圖像頻域處理的概述

摘要圖像的頻域處理是指根據(jù)一定的圖像模型，對(duì)圖像頻譜進(jìn)行不同程度修改的技術(shù)。二維正交變換是圖像處理中常用的變換，其特點(diǎn)是變換結(jié)果的能量分布向低頻成份方向集中，圖像的邊緣、線條在高頻成份上得到反映，因此正交變換在圖像處理中得到廣泛運(yùn)用。傅里葉作為一種典型的正交變換，在數(shù)學(xué)上有比擬成熟和快速的處理方法。卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理中的重要地位－－應(yīng)用最廣。在用頻域方法進(jìn)行卷積過(guò)程中尤其要注意傅里葉變換的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次課設(shè)將對(duì)此作詳細(xì)的介紹。關(guān)鍵字：頻域處理，二維傅里葉變換，卷積，周期延拓1圖像頻域處理的概述圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變化劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。頻域處理是指根據(jù)一定的圖像模型，對(duì)圖像頻譜進(jìn)行不同程度修改的技術(shù)，通常作如下假設(shè)：1)引起圖像質(zhì)量下降的噪聲占頻譜的高頻段；2)圖像邊緣占高頻段；3)圖像主體或灰度緩變區(qū)域占低頻段?；谶@些假設(shè)，可以在頻譜的各個(gè)頻段進(jìn)行有選擇性的修改。為什么要在頻率域研究圖像增強(qiáng)〔1〕可以利用頻率成分和圖像外表之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。一些在空間域表述困難的增強(qiáng)任務(wù)，在頻率域中變得非常普通?！?〕濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域?yàn)V波的某些性質(zhì)。〔3〕可以在頻率域指定濾波器，做反變換，然后在空間域使用結(jié)果濾波器作為空間域?yàn)V波器的指導(dǎo)?！?〕一旦通過(guò)頻率域試驗(yàn)選擇了空間濾波，通常實(shí)施都在空間域進(jìn)行。2二維傅里葉變換由于圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。傅立葉變換在實(shí)際中的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，那么其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。2.1二維連續(xù)傅里葉變換如果二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，那么將有下面的傅立葉變換對(duì)存在：與一維傅立葉變換類似，二維傅立葉變換的傅立葉譜和相位譜為：2.2二維離散傅里葉變換一個(gè)M×N大小的二維函數(shù)f(x,y)，其離散傅立葉變換對(duì)為：在數(shù)字圖像處理中，圖像一般取樣為方形矩陣，即N×N，那么其傅立葉變換及其逆變換為：2.3二維離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換主要有以下性質(zhì)：1.平移性質(zhì)2.分配律3.尺度變換〔縮放〕4.旋轉(zhuǎn)性5.周期性和共軛對(duì)稱性6.平均值7.可分性8.卷積9.相關(guān)性。這里主要簡(jiǎn)述周期性，卷積相關(guān)內(nèi)容會(huì)在下一節(jié)中介紹。離散傅里葉變換有如下周期性性質(zhì)：反變換也是周期性的：頻譜也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的：這些等式的有效性是建立在二維離散傅里葉變換公式根底上的。圖像的周期性在圖像處理中有非常重要的作用，下面會(huì)在卷積局部繼續(xù)闡述周期性的相關(guān)內(nèi)容。3卷積相關(guān)知識(shí)介紹卷積特性是傅里葉變換性質(zhì)之一，由于它在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理中的重要地位－－應(yīng)用最廣。共分二個(gè)定理：時(shí)域卷積定理；頻域卷積定理。3.1時(shí)域卷積定理給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)：那么：時(shí)域卷積頻域相乘即兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積的頻譜等于各個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的乘積。