《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題答案

《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題答案二〇一四年六月三日

《高等數(shù)學(xué)》習(xí)題答案第1章函數(shù)練習(xí)題1.11.（1）不是。定義域不相同。函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的定義域?yàn)椤＃?）不是。對(duì)應(yīng)法則不相同。。2.（1）定義域?yàn)椤＃?）。（3）。3.。4.5.（1）（2）（3）6.不是。定義域不相同。。練習(xí)題1.21.（1）偶函數(shù)（2）偶函數(shù)（3）奇函數(shù)2.（1）（2）（3）練習(xí)題1.31.（1）（2）2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）3.（1）由（2）由練習(xí)題1.41.（1）R（2）（3）（4）第一章復(fù)習(xí)題一、判斷題:1.√2.×3.√4.√5.√6.√二、填空題:1.2.e、13.4.5.三、解答題:第2章極限練習(xí)題2.11.（1）極限為0（2）極限為0（3）極限為1（4）極限為1（5）當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)休止地反復(fù)取0和2兩個(gè)數(shù)，而不會(huì)無(wú)限接近于任何一個(gè)確定的常數(shù)，故該數(shù)列當(dāng)時(shí)沒(méi)有極限（6）數(shù)列即為-1,2，-3,4，-5……，故該數(shù)列當(dāng)時(shí)沒(méi)有極限（7）極限為22.該數(shù)列的奇子數(shù)列為1,2,3,…，n…沒(méi)有極限偶子數(shù)列為極限為0所以該數(shù)列的極限不存在。練習(xí)題2.21.，，，不存在，，2.練習(xí)題2.3練習(xí)題2.4（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）0．利用無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)（有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮?。?）（9）（10）（11）第二章復(fù)習(xí)題一選擇題1．B2．A3．C4．A二判斷題1．×2．√3．×4．×三用觀察的方法判斷下列數(shù)列極限是否存在(或數(shù)列是否收斂):（1）極限存在且為10（2）極限存在且為1（3）極限存在且為1（4）奇子數(shù)列；偶子數(shù)列。所以極限不存在（5）奇子數(shù)列；偶子數(shù)列所以極限存在且為0四下列變量在給定的變化過(guò)程中哪些是無(wú)窮小量?哪些是無(wú)窮大量?（1）無(wú)窮小量（2）無(wú)窮大量（3）無(wú)窮小量（4）無(wú)窮小量五計(jì)算題1．2．3．第3章連續(xù)函數(shù)練習(xí)題3.11．2．（1）無(wú)窮間斷點(diǎn)（2）可去間斷點(diǎn)3．（1）所以當(dāng)時(shí)函數(shù)連續(xù)（2），所以當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)連續(xù)。練習(xí)題3.21．（1）連續(xù)區(qū)間為（2）連續(xù)區(qū)間為[4，6]，2．（1），當(dāng)x→1時(shí)，f(x)的極限不存在。（2）f(x)在x=1處不連續(xù)。（3）函數(shù)的連續(xù)區(qū)間（0，1）∪（1，3]（4），3．（1）（2）（3）（4）4．f(x)在x=0處有定義所以f(x)在x=0處連續(xù)。5．令，f(x)在閉區(qū)間[1，2]連續(xù)并且f(1)=-3<0,f(2)=25>0,根據(jù)零點(diǎn)定理，在（1，2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使.所以方程至少有一個(gè)根介于1和2之間。第三章復(fù)習(xí)題一選擇題1.A2.D3．D二解答題1．x=-2為無(wú)窮間斷點(diǎn)2．x=0為可去間斷點(diǎn)。補(bǔ)充定義f(0)=0三證明題1．證不存在。2．令，f(x)在閉區(qū)間[1，2]連續(xù)并且f(1)=-5<0,f(2)=8>0,根據(jù)零點(diǎn)定理，在（1，2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使.所以曲線(xiàn)在x=1與x=2之間至少與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。四計(jì)算題1.2.3.4．第4章導(dǎo)數(shù)與微分練習(xí)題4.11．（1）（2）（3）（4）2．（1）0（2）（3）3．（1）（2）4．所以切線(xiàn)方程為y-2=1(x-1)即y=x+1法線(xiàn)方程為y-2=-1(x-1)即y=-x+35．f(x)在x=0處有定義所以f(x)在x=0處可導(dǎo)且連續(xù)。