第01課 銳角三角函數(shù)及其特殊值（解析版）

第01課銳角三角函數(shù)及其特殊值1.1-1.2課后培優(yōu)練課后培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．在中，，的余弦是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角的余弦可進(jìn)行求解．【解析】解：在中，，則；故選C．【點睛】本題主要考查角的余弦，熟練掌握求一個角的余弦是解題的關(guān)鍵．2．在Rt△ABC中，∠C=90o，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角A的鄰邊a與對邊b的比叫做∠A的余切，記作cotA．【解析】解：∵∠C=90°，∴=，故選：A．【點睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余切定義．3．在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直角三角形中某銳角的正弦值為其對邊與斜邊的比值可以，，再代值計算即可．【解析】∵，，∴故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟悉掌握銳角三角函數(shù)的計算公式是解題的關(guān)鍵．4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用60°的三角函數(shù)值解決問題．【解析】解：∵∠C＝90°，sinA，∴∠A＝60°，∴cosA＝cos60°．故選：A．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，記住特殊角的三角函數(shù)值是解決此類問題的關(guān)鍵．5．的值等于（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【解析】解：．故選：D．【點睛】此題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，則．故選：C．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．7．把一個直角三角形的各邊都擴大3倍，那么它的各銳角的正切值（

）A．?dāng)U大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．以上都不對【答案】C【分析】當(dāng)將三角形三邊均擴大相同的倍數(shù)，得到的三角形與原三角形相似，根據(jù)角度不變得到答案．【解析】解：∵三角形各邊長度都擴大為原來的3倍，∴得到的三角形與原三角形相似，∴銳角的大小不變，∴各銳角的正切值不變．故選：C．【點睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，以及求角的三角函數(shù)值．8．在中，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)正弦的定義即可求解．【解析】解：在中，，設(shè)，則，則，根據(jù)正弦的定義可得．故選C【點睛】此題考查了三角函數(shù)的定義，涉及了勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．在中，，則的值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后根據(jù)正弦的定義即可求解．【解析】解：根據(jù)勾股定理可得：AC＝＝，∴sinB＝＝．故選：C．【點睛】本題主要考查了求一個角的正弦值，求出AC的長，正確理解正弦的定義是解題關(guān)鍵．10．中，的值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，利用勾股定理求出BC，直接運用三角函數(shù)的定義求解即可．【解析】解：如圖，∵AB=13，AC=12，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理,∴tanB=．故選D．【點睛】本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，解答此類題目的關(guān)鍵是畫出圖形便可直觀解答．11．已知∠A，∠B均為銳角，且cosA＝，sinB＝，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【解析】解：∵∠A，∠B均為銳角，cosA=，sinB=，∴∠A=60°，∠B=30°．故選D．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．12．點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，分別求出各點坐標(biāo)，再求對稱點坐標(biāo)即可.【解析】tan60°=，－cos60°=－，∴M（，－），∴M關(guān)于x軸的對稱點M'（，）.故選B.【點睛】直角坐標(biāo)系中，若兩個點關(guān)于x軸對稱，那么這兩個點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩個點關(guān)于y軸對稱，那么這兩個點的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).二、填空題13．cos45°-tan60°=________；【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算．【解析】解：原式．故答案是：．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是記住特殊角的三角函數(shù)值．14．如圖，各三角形的頂點都在方格紙的格點上，則_______，_______，_______．【答案】

