福建地區(qū)廈門市2018-2019年度學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

~廈門市2018-2019學(xué)年度第二學(xué)期高一年級質(zhì)量檢測(數(shù)學(xué))一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符感謝閱讀合題目要求的。1.若點(diǎn)Aa,0,B0,2,C1,3共線,則a的值為（）A.2B.1C.0【答案】A【解析】【分析】通過三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，即可得到答案.【詳解】由題意，可知BC1,1，又ABa,2，點(diǎn)Aa,0,B0,2,C謝謝閱讀a2 a2BC//AB，即 ，所以 ，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三點(diǎn)共線的條件，難度較小.2.已知等差數(shù)列an項(xiàng)和為S,aa10,則S（）n的前n379A.15B.30C.45

11,3共線，則90【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由于aa10，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，S9(aa)9(aa)45，故選193737922C.~【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和，難度不大.精品文檔放心下載3.下列選項(xiàng)正確的是（ ）A.若ab,?c>d,則acbd精品文檔放心下載B.若ab0,則11a2 b2C.若a2 b2,則ab若ab0,c0,則acbc感謝閱讀【答案】B【解析】【分析】通過逐一判斷ABCD選項(xiàng)，得到答案.【詳解】對于A選項(xiàng)，若a2,b1,c2,d1，代入ac0，bd0，故A錯誤；感謝閱讀對于C選項(xiàng)，a2 b2等價(jià)于|a||b|，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，若c0，則acbc，謝謝閱讀故D錯誤，所以答案選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的相關(guān)性質(zhì)，難度不大.4.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosBbcosA2ccosC,則C（）A.B.C.2D.或263333【答案】B【解析】【分析】1首先通過正弦定理將邊化角，于是求得cosC2，于是得到答案.精品文檔放心下載~【詳解】根據(jù)正弦定理得：sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，即sinC2sinCcosC，謝謝閱讀sinC0，所以cosC12，又為三角形內(nèi)角，所以C3，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的運(yùn)用，難度不大.感謝閱讀5.已知,為不同的平面,a,b為不同的直線則下列選項(xiàng)正確的是（ ）謝謝閱讀A.若a//,b,則a//b精品文檔放心下載C.若a//b,a,則b謝謝閱讀【答案】C【解析】【分析】

