2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．設(shè)，，則（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝x3 D．3．設(shè)，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．對(duì)于函數(shù),“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“=是奇函數(shù)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要5．若，，，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)在的最小值是（

）A．1 B． C． D．37．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．8．已知是定義在R上的奇函數(shù)，若對(duì)任意，均有．且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題全對(duì)5分，選對(duì)不全對(duì)得2分，共20分）9．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．若函數(shù)過定點(diǎn)，則函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)C．冪函數(shù)在是減函數(shù)D．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱11．符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù):，則下列命題正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?D．函數(shù)是增函數(shù)?奇函數(shù)12．函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在區(qū)間使在區(qū)間上的值域也是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數(shù)的定義域?yàn)椋?4．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)組成的集合．15．設(shè)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝log2x，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)的表達(dá)式為．16．古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底曾研究過如下圖的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.若以斜邊為直徑的半圓面積為，則以，為直徑的兩個(gè)半圓的弧長(zhǎng)之和的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．計(jì)算下列各式：(1)；(2).18．求下列式子的最值．(1)已知，求的最小值；(2)已知，，且，求的最小值．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．20．已知且滿足不等式．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并解不等式．(2)若函數(shù)在區(qū)間有最小值為，求實(shí)數(shù)的值．21．已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足．(1)求，；(2)若，且方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè)，有效遏制涉校案件的發(fā)生，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的校園警務(wù)室.由子此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長(zhǎng)度均為米.（1）當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià).（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，苦無論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求的取值范圍.1．A【分析】解不等式可得集合，再根據(jù)集合間的運(yùn)算可得解.【詳解】由，又，所以，所以，故選：A.2．C【分析】依據(jù)奇偶性和單調(diào)性依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】y＝x＋1是非奇非偶函數(shù)，y＝－x2是偶函數(shù)，y＝x3由冪函數(shù)的性質(zhì)，是定義在R上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增，在定義域?yàn)?，不是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，故選：C此題考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性的判斷，要求對(duì)奇偶性和單調(diào)性的判斷方式熟練掌握，是簡(jiǎn)單題目.3．D利用特殊值排除判斷ABC，由不等式的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不成立，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；，由不等式性質(zhì)知，故D正確.故選：D4．B【詳解】由奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義,容易得選項(xiàng)B正確.5．C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以，所以，故選：C.6．C【分析】設(shè)，得到，進(jìn)而得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，設(shè)，因?yàn)?，則，則函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C.本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.7．B【分析】首先可求出，再由得，由得，將其轉(zhuǎn)化為、與的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)方程思想，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于中檔題.8．D【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性綜合解抽象函數(shù)不等式.【詳解】因?yàn)椋?，所以，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，即，解得，又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，不等式無解，因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，即，解得，綜上不等式的解集為，故選：D.9．BC【分析】把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】如圖，作出函數(shù)和的圖象，觀察交點(diǎn)可得交點(diǎn)在和區(qū)間上，故選：BC.10．BD【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域判斷A；根據(jù)函數(shù)圖像平移判斷BD；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】解：對(duì)于A，若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋叔e(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)圖像，由于過定點(diǎn)，故函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，正確；對(duì)于C，冪函數(shù)在是減函數(shù)，由于，定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，故冪函數(shù)在是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，，其圖像由向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，正確.故選：BD11．ABC【分析】將代入解析式，即可判斷A項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，得出，從而判斷B項(xiàng)；由表示不超過的最大整數(shù)，得出，從而判斷C項(xiàng)；取特殊值，判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，則A正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，得出，則B正確；對(duì)于C項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)，所以，則C正確；對(duì)于D項(xiàng)，，，函數(shù)既不是增函數(shù)也不是奇函數(shù)，則D錯(cuò)誤；故選：ABC本題主要考查了求函數(shù)值，解析式，定義域，值域，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，屬于中檔題.12．ABD【分析】根據(jù)題意，可知若在區(qū)間上的值域也是，則存在“和諧區(qū)間”，且，則或，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算求解，即可判斷該函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間”.【詳解】解：由題得，若在區(qū)間上的值域也是，則存在“和諧區(qū)間”，可知，，則或，A：，若，解得：，所以存在“和諧區(qū)間”；B：，若存在和諧區(qū)間，則，故在為增函數(shù)，故，解得：，所以存在“和諧區(qū)間”；C：，若存在和諧區(qū)間，則，若，則，故在上為增函數(shù)，故，得，故無解；若，則，故在上為增函數(shù)，同上，無解.所以不存在“和諧區(qū)間”；D：，函數(shù)在單調(diào)遞減，則，不妨令，所以存在“和諧區(qū)間”；綜上得：存在“和諧區(qū)間”的是ABD.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以函數(shù)的新定義為載體，考查函數(shù)的定義域、值域以及零點(diǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“和諧區(qū)間”的定義，考查運(yùn)算能力以及函數(shù)與方程的思想.13．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0、分母不為0可得答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，只需，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為.14．【分析】先求出A的元素，再由B?A，分和B≠φ求出a值即可.【詳解】∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，∴A＝{3，5}又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，∴①時(shí)，a＝0，顯然B?A②時(shí)，B＝{}，由于B?A∴∴故答案為{}本題主要考查由集合間基本關(guān)系求參數(shù)值或范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題．15．f(x)＝－log2(－x)【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的表達(dá)式即可.【詳解】設(shè)，則，結(jié)合奇函數(shù)的定義可知.本題主要考查由函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式的方法，屬于基礎(chǔ)題.16．【分析】設(shè)，，所以，由以斜邊為直徑的半圓面積為可求得，再由基本不等式即可求得的最大值，即可求得弧長(zhǎng)之和的最大值.【詳解】設(shè)，，所以，即，因?yàn)橐孕边厼橹睆降陌雸A面積為，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以以，為直徑的兩個(gè)半圓的弧長(zhǎng)之和為，即以，為直徑的兩個(gè)半圓的弧長(zhǎng)之和的最大值為.故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由指數(shù)冪的運(yùn)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）原式.（2）原式.18．(1)(2)9【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為.（2）,當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為9.19．(1)(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得出，求出的取值范圍，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)法可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，即函數(shù)的值域?yàn)?（2）解：當(dāng)時(shí)，，由可得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.20．(1),解集為.(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式求得，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式；（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求參數(shù)的值.【詳解】（1）由且滿足不等式可得，，解得，由可得，，解得，所以原不等式的解集為.（2）因?yàn)?所以函數(shù)在定義域單調(diào)遞減,所以函數(shù)在區(qū)間有最小值為,解得.21．(1)，(2)或【分析】（1）結(jié)合函數(shù)奇偶性將代入條件中可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為、共有三個(gè)解求的取值范圍，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以，，由①，得即②，①②可得，①②可得；（2）由（1），方程，可得或，即或，當(dāng)時(shí)，由下圖可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以要使方程有三個(gè)解，只需有一解即可，即與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)即可，由圖象可得或，解得或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為，有三個(gè)解求的取值范圍，結(jié)合圖象求答案.22．（1）當(dāng)左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度為4米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低