【分析】將、、置于直角三角形中，進(jìn)而求出、、的值即可．【解析】解：如圖所示，構(gòu)造直角三角形，∵在中，，，∵在中，，，∵在中，∵在中，，，∴；故答案為；，．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是將所求角置于直角三角形中．15．已知α是銳角，，則α等于_________．【答案】30°【分析】先求出cos60°的值，然后求解即可．【解析】已知α為銳角，cos60°=∵sin30°=∴α=30°故答案為30°．【點睛】此題重點考察學(xué)生對三角函數(shù)值的理解，掌握正弦值和余弦值是解題的關(guān)鍵．16．在中，，則的形狀是__________．【答案】鈍角三角形【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到，，從而求出∠A與∠B的度數(shù)，即可判斷△ABC的形狀．【解析】∵∴，即，∴，∴∴是鈍角三角形故答案為：鈍角三角形【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的分類與特殊角度的三角函數(shù)值，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，下列線段的比值等于cosA的值的有______個（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】3【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義分析得出答案．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cosA＝＝＝．故（1），（2），（4）正確．故答案為：3．【點睛】考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確把握銳角三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．18．如圖，、分別是中、邊上的高，，則________．【答案】【分析】根據(jù)求∠DAC的三角函數(shù)值．【解析】∵、分別是中、邊上的高，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．故答案為．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵找出各個角之間的關(guān)系，利用等角的三角函數(shù)值相等，可以求得所求的角的三角函數(shù)值．19．在中，．【答案】6【分析】根據(jù)，即可求得AB的長.【解析】∵，∴AB===6.故答案為6.【點睛】本題考點：銳角的正弦函數(shù).20．已知，且為銳角，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的取值范圍列出不等式，然后轉(zhuǎn)化為不等式組求m的取值范圍．【解析】∵α為銳角，∴0＜sinα＜1，則0＜2m-3＜1解得<m<2故答案為：【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意列一元一次不等式組，并解一元一次不等式組．三、解答題21．分別求出圖中，的正弦值、余弦值和正切值．【答案】圖（1），，，，，；圖（2），，，，，；圖（3），，，，，【分析】先由勾股定理求出每個直角三角形未知的第三邊，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求得兩個銳角的各個三角函數(shù)值．【解析】解：圖（1）由勾股定理得：∴，，，，，；圖（2）由勾股定理得：，，，，，；圖（3）由勾股定理得：，，，，，；【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．22．如圖，定義：在中，銳角的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作，即．根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：（1）________；（2）如上圖，已知，其中為銳角，則的值為_______．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用BC表示出AB及AC的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可；（2）由，所以設(shè)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【解析】（1）如圖，∵中，，∴，∴，∴；故答案為：.（2）∵，∴設(shè)，∴．故答案為：【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義及直角三角形的性質(zhì)，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．23．計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）1；（2）2，；（3）．【分析】（1）直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可；（2）把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可；（3）把被開方數(shù)化為完全平方的性質(zhì)，再把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解析】（1）；（2）（3）【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．在直角三角形ABC中，，則的值是（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】由勾股定理求出AB=2，再由三角函數(shù)的意義求出進(jìn)一步可得出結(jié)論．【解析】解：如圖，∵，∴又，∴∴∴，故選：A【點睛】本題主要考查了正切函數(shù)的定義，正確求得AC的長是解題關(guān)鍵．2．在Rt中，∠C＝90°，∠B＝60°，那么sinA+cosB的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A=30°，將三角函數(shù)值代入計算即可．【解析】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，則sinA+cosB＝+＝1．故選：A．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．3．如果，那么＝（

）．A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】利用因式分解法求出的值，再根據(jù)可得最終結(jié)果．【解析】解：原方程可化為：，解得：或，∵，∴，則，故選：A．【點睛】本題考查的知識點是解一元二次方程以及銳角三角函數(shù)的定義，熟記正弦的取值范圍是解此題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點H是高AD和BE的交點，∠CAD＝30°，CD＝4，則線段BH的長度為（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)直角三角形兩銳角互余、三角函數(shù)、分式方程的性質(zhì)，得，再根據(jù)等腰三角形和三角函數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案．【解析】根據(jù)題意，得∴∴∵CD＝4∴∴經(jīng)檢驗，是的解∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，∴∴∴∴∴∴∴經(jīng)檢驗，是的解故選：C．【點睛】本題考查了三角函數(shù)、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．5．如圖，正方形的邊長為6，為對角線，取中點E，與交于點F則等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用正方形的性質(zhì)和勾股定理求出AE和DE，再利用平行線分線段成比例求出EF和DF，最后通過作輔助線構(gòu)造直角三角形求解即可．【解析】解：∵正方形的邊長為6，中點為點E，∴，,∴，,∵AE∥DC，∴,∴,∴，∵,∴，∴，,如圖，過D點作DH⊥AC，由正方形性質(zhì)可知，,∴,故選：B．【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理、三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．6．如圖，把n個邊長為1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝…，依此規(guī)律寫出tan∠BA7C＝，則n＝（