3.2頻域卷積定理給定兩個(gè)時(shí)間函數(shù)：那么：頻域卷積時(shí)域相乘。即兩個(gè)時(shí)間函數(shù)頻譜的卷積等效于各個(gè)時(shí)間函數(shù)的乘積〔乘以系數(shù)1/〕。3.3周期延拓在卷積中的作用基于卷積理論，頻率域的乘法相當(dāng)于空間域的卷積，反之亦然。當(dāng)處理離散變量和傅里葉變換時(shí)，要記住不同函數(shù)所包含的周期性(節(jié))。雖然可能不太直觀，但周期性是定義離散傅里葉變換對(duì)時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)副產(chǎn)品。周期性是處理操作的一局部,不應(yīng)無(wú)視。圖3.1列舉了周期性的重要性。圖3.1左邊〔a~e〕：兩個(gè)離散函數(shù)的卷積右邊〔f~j〕：相同函數(shù)的卷積，考慮DFT周期性的應(yīng)用。圖的左邊一列是用下式的一維形式計(jì)算的卷積：在此詳細(xì)地解釋卷積運(yùn)算的過(guò)程。為簡(jiǎn)化表示，簡(jiǎn)單的數(shù)字將代替那些表示函數(shù)長(zhǎng)度和高度的通用符號(hào)。圖3.1(a)和(b)是兩個(gè)要進(jìn)行卷積的函數(shù)。每個(gè)函數(shù)包含400個(gè)點(diǎn)。卷積的第一步是將一個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)進(jìn)行鏡像映射(倒轉(zhuǎn))，在本例情況下，對(duì)第二個(gè)函數(shù)進(jìn)行，在圖3.1(c)中以h(-m)示出。下一步是將h(-m)滑過(guò)f(m)。這要增加一個(gè)常數(shù)x到h(-m)，即變成h(x-m)，如圖3.1(d)所示。注意只有一個(gè)置換值。在第一次遇到時(shí)．這個(gè)簡(jiǎn)單步驟通常是引起混亂的根源。而這恰好是卷積計(jì)算的全部關(guān)鍵。換言之，為了執(zhí)行卷積，倒轉(zhuǎn)了一個(gè)函數(shù)，并將它滑過(guò)另一個(gè)函數(shù)。在每一個(gè)置換點(diǎn)(的每一個(gè)值)都要計(jì)算式的全部總和。這個(gè)總和不比在給定位移處f和h乘積的和更太。位移x的范圍為h完全滑過(guò)f需要的所有值。圖3.1(e)顯示了h完全滑過(guò)f后的結(jié)果，并在x的每個(gè)點(diǎn)計(jì)算式。在此例中，為使h(x-m)完全滑過(guò)f,x值的范圍是從0到799。這幅圖是兩個(gè)函數(shù)的卷積。要清楚地記住卷積中的變量是x.從上面介紹的卷積理論可知，由F(u)H(u)的傅里葉反變換能得到同樣的準(zhǔn)確結(jié)果。但是，從前面對(duì)周期性的討論又知離散傅里葉變換自動(dòng)地將輸入函數(shù)周期化。換言之，采用DFT允許在頻率域進(jìn)行卷積計(jì)算，但函數(shù)必須看做周期性的，且周期等于函數(shù)的長(zhǎng)度?？梢酝ㄟ^(guò)圖3.1右邊一列考察這種隱含的周期性。圖3.1(f)同圖3.1(a)一樣，但同樣的函數(shù)在兩個(gè)方向上周期性地?zé)o限擴(kuò)展(擴(kuò)展局部用虛線表示)。從圖3.1(g)到圖3.1(i)同樣應(yīng)用該擴(kuò)展?，F(xiàn)在，可以通過(guò)將h(x-m)滑過(guò)f(m)進(jìn)行卷積。如前面一樣，變化x完成滑動(dòng)。然而，h(x-m)的周期性擴(kuò)展產(chǎn)生了圖3.1左邊的計(jì)算中所沒(méi)有的值。例如，在圖3.1(i)中，當(dāng)x=0時(shí)，看到h(x-m)右側(cè)第一個(gè)擴(kuò)展周期的一局部進(jìn)入圖3.1(f)中所示的f(m)(從原點(diǎn)開始)的一局部。當(dāng)h(x-m)向右滑動(dòng)時(shí)，在f(m)中的那局部開始向右側(cè)移出，但被h(x-m)左側(cè)相同局部所取代。這引起卷積產(chǎn)生一個(gè)常量值，如圖3.1(j)所示的[0，100]的一段.從100到4OO的一段是正確的，但周期性是周而復(fù)始的，這樣就引起卷積函數(shù)尾部的一局部喪失，由圖3.1(j)和圖3.1(e)實(shí)線局部的比擬可以看出這一點(diǎn)。在頻率域，該過(guò)程需要計(jì)算圖3.1(a)和(b)中函數(shù)的傅里葉變換。根據(jù)卷積理論，兩個(gè)變換要相乘，再計(jì)算傅里葉反變換。結(jié)果包含40O個(gè)點(diǎn)的卷積，如圖3.1(j)的實(shí)線局部所示。