人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊(cè))同步講義第33講 拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問(wèn)題）（原卷版）

第08講拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問(wèn)題）一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)一：曲線方程的定義一般地，如果曲線SKIPIF1<0與方程SKIPIF1<0之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線SKIPIF1<0上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程SKIPIF1<0的解；②以方程SKIPIF1<0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線SKIPIF1<0上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程SKIPIF1<0叫做曲線SKIPIF1<0的方程，曲線SKIPIF1<0叫做方程SKIPIF1<0的曲線．知識(shí)點(diǎn)二：求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．知識(shí)點(diǎn)三：求軌跡方程的方法：1、定義法：如果動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2、直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)SKIPIF1<0滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)SKIPIF1<0所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)SKIPIF1<0表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3、參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量SKIPIF1<0，以此量作為參變數(shù)，分別建立SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0與該參數(shù)SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而通過(guò)消參化為軌跡的普通方程SKIPIF1<0.4、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)SKIPIF1<0的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示出相關(guān)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，然后把SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程。5、點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等關(guān)系式，由于弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，由此可求得弦SKIPIF1<0中點(diǎn)的軌跡方程.二、題型精講方法01直接法【典例1】（2023秋·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期末）已知圓心在SKIPIF1<0軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸分別相交于SKIPIF1<0兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)SKIPIF1<0的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到SKIPIF1<0的距離是點(diǎn)P到SKIPIF1<0的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；【變式1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知兩定點(diǎn)A（1，1）、B（-1，-1），動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)P的軌跡是.【變式2】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程．方法02相關(guān)點(diǎn)法【典例1】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎娣e為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸上運(yùn)動(dòng)，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0方程是；【典例3】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0的斜邊為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求：(1)直角頂點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程；(2)直角邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程.【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定點(diǎn)SKIPIF1<0和曲線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為．【變式3】（2023春·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的上?下頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的動(dòng)點(diǎn)，記SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0的斜率.點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0是定值，并求出該定值；(2)求動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程.方法03定義法【典例1】（2023秋·全國(guó)·高二期末）一動(dòng)圓SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，且與已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，則動(dòng)圓圓心SKIPIF1<0的軌跡方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.【變式1】（2023·上海·高二專題練習(xí)）一動(dòng)圓與圓SKIPIF1<0外切，同時(shí)與圓SKIPIF1<0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．【變式2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，那么點(diǎn)M的軌跡是．方法04參數(shù)法【典例1】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知斜率為SKIPIF1<0的動(dòng)直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的軌跡長(zhǎng)度為．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，平行于SKIPIF1<0軸的兩條直線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，交SKIPIF1<0的準(zhǔn)線于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0的面積的兩倍，求SKIPIF1<0中點(diǎn)的軌跡方程.【變式1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0到準(zhǔn)線的距離為2，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為.【變式2】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為C的左右焦點(diǎn).點(diǎn)SKIPIF1<0為橢圓上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.過(guò)P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，直線AB與x，y軸正半軸相交.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)M滿足SKIPIF1<0，求M的軌跡方程.方法05點(diǎn)差法【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，且兩頂點(diǎn)間的距離為6，求該雙曲線方程．（2）一組平行直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程．【典例2】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎p曲