）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】D【分析】如圖，作CH⊥BA4于H，利用勾股定理可求出BA4=，A4C＝BA3=，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=A3A4，即可證明四邊形BCA4A3是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出△BA4C的面積，即可求出CH的長，利用勾股定理求出A4H的長，根據(jù)正切的定義可得出tan∠BA4C＝，進(jìn)而可得tan∠BAnC＝，根據(jù)tan∠BA7C＝求出n值即可得答案．【解析】作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝BA3==，∵把n個邊長為1的正方形拼接成一排，∴BC=A3A4，∴四邊形BCA4A3是平行四邊形，∴△BA4C的面積＝×（1×1）=，∴×CH＝，解得：CH＝，∴A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，∵1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，13=42-4+1，……∴tan∠BAnC＝，∴tan∠BA7C＝=，∴n＝43．故選：D．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及正切的概念，掌握正方形的性質(zhì)，熟記銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，，，的值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，可得,進(jìn)而可得，進(jìn)而可得，根據(jù)已知條件設(shè)，則，求得，即可求得答案．【解析】，，，，，，，，，，設(shè)，則，，．故選D．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)兩邊成比例夾角相等證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．在直角三角形ABC中，若cosC＝，則＝________．【答案】或【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，設(shè)輔助未知數(shù)，由勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行分類計算即可．【解析】解：如圖1，若∠A＝90°，由于cosC＝＝，設(shè)AC＝k，則BC＝2k，∴AB＝，∴=；如圖2，若∠B＝90°，由于cosC＝＝，設(shè)BC＝k，AC＝2k，∴AB＝，∴＝；故答案為：或#或．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義和分類思想，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義，正確運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則較小的銳角的正切值是___________.【答案】或【分析】分兩種情況分別計算，即可求得．【解析】解：當(dāng)3和4是直角三角形的兩條直角邊時，故此時較小的銳角的正切值是；當(dāng)斜邊長是4時，另一條直角邊長為：，故此時較小的銳角的正切值是，故較小的銳角的正切值是或，故答案為：或．【點睛】本題考查了求一個角的正切值，勾股定理，分類討論是解決本題的關(guān)鍵．10．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，若sinA＝，cosB＝，則∠C＝_____．【答案】60°．【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C即可作出判斷．【解析】∵△ABC中，∠A、∠B都是銳角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案為：60°．【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB的延長線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，則的值為_____．【答案】【分析】過點D作DM⊥CM，交CB的延長線于點M，可得∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)DM＝a，則CM＝2a，然后證明8字模型相似三角形△ACB∽△DMB，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得＝＝＝2，進(jìn)而可得AC＝2a，CB＝a，最后進(jìn)行計算即可解答．【解析】解：過點D作DM⊥CM，交CB的延長線于點M，∴∠DMC＝90°，在Rt△DMC中，tan∠BCD＝，∴tan∠DCM＝＝，設(shè)DM＝a，則CM＝2a，∵∠ACB＝∠DMC＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ACB∽△DMB，∴＝＝＝2，∴AC＝2DM＝2a，∴，∴＝＝，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在四邊形中，，平分．若，，則______．【答案】【分析】過點作的垂線交于，證明出四邊形為矩形，為等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．【解析】解：過點作的垂線交于，，四邊形為矩形，，，平分，，，，∴∠CDB=∠CBD，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．三、解答題13．計算或化簡：(1)cos30°+sin45°;(2)·tan30°;(3)(sin60°+cos45°)(sin60°－cos45°);(4)6tan230°－sin60°－2sin45°．【答案】(1);(2)

;(3)

;(4)－【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算．【解析】（1）原式==+1=；（2）原式===；（3）原式=sin260°-cos245°=（）2-（）2=-=；（4）原式=6×（）2--2×=2－=－．【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點B（4，2），BA⊥x軸于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）將點B繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后記作點C，求點C的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）（﹣2，4）．【分析】（1）根據(jù)正切的定義，對邊與鄰邊的比，即可求解；（2）根據(jù)圖形，確定旋轉(zhuǎn)以后的位置，可以直接寫出坐標(biāo)．【解析】（1）∵點B（4，2），BA⊥x軸于A，∴OA=4，AB=2，tan∠BOA===；（2）如圖，由旋轉(zhuǎn)可知：CD=BA=2，OD=OA=4，∴點C的坐標(biāo)是（﹣2，4）．【點評】本題主要考查了正切的定義以及旋轉(zhuǎn)變換作圖，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．15．如圖，AD是△ABC的中線，.求：（1）BC的長；

（2）∠ADC的正弦值．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）過點A作于點H，利用銳角三角函數(shù)求出CH的長，再算出AH的長，再根據(jù)求出BH的長，最后求出BC的長；（2）利用勾股定理求出AD的長，∠ADC的正弦值等于．【解析】解：（1）如圖，過點A作于點H，在中，∵，，∴，∴在中，∵，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，在中，，∴的正弦值是．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握利用銳角三角函數(shù)求三角形邊長的方法，和已知三角形邊長求銳角三角函數(shù)的方法．16．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，線段的端點均在格點上，僅用無刻度的直尺，按下列要求完成畫圖，并保留作圖痕跡.（1）在圖①中畫一條射線，使.（2）在圖②中畫一條射線，使.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先確定直角三角形的直角，①當(dāng)∠ACB為直角時，需要保證AC=2BC；②當(dāng)∠ABC為直角時，需要保證AB=2BC；（2）∠ABD是直角，需要保證BD=即可.【解析】解：（1）如圖所示.（2）如圖所示.【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，能夠找到合適的直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.17．如圖，在中，是對角線、的交點，，，垂足分別為點、．（1）求證：．（2）若，，求的值．【答案】（1）見解析1；（2）【分析】（1）根據(jù)題意由平行四邊形性質(zhì)得，由ASA證得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意由（1）得OE=OF，則OE=2，在Rt△OEB中，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．【解析】解：（1）證明：在中，∵，∴∴又∵∴∴（2）∵，∴∵∴在中，，.【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．18．閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．sin230°＋cos230°＝____；sin245°＋cos245°＝____；sin260°＋cos260°＝____；……觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝____．【答案】

