浙江省杭州市2023-2024高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷及答案

2023學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．本試卷分試題卷和答題卷兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效！3．考試結(jié)束，只需上交答題卡．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B.0 C. D.23.若，則（）A. B. C. D.4.設(shè)集合．若，且中元素滿足：①任意一個(gè)元素各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，則中的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A72 B.78 C.81 D.905.用測(cè)量工具測(cè)量某物體長(zhǎng)度，需測(cè)量次，得到個(gè)數(shù)據(jù)．設(shè)函數(shù)，則當(dāng)取最小值時(shí)，（）A. B. C. D.6.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.邊長(zhǎng)為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個(gè)正四棱錐，則此正四棱錐的外接球的表面積的最小值為（）A. B.C. D.8.設(shè)函數(shù)．若為函數(shù)的零點(diǎn)，為函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則的最大值為（）A B. C. D.12二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在正六邊形中，（）A. B.C. D.在上的投影向量為10.已知，，，則（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最小值為3 D.的最小值為11.已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都是2，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面與平面夾角的余弦值為C.三棱錐的體積是三棱柱體積的D.若正三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在球上，則球的表面積為12.已知過原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)作軸的平行線與函數(shù)的的圖象交于兩點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和原點(diǎn)在同一條直線上B.點(diǎn)和原點(diǎn)在同一條直線上C.當(dāng)平行于軸時(shí)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為D.當(dāng)平行于軸時(shí)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________．（用數(shù)字作答）14.已知，，與的夾角為，則________．15.已知是三角形的內(nèi)角，若，則________．16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率等于________．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知四邊形內(nèi)接于，若，，．（1）求線段的長(zhǎng)．（2）若，求的取值范圍．18設(shè)函數(shù)，滿足：①；②對(duì)任意，恒成立．（1）求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)矩形的一邊在軸上，頂點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上．設(shè)矩形的面積為，求證：．19.在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，且底面，與底面成角，且．（1）求證：；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．20.第19屆亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學(xué)校為持續(xù)營(yíng)造全民參與亞運(yùn)、服務(wù)亞運(yùn)、奉獻(xiàn)亞運(yùn)的濃厚氛圍舉辦“心心相融·愛答亞運(yùn)”知識(shí)挑戰(zhàn)賽．挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝．若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問題的概率都是，且每次答題互不影響．（1）若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?（2）在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?（3）現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨(dú)立，當(dāng)戰(zhàn)勝至少三分之二以上的守擂者時(shí)，則稱該挑戰(zhàn)者勝利．若再增加1位守擂者時(shí)，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?并說明理由．21.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足：．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足：，．求．22.已知，函數(shù)，.（1）當(dāng)與都存在極小值，且極小值之和為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求證：.數(shù)學(xué)試題卷答案1.A2.B3.D4.A5.B6.C7.B8.A9.CD10.BCD11.ABC12.BC13.1514.15.16.17.（1）由題知，，所以根據(jù)余弦定理，即，所以，所以所以（2）因?yàn)樗?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）又所以18.（1）因?yàn)橛?，得，則由，得，恒成立即恒成立，所以，所以所以（2）因?yàn)榱?，得；令，得所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減不妨設(shè)，，由知那么，故因?yàn)?，所?9.（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸建立坐標(biāo)系那么，，，，故，因?yàn)樗?，即?）因?yàn)樗?，故，所以平面故平面的法向量設(shè)直線與平面所成角為，則：整理得，即20.（1）設(shè)事件為挑戰(zhàn)者獲勝，事件為不多于兩次答題比賽結(jié)束．（2）設(shè)為先答題者獲勝的概率，則，解得所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是（3）設(shè)隨機(jī)變量為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率顯然，，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加21.（1）由；令，得故，因?yàn)?，其中，，所以?dāng)時(shí)，兩式相減得：整理得：，綜上，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列（2）由題意得：，，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上：22.（1），定義域均為當(dāng)時(shí)，則，在單調(diào)遞增，無極值，與題不符當(dāng)時(shí)，令，解得：所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增在取極小值，且又當(dāng)時(shí)：，在單調(diào)遞減