練習(xí)題4.21．（1）（2）（3）（4）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）練習(xí)題4.31.（1）（2）（3）（4）2.(1)所以f(x)在x=1處不可導(dǎo)。因?yàn)閒(x)在x=1處有定義所以f(x)在x=1處連續(xù).(2)所以f(x)在x=0處不可導(dǎo)。因?yàn)閒(x)在x=0處有定義所以f(x)在x=0處連續(xù)。（3）f(x)在x=0處有定義所以f(x)在x=0處可導(dǎo)且連續(xù)。練習(xí)題4.41.2.3.(1)(2)(3)(4)4.，練習(xí)題4.51．（1）對(duì)函數(shù)兩邊直接取對(duì)數(shù)，有等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)（注意y是x的函數(shù)），有于是（2）對(duì)函數(shù)兩邊直接取對(duì)數(shù)，有等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)（注意y是x的函數(shù)），有于是2．（1）（2）3．（1）這里y和可看成是x的復(fù)合函數(shù)，將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：所以（2）這里可看成是x的復(fù)合函數(shù)，將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：所以練習(xí)題4.61．（1）（2）（3）（4）2．（1）（2）（3）3.（1）2（2）（3）sint（4）（5）ln(1+x)（6）（7）（8）第四章復(fù)習(xí)題一、選擇題1.A2.A3.B4.D5.D二、判斷題1.√2.×3.√三、填空題1.2.-1,1，不存在3.04.四、1.2.3.這里y和可看成是x的復(fù)合函數(shù)，將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：所以五、計(jì)算題1.2.第5章微分學(xué)基本定理及其應(yīng)用練習(xí)題5.11.證：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)又故在上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)使得又因此羅爾定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上是正確的.2.證：函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)故在上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，從而至少存在一點(diǎn)使又可知因此拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上是正確的.3.解：函數(shù)分別在，，上連續(xù)，分別在，，內(nèi)可導(dǎo)，且由羅爾定理知至少存在，，使即方程至少有三個(gè)實(shí)根，又方程為三次方程，故它至多有三個(gè)實(shí)根，因此方程有且僅有三個(gè)實(shí)根，它們分別位于區(qū)間，，內(nèi).練習(xí)題5.2用洛比達(dá)法則求下列極限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）練習(xí)題5.31.求下列極限:(1)(2)(3)(4)第5章復(fù)習(xí)題一、選擇題:1.A2.C3.D4.D5.C6.B7.D8.A二、填空題:1.2．，3.，4.5.駐點(diǎn)三、判斷題:1.×2.√3.×4.×5.√四、計(jì)算題:1.解：因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)和處有極值所以為方程的根，代入得，又所以在取極小值，所以在取極大值2.解：令得當(dāng)時(shí)，，因此曲線(xiàn)在上是凸的當(dāng)時(shí)，，因此曲線(xiàn)在上是凹的故點(diǎn)為拐點(diǎn)3.解：設(shè)半圓的半徑為，則窗戶(hù)的截面面積為令，則所以當(dāng)時(shí)，窗戶(hù)的截面面積最大。4.解：設(shè)生產(chǎn)臺(tái)電視機(jī)，才能使利潤(rùn)最大，則利潤(rùn)為：令即解之得駐點(diǎn)所以當(dāng)生產(chǎn)750臺(tái)電視機(jī)時(shí)才能獲利最大第6章不定積分練習(xí)題6.11.填空題：（1）（2）（3）（4）2.解：設(shè)曲線(xiàn)方程為，則點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，由條件得因此為的一個(gè)原函數(shù)，故有又，根據(jù)條件曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，有解得即得所求曲線(xiàn)方程為練習(xí)題6.2求不定積分（1）（2）（3）（4）（5）（6）練習(xí)題6.31.求使下列等式成立的常數(shù)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2.