1

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1【解析】sin230°＋cos230°＝=1，sin245°＋cos245°＝=1，sin260°＋cos260°＝=1，即可猜想出：對任意銳角，都有故答案為：1；1；1；119．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角邊AC上一點，MN⊥AB于點N，AN=3，AM=4，求cosB的值．【答案】．【分析】易證得△AMN∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到==，設(shè)AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)可求cosB．【解析】∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴==，設(shè)AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC==，在Rt△ABC中，cosB=．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，本題關(guān)鍵是表示出BC，AB．20．如圖,已知∠ABC和射線BD上一點P(點P與點B不重合,且點P到BA,BC的距離分別為PE,PF).(1)若∠EBP=40°,∠FBP=20°,試比較PE,PF的大小;(2)若∠EBP=α,∠FBP=β,α,β都是銳角,且α>β,請判斷PE,PF的大小,并給出證明.【答案】（1）PE>PF；（2）PE>PF.證明見解析.【解析】【試題分析】（1）在銳角范圍內(nèi)，正弦值隨著角度的增大而增大.sin∠EBP==sin40°,sin∠FBP==sin20°，得PE>PF；（2）思路同（1），易得：PE>PF.(1)∵PE⊥AB,PF⊥BC,∴sin∠EBP==sin40°,sin∠FBP==sin20°.又∵sin40°>sin20°,∴>,∴PE>PF.(2)∵α,β都是銳角,且α>β,∴sinα>sinβ.又∵sin∠EBP==sinα,sin∠FBP==sinβ,∴>,∴PE>PF.【方法點睛】本題目是一道“正弦函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的，隨著角度的增大而增大”規(guī)律的運用.難度不大，容易解決.培優(yōu)第三階——中考沙場點兵一、單選題1．（2022·河北·模擬預(yù)測）在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，則cosC的值為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．【答案】C【分析】根據(jù)tanB的值，把AC、AB邊長設(shè)為3t、4t，勾股定理求出BC邊，再利用三角函數(shù)的定義求解cosC．【解析】在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB==0.75=，設(shè)AC=3t，AB=4t，則BC=5t，故，cosC===0.8.故選C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的計算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北恩施·二模）x為銳角，，則cosx的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解即可．【解析】解：如圖，設(shè)，，∵，∴設(shè)，根據(jù)勾股定理得，，∴故選：B．【點睛】本題主要考查了求銳角三角函數(shù)值，正確理解邊與邊的比是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·山西大同·三模）已知，，求的度數(shù)．小明經(jīng)過思考后，畫出如圖所示的網(wǎng)格并把和畫在網(wǎng)格中，連接得到，且．由此可知，．小明這種求解體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．分類思想 C．統(tǒng)計思想 D．方程思想【答案】A【分析】結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可．【解析】正切的定義幾何網(wǎng)格圖進(jìn)行分析，屬于數(shù)形結(jié)合思想，故選：A【點睛】考查了正切，解題的關(guān)鍵是了解各種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，難度不大．4．（2019·江蘇南京·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，則下列結(jié)論正確的是(

)A．sinA＜sinB B．cosA＜cosBC．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【答案】B【分析】本題可采用特殊值法，令，然后利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行判斷即可．【解析】∵∠C＝90°，，∴可令．A.，所以，故該選項錯誤；B.，所以，故該選項正確；C.，所以，故該選項錯誤；D.，所以，故該選項錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，掌握特殊值法在選擇題中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2019·福建·漳州外國語學(xué)校一模）按如圖所示的運算程序，能使輸出的值為的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)流程圖以及銳角三角函數(shù)的定義，逐一判定選項，即可得到答案．【解析】A.，時，y=sin60°=，B.，時，y=cos45°=，C.，時，y=sin30°=，D.，時，y=cos45°=，故選C．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2021·河南焦作·一模）2sin45°+tan60°=________．【答案】【分析】直接把各特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．【解析】解：原式==故答案為：【點睛】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值，掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．7．（2021·福建廈門·一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝10，則∠B＝_____．【答案】60°【分析】利用正弦定義計算即可．【解析】解：如圖，∵sinB＝，∴∠B＝60°，故答案為：60°．【點睛】此題主要考查了解直角三角形，關(guān)鍵是掌握正弦定義．8．（2020·四川·成都市錦江區(qū)師一學(xué)校模擬預(yù)測）比較大小：__