODC.AD＝BC，AB∥CDD.AB＝CD，AD＝BC基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析

A、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故此選項正確；B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故此選項正確；C、一組對邊相等，另一組對邊平行，不能判定其為平行四邊形，故此選項錯誤；D、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故此選項正確．故選C.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.(中考真題-昆明)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(

)A.AB∥CD，AD∥BCB.OA＝OC，OB＝ODC.AD＝BC，AB∥CDD.AB＝CD，AD＝BCC基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引4.(中考真題-寧波)如果三角形的兩條邊分別為4和6，那么連接該三角形三邊中點(diǎn)所得的周長可能是下列數(shù)據(jù)中的

(

)A.6 B.8C.10 D.12B解析設(shè)三角形的三邊分別是a、b、c，令a＝4，b＝6，∴2＜c＜10，12＜三角形的周長＜20，∴6＜中點(diǎn)三角形周長＜10.故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引5.(中考真題-襄陽)如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，且AB＝5，△OCD的周長為23，則平行四邊形ABCD的兩條對角線的和是(

)A.18 B.28C.36 D.46基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，∵△OCD的周長為23，∴OD＋OC＝23－5＝18，∵BD＝2OD，AC＝2OC，∴平行四邊形ABCD的兩條對角線的和＝BD＋AC＝2(OD＋OC)＝2×18＝36.故選C.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引5.(中考真題-襄陽)如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，且AB＝5，△OCD的周長為23，則平行四邊形ABCD的兩條對角線的和是(

)A.18 B.28C.36 D.46C題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-長春)如圖，在□ABCD中，點(diǎn)O是對角線

AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長線題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引證明如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線，又∵點(diǎn)F在BC的延長線上，∴OE∥CF，∴四邊形OCFE是平行四邊形．題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：①若條件中涉及角，考慮用“兩組對角分別相等”或“兩組對邊分別平行”來證明；②若條件中涉及對角線，考慮用“對角線互相平分”來說明；題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引③若條件中涉及邊，考慮用“兩組對邊分別平行”或“一組對邊平行且相等”來證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理．此題利用了“平行四邊形的對角線互相平分”的性質(zhì)和“有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”的判定定理．題型分類·深度剖析助學(xué)微博知識點(diǎn)索引

平行四邊形的四個誤區(qū)

誤區(qū)一：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)二：一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)三：一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)四：一組對角相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形．題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-龍巖)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，

E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，∠1＝∠2.(1)求證：AE＝CF；

(2)求證：四邊形EBFD是平行四邊形．題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引解

(1)證法一：如圖①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.圖①題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引證法二：如圖②，連接BD交AC于點(diǎn)O，在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵∠1＝∠2，∠7＝∠8，∴△DOE≌△BOF，∴OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.圖②題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引(2)證法一：∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形．證法二：∵OE＝OF，OB＝OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形．題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長與面積問題題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例2】

(中考真題-孝感)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC＝a，BD＝b，則平行四邊形ABCD的面積是(

)題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長與面積問題題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引解析

過點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E，∵在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交成的銳角為α，AC＝a，BD＝b，題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長與面積問題題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例2】

(中考真題-孝感)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC＝a，BD＝b，則平行四邊形ABCD的面積是(

)A題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長與面積問題題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高平行四邊形對邊相等，對邊平行，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分，利用這些性質(zhì)可以解決與平行四邊形相關(guān)的問題，也可將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題．此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，得出EC的長是解題關(guān)鍵．題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長與面積問題題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練2

(中考真題-河南)如圖，□的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是(

)A.8 B.9C.10 D.11C解析∵平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例3】

(中考真題-臺州)如圖1是某公交汽車擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2.雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB＝CD

且AD＝BC，這樣能使雨刷EF在運(yùn)動時，始終垂直于玻璃窗下沿BC，請證明這一結(jié)論．證明∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等，其關(guān)鍵是根據(jù)所要證明的全等三角形，選擇需要的邊、角相等條件，也可以證明相關(guān)聯(lián)的四邊形是平行四邊形．本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確理解平行四邊形的判定方法是關(guān)鍵．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BE＝DF.題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練3

(中考真題-大連)如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F

分別在AD、BC上，且AE＝CF.求證：BE＝DF.題型分類·深度剖析易錯警示系列易錯警示系列22不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據(jù)知識點(diǎn)索引試題如圖，已知六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角均為120°，

CD＝10cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，求此六邊形的周長．題型分類·深度剖析易錯警示系列知識點(diǎn)索引學(xué)生答案展示

解如圖，連接EB、DA、FC，分別交于點(diǎn)M、N、P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等邊三角形．同理，△MAB、△NFA也是等邊三角形，∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.題型分類·深度剖析易錯警示系列知識點(diǎn)索引∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN，∴四邊形EDNF是平行四邊形．同理，四邊形EMAF也是平行四邊形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8，∴六邊形ABCDEF的周長＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．題型分類·深度剖析易錯警示系列知識點(diǎn)索引剖析上述解法最根本的錯誤在于多邊形的對角線不是角平分線，從證明的一開始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的這個結(jié)論就是錯誤的，所以后面的推理就沒有依據(jù)了．請注意對角線