專題2.7 角的軸對稱性（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題2.7角的軸對稱性（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)一】角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

特別提醒：

（1）用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF;“點(diǎn)到角兩邊的距離”是指點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長度.

【知識點(diǎn)二】角的平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.特別提醒：

（1）用符號語言表示角的平分線的判定：

（2）若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB；“點(diǎn)到角兩邊的距離”是指點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長度；角平分線的性質(zhì)與判定是互逆的.

【知識點(diǎn)三】角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【考點(diǎn)一】角平分線的性質(zhì)定理【例1】如圖，在中，，BD是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC上，連接DF，且．求證：；(2)若，，求AB的長．【答案】（1）證明見解析(2)10【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得，證明，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）證明，可得，根據(jù)計(jì)算求解即可．（1）證明：（1）∵，∴，又∵BD是的平分線，，∴，，在和中，∵，∴，∴．（2）解：由（1）可得，∴，∵，∴，∴，∵BD是的平分線，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴AB的長為10．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握角平分線的性質(zhì)并證明三角形全等．【舉一反三】【變式1】如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】過D作DE⊥AB交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．解：如圖，過D作DE⊥AB交BA的延長線于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=4，∴四邊形的面積故選B.【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高．（1）求證：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得DE＝DF，再根據(jù)HL證明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)DE＝DF，得，代入計(jì)算即可．解：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，在Rt△AED與Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE＝DF，∴，∵AB+AC＝10，∴DE＝3．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．【考點(diǎn)二】角平分線的判定定理【例2】如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=EF，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度數(shù)．解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中點(diǎn)，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴點(diǎn)E在∠ABC的平分線上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【點(diǎn)撥】考察了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記各性質(zhì)并作出輔助線．【舉一反三】【變式1】點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，且到三邊的距離相等，∠A=40°，則∠BOC等于（

）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】A【分析】連接AO、BO、CO，過O點(diǎn)作OM⊥BC于M點(diǎn)，過O點(diǎn)作ON⊥AB于N點(diǎn)，通過全等三角形的性質(zhì)先證明OB是∠ABC的角平分線，同理可得OA、OC分別為∠BAC、∠ACB的角平分線，即可求解．解：連接AO、BO、CO，過O點(diǎn)作OM⊥BC于M點(diǎn)，過O點(diǎn)作ON⊥AB于N點(diǎn)，如圖，∵O到三角形三邊距離相等，OM⊥BC，ON⊥AB，∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根據(jù)OB=OB，OM=ON，可得Rt△ONB≌Rt△OMB，∴∠OBN=∠OBM，∴BO是∠ABC的角平分線，同理可證AO，CO分別為∠BAC、∠ACB的角平分線，∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)定理．【變式2】如圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF與CE相交于點(diǎn)M．EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)連接AM，求證：AM平分∠EMF．【分析】（1）先求出∠EAC＝∠BAF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEC＝∠ABF，設(shè)AB、CE相交于點(diǎn)D，根據(jù)∠AEC+∠ADE＝90°可得∠ABF+∠BDM＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠BMD＝90°，從而得證．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；解：（1）證明：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；（2）根據(jù)（1），∵△ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°，∵∠ADE＝∠BDM（對頂角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，所以EC⊥BF．（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如圖：∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)條件找出兩組對應(yīng)邊的夾角∠EAC＝∠BAF是證明的關(guān)鍵，也是解答本題的難點(diǎn)．【考點(diǎn)三】角平分線性質(zhì)定理與判定定理的綜合【例3】如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)．若點(diǎn)到直線的距離為5cm，求點(diǎn)到直線的距離；求證：點(diǎn)在的平分線上．【答案】(1)5cm；(2)見解析．【分析】（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解答；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)角平分線的判定定理即可證明．（1）解：過點(diǎn)作于，點(diǎn)在的平分線，，，cm，即點(diǎn)到直線的距離為；（2）證明：點(diǎn)在的平分線，，，，同理：，，，，點(diǎn)在的平分線上．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，熟知角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，平分，，，垂足分別為A，B，下列結(jié)論中不一定成立的是（）A． B．平分 C． D．垂直平分【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定和三角形全等的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可．解：對A、B、C選項(xiàng)，∵平分，，，∴，∵在和中，∴，∴，，∴平分，故A、B、C正確，不符合題意；D．∵，，∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D錯誤，符合題意．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．求證：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE.【分析】(1)先根據(jù)HL證明Rt△BDE≌Rt△CDF，則可得DE=DF，根據(jù)角平分線的判定方法即可得證；(2)先根據(jù)AAS證明△AED≌△AFD，則可得AE=AF，又由于BE=FC，則結(jié)論得證．（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE與Rt△CDE中∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC；（2）證明：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFA=90°又∵AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE=AF，∵CF=BE，∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】角平分線應(yīng)用【例4】如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座發(fā)射塔P．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔P到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔P應(yīng)建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．（尺規(guī)作圖：只保留作圖痕跡，不寫作圖過程）【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等；線段垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，據(jù)此作圖即可得答案．解：連接AB，作線段AB的垂直平分線l，作∠MON的平分線OQ，OQ交直線l于P，P點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，掌握這兩種尺規(guī)作圖方法是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，的三邊，，長分別是，，，其三條角平分線將分為三個三角形，則：：等于（

）A．：： B．：：C．：： D．：：【答案】C【分析】過點(diǎn)作于，于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得：，依據(jù)三角形面積公式求比值即可得．解：過點(diǎn)作于，于，于，點(diǎn)是三條角平分線交點(diǎn)，，：：：：，故選：C．【點(diǎn)撥】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式，理解角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，，通過尺規(guī)作圖，得到直線和射線，仔細(xì)觀察作圖痕跡，完成下列問題：直線是線段的________線，射線是的________線；求的度數(shù)．【答案】(1)線段垂直平分；角平分(2)23°【分析】（1）根據(jù)作圖痕跡判斷即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（1）解：根據(jù)作圖痕跡可知，直線是線段的線段垂直平分線；射線是的角平分線；（2）∵垂直平分∴∴∵∴∴∵平分∴【點(diǎn)撥】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】角平分線與垂直平分線作圖題【例4】如圖，已知是的一個外角．請用尺規(guī)作圖法，求作射線，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】作的角平分線即可．解：如圖，射線即為所求作．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理．【舉一反三】【變式1】如圖，在中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．解：根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分線，，，，綜上，正確的是A、C、D選項(xiàng)，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．如圖，已知中，.請用基本尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，在AB上取一點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE.（不寫作法，不下結(jié)論，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖形中，求證：.請完成下面的證明過程：證明：∵AD平分，∴______，在與中∴，∴__