聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)第30課平行四邊形

第30課平行四邊形

基礎(chǔ)知識(shí)題型分類要點(diǎn)梳理題型一平行四邊形的判定基礎(chǔ)自測(cè)題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長(zhǎng)

與面積問題題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推

理論證易錯(cuò)警示22.不可將未加證明的條件作為已知條件

或推理依據(jù)知識(shí)點(diǎn)索引要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形2.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形兩組對(duì)邊分別____________；

(2)平行四邊形對(duì)角________，鄰角________；

(3)平行四邊形對(duì)角線____________；

(4)平行四邊形是________對(duì)稱圖形．平行且相等相等互補(bǔ)互相平分中心要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引3.平行四邊形的判定

(1)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(2)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(3)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(4)_____________________的四邊形是平行四邊形；

(5)_____________________的四邊形是平行四邊形．兩組對(duì)邊分別平行一組對(duì)邊平行且相等兩組對(duì)邊分別相等兩組對(duì)角分別相等對(duì)角線互相平分要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引4.平行四邊形中常添的輔助線

(1)常用連對(duì)角線的方法把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題；

(2)有平行線時(shí)，常作平行線構(gòu)造平行四邊形；

(3)有中線時(shí)，常作加倍中線構(gòu)造平行四邊形；

(4)圖形具有等鄰邊特征時(shí)(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置．基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.(中考真題-廣東)如圖，平行四邊形ABCD中，下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.AC＝BD B.AC⊥BDC.AB＝CD D.AB＝BC基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng)即可．A、AC≠BD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、AC不垂直BD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、AB＝CD，利用平行四邊形的對(duì)邊相等，故此選項(xiàng)正確；D、AB≠BC，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引1.(中考真題-廣東)如圖，平行四邊形ABCD中，下列說(shuō)法一定正確的是(

)A.AC＝BD B.AC⊥BDC.AB＝CD D.AB＝BCC基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引2.(中考真題-益陽(yáng))如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCDC.AB＝CD D.AC⊥BD基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，故A選項(xiàng)正確，不合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，故B、C選項(xiàng)正確，不合題意；無(wú)法得出AC⊥BD，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選D.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引2.(中考真題-益陽(yáng))如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCDC.AB＝CD D.AC⊥BDD基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引3.(中考真題-昆明)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(

)A.AB∥CD，AD∥BCB.OA＝OC，OB＝ODC.AD＝BC，AB∥CDD.AB＝CD，AD＝BC基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析

A、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；B、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確；C、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，不能判定其為平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)正確．故選C.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引3.(中考真題-昆明)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(

)A.AB∥CD，AD∥BCB.OA＝OC，OB＝ODC.AD＝BC，AB∥CDD.AB＝CD，AD＝BCC基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引4.(中考真題-寧波)如果三角形的兩條邊分別為4和6，那么連接該三角形三邊中點(diǎn)所得的周長(zhǎng)可能是下列數(shù)據(jù)中的

(

)A.6 B.8C.10 D.12B解析設(shè)三角形的三邊分別是a、b、c，令a＝4，b＝6，∴2＜c＜10，12＜三角形的周長(zhǎng)＜20，∴6＜中點(diǎn)三角形周長(zhǎng)＜10.故選B.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引5.(中考真題-襄陽(yáng))如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AB＝5，△OCD的周長(zhǎng)為23，則平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的和是(

)A.18 B.28C.36 D.46基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，∵△OCD的周長(zhǎng)為23，∴OD＋OC＝23－5＝18，∵BD＝2OD，AC＝2OC，∴平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的和＝BD＋AC＝2(OD＋OC)＝2×18＝36.故選C.基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)索引5.(中考真題-襄陽(yáng))如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AB＝5，△OCD的周長(zhǎng)為23，則平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的和是(

)A.18 B.28C.36 D.46C題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-長(zhǎng)春)如圖，在□ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線

AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引證明如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線，又∵點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，∴OE∥CF，∴四邊形OCFE是平行四邊形．題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高探索平行四邊形成立的條件，有多種方法判定平行四邊形：①若條件中涉及角，考慮用“兩組對(duì)角分別相等”或“兩組對(duì)邊分別平行”來(lái)證明；②若條件中涉及對(duì)角線，考慮用“對(duì)角線互相平分”來(lái)說(shuō)明；題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引③若條件中涉及邊，考慮用“兩組對(duì)邊分別平行”或“一組對(duì)邊平行且相等”來(lái)證明，也可以巧添輔助線，構(gòu)建平行四邊形．本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理．此題利用了“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的性質(zhì)和“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”的判定定理．題型分類·深度剖析助學(xué)微博知識(shí)點(diǎn)索引

平行四邊形的四個(gè)誤區(qū)

誤區(qū)一：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)二：一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)三：一組對(duì)邊相等，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；誤區(qū)四：一組對(duì)角相等，一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形．題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-龍巖)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，

E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，∠1＝∠2.(1)求證：AE＝CF；

(2)求證：四邊形EBFD是平行四邊形．題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解

(1)證法一：如圖①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠3＝∠4，∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，∴△ADE≌△CBF，∴AE＝CF.圖①題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引證法二：如圖②，連接BD交AC于點(diǎn)O，在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵∠1＝∠2，∠7＝∠8，∴△DOE≌△BOF，∴OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.圖②題型一平行四邊形的判定

題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引(2)證法一：∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形．證法二：∵OE＝OF，OB＝OD，∴四邊形EBFD是平行四邊形．題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長(zhǎng)與面積問題題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例2】

(中考真題-孝感)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC＝a，BD＝b，則平行四邊形ABCD的面積是(

)題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長(zhǎng)與面積問題題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引解析

過點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E，∵在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，AC＝a，BD＝b，題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長(zhǎng)與面積問題題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例2】

(中考真題-孝感)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC＝a，BD＝b，則平行四邊形ABCD的面積是(

)A題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長(zhǎng)與面積問題題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)邊平行，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線互相平分，利用這些性質(zhì)可以解決與平行四邊形相關(guān)的問題，也可將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題．此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，得出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．題型二平行四邊形相關(guān)邊、角、周長(zhǎng)與面積問題題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練2

(中考真題-河南)如圖，□的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長(zhǎng)是(

)A.8 B.9C.10 D.11C解析∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引【例3】

(中考真題-臺(tái)州)如圖1是某公交汽車擋風(fēng)玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2.雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB＝CD

且AD＝BC，這樣能使雨刷EF在運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終垂直于玻璃窗下沿BC，請(qǐng)證明這一結(jié)論．證明∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC.題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引探究提高利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等，其關(guān)鍵是根據(jù)所要證明的全等三角形，選擇需要的邊、角相等條件，也可以證明相關(guān)聯(lián)的四邊形是平行四邊形．本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確理解平行四邊形的判定方法是關(guān)鍵．證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BE＝DF.題型三運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理論證題型分類·深度剖析知識(shí)點(diǎn)索引變式訓(xùn)練3

(中考真題-大連)如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F

分別在AD、BC上，且AE＝CF.求證：BE＝DF.題型分類·深度剖析易錯(cuò)警示系列易錯(cuò)警示系列22不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據(jù)知識(shí)點(diǎn)索引試題如圖，已知六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角均為120°，

CD＝10cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，求此六邊形的周長(zhǎng)．題型分類·深度剖析易錯(cuò)警示系列知識(shí)點(diǎn)索引學(xué)生答案展示

解如圖，連接EB、DA、FC，分別交于點(diǎn)M、N、P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等邊三角形．同理，△MAB、△NFA也是等邊三角形，∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.題型分類·深度剖析易錯(cuò)警示系列知識(shí)點(diǎn)索引∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN，∴四邊形EDNF是平行四邊形．同理，四邊形EMAF也是平行四邊形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8，∴六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．題型分類·深度剖析易錯(cuò)警示系列知識(shí)點(diǎn)索引剖析上述解法最根本的錯(cuò)誤在于多邊形的對(duì)角線不是角平分線，從證明的一開始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的這個(gè)結(jié)論就是錯(cuò)誤的，所以后面的推理就沒有依據(jù)了．請(qǐng)注意對(duì)角線