專題32三角形壓軸綜合問(wèn)題-備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）【原卷版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）專題32三角形壓軸綜合問(wèn)題一、解答題1．（2022·青海·中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1(2)解決問(wèn)題：如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖22．（2022·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，∠ADC=∠ACB．求證∠ACD=∠ABC．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題．實(shí)踐探究：（2）在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖2，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)E，使CE=BD，BE與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G，H分別在BF,BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF．在圖中找出與BH相等的線段，并證明．”問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組河學(xué)時(shí)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，若給出△ABC中任意兩邊長(zhǎng)，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長(zhǎng)均可求，該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖3，在（2）的條件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的長(zhǎng)．”3．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分別是【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD=3,DC=4，則S△ABD:(2)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，則S△BEC=__________(3)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，則S4．（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出BDCE(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD①求BDCE②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．5．（2022·廣西·中考真題）已知∠MON=α，點(diǎn)A，B分別在射線OM,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6．(1)如圖①，若α=90°，取AB中點(diǎn)D，點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A',B',D'，連接OD,OD'．判斷OD與OD'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：(2)如圖②，若α=60°，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC，求點(diǎn)O與點(diǎn)C的最大距離：(3)如圖③，若α=45°，當(dāng)點(diǎn)A，B運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大?請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出△AOB面積的最大值．6．（2022·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個(gè)含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG,BH，如圖③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通過(guò)證明△OBE≌△OAF，可得OE=OF．請(qǐng)你證明：AG=BH．【遷移應(yīng)用】延長(zhǎng)GA分別交HO,HB所在直線于點(diǎn)P，D，如圖④，猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB,AG，如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系．7．（2022·遼寧錦州·中考真題）在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使DE=CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F．(1)如圖1，若∠ACB=120°，請(qǐng)用等式表示AC與EF的數(shù)量關(guān)系：____________．(2)如圖2．若∠ACB=90°，完成以下問(wèn)題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示AC,AD,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若DF=1,AD=3，請(qǐng)直接寫出AC的長(zhǎng)．8．（2022·北京·中考真題）在△ABC中，∠ACB=90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD，DC，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E(1)如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得CF=BC，連接AF，EF，若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；(2)連接AE，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CH，依題意補(bǔ)全圖2，若AB2=AE29．（2022·福建·中考真題）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度數(shù)．10．（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．（從①②兩題中選擇一題加以證明）(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察經(jīng)過(guò)做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．對(duì)于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問(wèn)題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動(dòng)到邊AC，AB的延長(zhǎng)線上，BD與CE還相等嗎？請(qǐng)解決下面的問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．(3)探究：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說(shuō)明理由．11．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，記△COD的面積為S1，△AOB的面積為S（1）問(wèn)題解決：如圖①，若AB//CD，求證：S（2）探索推廣：如圖②，若AB與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在OA上取一點(diǎn)E，使OE=OC，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD交OD于點(diǎn)F，點(diǎn)H為AB的中點(diǎn)，OH交EF于點(diǎn)G，且OG=2GH，若OEOA12．（2022·湖北武漢·中考真題）已知CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE與△BDF的面積之和為S．(1)填空：當(dāng)∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，①如圖1，若∠B=45°，m=52，則n=_____________，S=_____________②如圖2，若∠B=60°，m=43，則n=_____________，S=_____________(2)如圖3，當(dāng)∠ACB=∠EDF=90°時(shí)，探究S與m、n的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)如圖4，當(dāng)∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4時(shí)，請(qǐng)直接寫出S的大?。?3．（2022·黑龍江·中考真題）△ABC和△ADE都是等邊三角形．(1)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接BD，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；請(qǐng)證明．(2)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明．14．（2022·陜西·中考真題）問(wèn)題提出(1)如圖1，AD是等邊△ABC的中線，點(diǎn)P在AD的延長(zhǎng)線上，且AP=AC，則∠APC的度數(shù)為__________．問(wèn)題探究(2)如圖2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，且AP=BC，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥BC，分別交AB、BC于點(diǎn)O、E，求四邊形問(wèn)題解決(3)如圖3，現(xiàn)有一塊△ABC型板材，∠ACB為鈍角，∠BAC=45°．工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人師傅在這塊板材上的作法如下：①以點(diǎn)C為圓心，以CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，連接CD；②作CD的垂直平分線l，與CD于點(diǎn)E；③以點(diǎn)A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)P，連接AP、BP，得請(qǐng)問(wèn)，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．15．（2022·湖南岳陽(yáng)·中考真題）如圖，△ABC和△DBE的頂點(diǎn)B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2．(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AB，BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：ADCE=______，直線AD與直線CE的位置關(guān)系是(2)探究證明：如圖2，將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D恰好落在線段AC上，連接EC，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的△DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(19°<α<60°)，連接AD、EC，它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，當(dāng)DF=BE時(shí)，求tan60°-α16．（2022·湖北十堰·中考真題）已知∠ABN=90°，在∠ABN內(nèi)部作等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=α0°<α≤90°．點(diǎn)D為射線BN上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接EC并延長(zhǎng)交射線BN于點(diǎn)F(1)如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線段BF與CF的數(shù)量關(guān)系是_________；(2)如圖2，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若α=60°，AB=43，BD=m，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BN，垂足為P，請(qǐng)直接寫出PD的長(zhǎng)（用含有m17．（2022·湖南湘潭·中考真題）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C分別作l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．(1)特例體驗(yàn)：如圖①，若直線l∥BC，AB=AC=2，分別求出線段BD、CE(2)規(guī)律探究：①如圖②，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α0<α<45°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD、CE和DE②如圖③，若直線l從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α45°<α<90°，與線段BC相交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)偬骄€段BD、CE和DE(3)嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長(zhǎng)線段BD交線段AC于點(diǎn)F，若CE=3，DE=1，求S△BFC18．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠C=60°，點(diǎn)D在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD，交射線AB(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；①點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上且BE=BD；②點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED．(2)若AB=6．①當(dāng)DEAD=3②直接寫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AE長(zhǎng)度的最小值．19．（2022·河北·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB=23，DH⊥BC于點(diǎn)H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°(1)求證：△PQM≌△CHD；(2)△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時(shí)停止．①邊PQ從平移開始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過(guò)的面積；②如圖2，點(diǎn)K在BH上，且BK=9-43．若△PQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點(diǎn)K在△PQM③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長(zhǎng)（用含d的式子表示）．20．（2022·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠B=∠MDB時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫出線段AN的長(zhǎng)．21．（2022·湖北武漢·中考真題）問(wèn)題提出：如圖（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使DE=DB，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F，探究AFAB(1)先將問(wèn)題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，直接寫出AFAB(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問(wèn)題拓展：如圖（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，CGBC=1nn<2，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使DE=DG，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F22．（2022·江西·中考真題）問(wèn)題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：將足夠大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，重疊部分的面積為__________；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，重疊部分的面積為__________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為__________(2)類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)BM=CN時(shí)，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說(shuō)明理由；②如圖