簡(jiǎn)單的解釋說(shuō)明當(dāng)使用傅里葉變換得出卷積函數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤地處理周期性將得到錯(cuò)誤的結(jié)論。結(jié)果，在開頭有錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，結(jié)尾將喪失數(shù)據(jù)。問(wèn)題的解決方法很簡(jiǎn)單。假設(shè)f和h分別由A和B個(gè)點(diǎn)組成。對(duì)兩個(gè)函數(shù)同時(shí)添加零，以使它們具有相同的周期，表示為P。這個(gè)過(guò)程產(chǎn)生擴(kuò)展的或延拓的函數(shù)，如下所示：和可以看出,除非選擇P≥A+B-1，否那么卷積的獨(dú)立周期將會(huì)混疊。已經(jīng)在圖3.1中看到了這種現(xiàn)象的結(jié)果，這通常歸于纏繞誤差。假設(shè)P=A+B-1，周期便會(huì)鄰接起來(lái)。假設(shè)P＞A+B-1，周期將會(huì)是分隔開的，分隔的程度等于P與A+B-1的差。擴(kuò)展后的卷積結(jié)果如圖3.2所示。在這里，選擇P=A+B-1(799)，即可知卷積周期是相鄰的。遵循與前面的解釋相同的過(guò)程，得到如圖3.2(e)所示的卷積函數(shù)。該結(jié)果的一個(gè)周期與圖3.1(e)相同，是正確的。這樣，如果要在頻率域計(jì)算卷積，應(yīng)該：(1)得到兩個(gè)擴(kuò)展序列的傅里葉變換(每個(gè)序列有8OO個(gè)點(diǎn))；(2)將兩個(gè)變換相乘；(3)計(jì)算傅里葉反變換。結(jié)果便得到正確的8OO個(gè)點(diǎn)的卷積函數(shù)，見圖3.2(e)中周期加重的局部。圖3.2〔a~e〕用擴(kuò)展函數(shù)執(zhí)行卷積的結(jié)果這些概念擴(kuò)展到二維函數(shù)時(shí)遵循了相同的前提。假設(shè)有f(x,y)和h(x,y)兩幅圖像，大小分別為A×B和C×D。如同一維情況，這些行列必須假定在x方向上有相同的周期P，在y方向上有相同的周期Q。二維卷積的混疊可由選擇如下周期防止：擴(kuò)展f(x,y)和h(x,y)形成如下周期性序列：為了簡(jiǎn)化圖例，假設(shè)f和h是方形的，且大小相同，圖3.3對(duì)二維函數(shù)周期延拓的說(shuō)明?！瞐〕沒(méi)有延拓執(zhí)行二維卷積的結(jié)果；〔b〕合格的函數(shù)延拓；〔c〕正確的卷積結(jié)果。圖3.3(a)顯示了圖像沒(méi)有延拓時(shí)得到的濾波結(jié)果。這通常是由于沒(méi)有對(duì)一幅輸入圖像進(jìn)行延拓就進(jìn)行傅里葉變換，然后又乘上同樣大小的函數(shù)(也沒(méi)有延拓)，計(jì)算傅里葉反變換。結(jié)果就是與輸入圖像相同的大小為A×B的圖像，如圖3.3(a)左上象限所示。如同一維情況，圖像前面邊沿(阻影局部)由于周期性而引入了錯(cuò)誤數(shù)據(jù)，而在尾部邊沿將喪失數(shù)據(jù)。如圖3.3(b)所示，通過(guò)對(duì)輸入圖像和函數(shù)進(jìn)行適宜的延拓，將得到正確的、大小為P×Q的過(guò)濾圖像，如圖4.38(c)所示。這幅圖像在兩個(gè)坐標(biāo)方向上是原始圖像的兩倍大小，有原始圖像4倍數(shù)量的像素點(diǎn)。4程序設(shè)計(jì)MATLAB中提供的變換函數(shù)〔1〕fft2:用于計(jì)算二維快速傅立葉變換，語(yǔ)句格式：B=fft2(I,m,n)按指定的點(diǎn)數(shù)計(jì)算m,返回矩陣B的大小為m×n,不寫默認(rèn)為原圖像大小。〔2〕ifft2:用于計(jì)算圖像的二維傅立葉反變換，語(yǔ)法格式：B=ifft2(i)這里在MATLAB工作路徑里輸入兩副灰度圖像，分別為‘1.jpg’和‘2.jpg’，如下列圖所示。圖4.11.jpg圖4.22.jpg%直接卷積程序I1=imread('1.jpg');I2=imread('2.jpg');I5=conv2(I1,I2);figure(2);imshow(I5,[]);%正確的頻域處理程序I1=imread('1.jpg');I2=imread('2.jpg');[m1,n1]=size(I1);[m2,n2]=size(I2);I1(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;I2(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;I3=ifft2(fft2(I1).