求下列不定積分(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解：令，，則，(10)(11)解：設(shè)，則，，所以（12）解：令，即，從而練習(xí)題6.41.求下列不定積分(1)(2) (3)(4)(5)(6)2.解：因?yàn)槭堑脑瘮?shù)，所以復(fù)習(xí)題填空題：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二、選擇題：1.C2.A3.A4.D5.C6.A7.C8.A9.D三、求下列不定積分：1.2.3.4.5.令，則，從而故6.7.解：令，則得8.9.(積分表的使用)10.11.12.四、計(jì)算題1.解：又因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，?.解：設(shè)，則第7章定積分練習(xí)題7.11.利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列等式（1）證：根據(jù)定積分的幾何意義，定積分表示由直線(xiàn)、及軸圍成的圖形的面積，該圖形是三角形，底邊長(zhǎng)為1，高為2，因此面積為1，即（2）證：由于函數(shù)在區(qū)間上非負(fù)，在區(qū)間上非正根據(jù)定積分的幾何意義，定積分表示曲線(xiàn)與軸所圍成的圖形的面積減去曲線(xiàn)與軸所圍成的圖形的面積顯然圖形與的面積是相等的，因此有2.估計(jì)下列各積分的值：（1）解：在區(qū)間上，因此有（2）解：因?yàn)樵谏?，，且函?shù)不恒等于和，所以有（3）解：因?yàn)樵谏?，，因此?.根據(jù)定積分性質(zhì)及上題結(jié)論比較下列每組積分的大小。(1)在區(qū)間上，因此比大(2)在區(qū)間上，，所以且除了處處有，因此比大(3)由于當(dāng)時(shí)，故此時(shí)有，因此比大(4)在區(qū)間上，，且除外處處有因此比大練習(xí)題7.2解：，因此，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）（4）3.求下列極限.（1）（2）4.計(jì)算下列各定積分.(1)(2)(3)(4)(5)練習(xí)題7.31.用定積分換元法計(jì)算下列定積分.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2.用分部積分法計(jì)算下列定積分.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）因此有3.利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列定積分.（1）解：由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，因此（2）解：由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，因此練習(xí)題7.41.求下列平面圖形的面積.(1)(2)(3)求下列旋轉(zhuǎn)體的體積.(1)(2)3.解：（1）（2）總收益的增量為4.解：因?yàn)楣视值每偝杀竞瘮?shù)為邊際收入故總收入又得故總收入函數(shù)為設(shè)總利潤(rùn)為則求利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得令得即（百臺(tái)）因本例是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，最大利潤(rùn)是存在的，而極大值點(diǎn)又唯一，則在（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大，其值為（萬(wàn)元）從2.5百臺(tái)增加到3百臺(tái)，總利潤(rùn)減少了（萬(wàn)元）即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量又生產(chǎn)了50臺(tái)，總利潤(rùn)減少了0.25萬(wàn)元。第七章復(fù)習(xí)題一、選擇題1.A2.A3.C4.A二、判斷題1.√2.×3.√4.×5.√三、填空題1.2.3.4.5.6.2四、計(jì)算下列定積分1.2.3.4.5.所以6.五、求下列各曲線(xiàn)圍成的平面圖形的面積1.解：由與得兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為和所以面積2.解：容易求得與的交點(diǎn)為和因此有六、求下列各曲線(xiàn)所圍成平面圖形繞指定軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)體的體積1.解：與的交點(diǎn)為，2.解：是以為圓心，4為半徑的圓由圓的方程得，故繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積為第八章多元函數(shù)練習(xí)題8.11.（1）要使函數(shù)有意義，必須，即（2）要使函數(shù)有意義，必須，即（3）要使函數(shù)有意義，必須，即（4）要使函數(shù)有意