*fft2(I2));I3=I3(1:m1+m2-1,1:n1+n2-1);I3=real(I3);figure(1);imshow(I3,[]);%比擬頻域方法與直接卷積的結(jié)果，顯示差矩陣并且顯示錯(cuò)誤數(shù)據(jù)數(shù)F=minus(I3,I5);figure(3)imshow(F);s=0;fori=1:m1+m2-1forj=1:n1+n2-1if(minus(abs(F(i,j)),0.000001)>0)s=s+1;end;end;end;%補(bǔ)0不夠的頻域處理程序I1=imread('1.jpg');I2=imread('2.jpg');[m1,n1]=size(I1);[m2,n2]=size(I2);I1(m1+m2-100,n1+n2-100)=0;I2(m1+m2-100,n1+n2-100)=0;I3=ifft2(fft2(I1).*fft2(I2));I3=I3(1:m1+m2-100,1:n1+n2-100);I3=real(I3);I3(m1+m2-1,n1+n2-1)=0;figure(1);imshow(I3,[]);%比擬頻域方法與直接卷積的結(jié)果，顯示差矩陣并且顯示錯(cuò)誤數(shù)據(jù)數(shù)F=minus(I3,I5);figure(3)imshow(F);s=0;fori=1:m1+m2-100forj=1:n1+n2-100if(minus(abs(F(i,j)),0.000001)>0)s=s+1;end;end;end;5運(yùn)行結(jié)果及結(jié)果分析在MATLAB中輸入程序后，顯示的卷積結(jié)果如下，圖5.1正確延拓頻域法得到的卷積圖像圖5.2補(bǔ)0不夠頻域法得到的卷積圖像圖5.3直接函數(shù)卷積得到的圖像圖5.4正確延拓差矩陣的二值圖像圖5.5補(bǔ)0不夠的差矩陣的二值圖像比擬圖5.1和圖5.3，看不出兩個(gè)圖像有任何區(qū)別。通過(guò)作差，認(rèn)為舍入誤差小于0.000001的均可作為0來(lái)處理，這里S=76295，差值矩陣的二值圖像全為黑，可以認(rèn)為兩圖幾乎沒(méi)有任何區(qū)別，即頻域方法的卷積結(jié)果是完全正確的。比擬圖5.2和圖5.3，外表上也看不出兩個(gè)圖像有什么區(qū)別，圖5.2的靠左和靠上局部有亮度增加，這局部是疊加錯(cuò)誤，而靠下和靠右局部是兩條黑杠，這是補(bǔ)零的數(shù)據(jù)，也就是原來(lái)喪失的數(shù)據(jù)。通過(guò)檢測(cè)差值矩陣，S=327863,錯(cuò)誤的有很多，即沒(méi)有補(bǔ)0的頻域方法計(jì)算的結(jié)果不正確。值得注意的是這里差值矩陣應(yīng)該四周都是白色，因?yàn)樽筮吅蜕线吺腔殳B錯(cuò)誤的地方應(yīng)該為，行數(shù):100，列數(shù)100；同理右邊和下邊是數(shù)據(jù)喪失人為補(bǔ)0的地方也有與混疊相同的行數(shù)和列數(shù)。但因?yàn)檫@里‘2.jpg’周圍為0，因此正確卷積的結(jié)果也為0，因此差矩陣得到的相應(yīng)區(qū)域也為0，顯示的2值圖像就看不到白色地方了。6心得體會(huì)數(shù)字圖像處理是一門理論與實(shí)踐緊密結(jié)合的課程。做大量的上機(jī)實(shí)驗(yàn)有助于進(jìn)一步理解和穩(wěn)固理論知識(shí)，還有助于提高分析和解決問(wèn)題的能力。MATLAB強(qiáng)大的運(yùn)算和圖形處理功能，可以使數(shù)字圖像處理效率大大提高，使數(shù)字圖像處理工作變得十分簡(jiǎn)單和直觀。這次數(shù)字圖像處理課程設(shè)計(jì)歷時(shí)四天，在整整四天的日子里，可以說(shuō)得是苦多于甜，但是可以學(xué)到很多很多的的東西，特別是學(xué)到了很多在書本上所沒(méi)有學(xué)到過(guò)的知識(shí)。以前總是在課堂上面聽老師講一些理論方面的知識(shí)，看著覺(jué)得簡(jiǎn)單。但這次課設(shè)，當(dāng)我在實(shí)際中自己處理問(wèn)題時(shí)，才發(fā)現(xiàn)有許多我們不了解的細(xì)節(jié)方面的知識(shí)，這些都需要我們?cè)趯?shí)踐中去嘗試解決。剛開始題目給的不清楚，沒(méi)有搞明白是要干什么，通過(guò)老師的指導(dǎo)明確了這次課程設(shè)計(jì)的目的。這次課設(shè)說(shuō)白了就是讓我們驗(yàn)證卷積定理，用傅里葉變換和反變換都很簡(jiǎn)單。但要真正弄明白補(bǔ)0周期延拓還要仔細(xì)看課本，搞明白原理。而且怎么樣去比擬兩種算法的結(jié)果，這里想到用求差的方法，通過(guò)用差矩陣來(lái)變現(xiàn)兩個(gè)結(jié)果的差異。但是傅里葉變換帶來(lái)了復(fù)述，