若a//,b//,則a//b謝謝閱讀D.若,a,則a通過對ABCD逐一判斷，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可得到答案.謝謝閱讀【詳解】對于A選項(xiàng)，a,b有可能異面，故錯誤；對于B選項(xiàng)，a,b可能相交或異面，故錯謝謝閱讀誤；對于C選項(xiàng)，a//b,a，顯然b故正確；對于D選項(xiàng)，a//也有可能，故錯誤.謝謝閱讀所以答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力，難度不大.謝謝閱讀6.正方體ABCDABCD中,直線AC與BC所成角的余弦值為（）11111A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】【分析】作出相關(guān)圖形，通過平行將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為共面直線所成角.精品文檔放心下載~【詳解】作出相關(guān)圖形，由于AC//AC，所以直線AC與BC所成角即為直線AC與BC111111所成角，由于ACB為等邊三角形，于是所成角余弦值為1，故答案選C.112【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的余弦值，難度不大.謝謝閱讀7.已知0x1,當(dāng)41取得最小值時x（）x1xA.22B.21C.4D.253【答案】D【解析】【分析】可用導(dǎo)函數(shù)解決最小值問題，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，令f(x)41，則f(x)41(x2)(3x2)，而x2x22當(dāng)x(0,2)時，f(x)0，當(dāng)x(2,1)時，f(x)0，則f(x)在x2處取得極小值，333故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)工具解決實(shí)際問題的能力，感謝閱讀難度中等.8.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b2a212c2,AB邊上的中線長為2,則謝謝閱讀~ABC面積的最大值為（ ）A.2 B.22 C.23 D.4【答案】D【解析】【分析】作出圖形，通過CDB+ADC=和余弦定理可計(jì)算出a2，于是利用均值不等式即可得謝謝閱讀到答案.4+c2b24+c2cb2【詳解】根據(jù)題意可知ADBD，而cosADC=44，同理2c2c222c24+4a2，而CDB+ADC=，于是cosCDB+cosADC0，即謝謝閱讀cosCDB2c8+c22a2b20，又因?yàn)閎2a212c2，代入解得a2.過D作DE垂直于AB于點(diǎn)E，精品文檔放心下載1因此E為中點(diǎn)，故BE4c，而S1AB4BE224BE2BE24BE2BE2，故面積最大值為4，4ABC22答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不感謝閱讀等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度較大.精品文檔放心下載~二、多選題:本題共2小題,每小題5分,共10分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,有多個選項(xiàng)符感謝閱讀合題目要求,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分。謝謝閱讀9.如圖,正方形ABCD中,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)將ADE,CDF,BEF分別沿謝謝閱讀DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于點(diǎn)P.則下列結(jié)論正確的是（）精品文檔放心下載PDEF平面PDE平面PDF二面角PEFD的余弦值為13點(diǎn)P在平面DEF上的投影是DEF的外心精品文檔放心下載【答案】ABC【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，只需取EF中點(diǎn)H，證明EF平面PDH；對于B選項(xiàng)，知PE,PF,PD三線精品文檔放心下載兩兩垂直，可知正確；對于 C選項(xiàng)，通過余弦定理計(jì)算可判斷；對于 D選項(xiàng)，由于感謝閱讀PEPFPD，可判斷正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，作出圖形，取EF中點(diǎn)H，連接PH，DH，又原圖知BEF和DEF精品文檔放心下載為等腰三角形，故PHEF,DHEF，所以EF平面PDH，所以PDEF，故A正感謝閱讀確；根據(jù)折起前后，可知PE,PF,PD三線兩兩垂直，于是可證平面PDE平面PDF，故精品文檔放心下載B正確；根據(jù)A選項(xiàng)可知PHD為二面角PEFD的平面角，設(shè)正方形邊長為2，因此感謝閱讀PEPF1，PH2，DH22232，PDDF2PF22，由余弦定222~理得：cosPHDPH2HD2PD21，故C正確；由于PEPFPD，故點(diǎn)P在2PHHD3平面DEF上的投影不是DEF的外心，即D錯誤；故答案為ABC.謝謝閱讀【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線垂直，面面垂直，二面角的計(jì)算，投影等相關(guān)概念，綜合性謝謝閱讀強(qiáng)，意在考查學(xué)生的分析能力，計(jì)算能力及空間想象能力，難度較大.感謝閱讀10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)“:平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A,B謝謝閱讀的距離之比為定值1的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來,人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波感謝閱讀羅尼斯圓,簡稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A2,0,B4,0,點(diǎn)P滿足PBPA12.設(shè)點(diǎn)精品文檔放心下載P的軌跡為C,下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為x42y29感謝閱讀PD 1B.在x軸上存在異于A,B的兩定點(diǎn)D,E,使得PE2精品文檔放心下載C.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時,射線PO是APB的平分線謝謝閱讀D. C上存在點(diǎn)M,使得MO2|MA|謝謝閱讀【答案】BC【解析】~【分析】通過設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用PA1即可得到軌跡方程，找出兩點(diǎn)D,E即可判斷B的正誤，謝謝閱讀PB 2設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用MO2|MA|與圓的方程表達(dá)式解出就存在，解不出就不存在.感謝閱讀PA1x2y2【詳解】設(shè)點(diǎn)Px,y，則PB22=2y2，化簡整理得x2y28x0，即x42PD11,0時，PE，故B正確；對于C選2項(xiàng)，cosAPO=AP2PO2AO2，cosBPO=BP2PO2BO2,要證PO為角平分線，2APPO2BPPO只需證明cosAPO=cosBPO，即證AP2PO2AO2BP2PO2BO2，化簡整2APPO2BPPO理即證PO22AP28，設(shè)Px,y，則PO2x2y2，謝謝閱讀2AP282x28x2y2x28xy2x2y2x2y2，則證感謝閱讀cosAPO=cosBPO，故C正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)Mx,y,由MO2|MA|可得謝謝閱讀0 0x2y2=x2y23x23y216x+1602，整理得，而點(diǎn)M在圓上，故滿足0000000x2y28x0，聯(lián)立解得x=2，y無實(shí)數(shù)解，于是D錯誤.故答案為BC.00【點(diǎn)睛】本題主要考查阿氏圓的相關(guān)應(yīng)用，軌跡方程的求解，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)精品文檔放心下載算能力，難度較大.三、填空題:本題共6小題,每小題5分,共30分。感謝閱讀11.不等式x2x10的解集是_________________感謝閱讀1515x【答案】x22【解析】~分析】可先求出一元二次方程的兩根，即可得到不等式的解集.【詳解】由于x2x1=0的兩根分別為：x15，x1+5，因此不等式12221515x2x10x的解集是x22.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的求解，難度不大.精品文檔放心下載12.等比數(shù)列a滿足aa3,aa3其公比q_________________n1224516【答案】12【解析】【分析】觀察式子，將兩式相除即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，可知aa1=q3，于是q145aa82.12【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列公比的相關(guān)計(jì)算，難度很小.精品文檔放心下載13.直線l過點(diǎn)(2,0)且傾斜角為30,直線l過點(diǎn)2,0且與l垂直,則l與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為12112____ 【答案】1,3【解析】【分析】通過題意，求出兩直線方程，聯(lián)立方程即可得到交點(diǎn)坐標(biāo).精品文檔放心下載~【詳解】根據(jù)題意可知ktan303，因此直線l為：y3(x2)，由于直線l與l131321垂直，故kk1，所以k3，所以直線l為：y3(x2)，聯(lián)立兩直線方程，1222可得交點(diǎn)1,3.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的相關(guān)計(jì)算，難度不大.14.如圖,貨輪在海上以20nmile/h的速度沿著方位角(從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的謝謝閱讀水平角)為150°的方向航行.為了確定船位,在點(diǎn)B觀察燈塔A的方位角是120°,航行半小時后謝謝閱讀到達(dá)C點(diǎn),觀察燈塔A的方位角是75°,則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時與燈塔A的距離為______nmile精品文檔放心下載【答案】5 2【解析】【分析】通過方位角定義，求出ABC，A45，利用正弦定理即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，可知BC200.510,ABC15012030,ACB3075105，因此可得A45，由正弦定理得：BCAC，求得AC52，即答案為52.sinAsinABC【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，難度不大.~15.若直線l:yxm上存在滿足以下條件的點(diǎn)P:過點(diǎn)P作圓O:x2y21的兩條切線(切精品文檔放心下載點(diǎn)分別為A,B),四邊形PAOB的面積等于3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______感謝閱讀【答案】25,25【解析】分析】通過畫出圖形，可計(jì)算出圓心到直線的最短距離，建立不等式即可得到m的取值范圍.感謝閱讀【詳解】作出圖形，由題意可知PAOA，PBOB，此時，四邊形PAOB即為2S ,謝謝閱讀PAO而S1|PA||OA|3，故|PA|3，勾股定理可知|PO|10，而要是得存在點(diǎn)P滿PAO22足該條件，只需O到直線的距離不大于10即可，即d|m|10，所以|m|25，故m2的取值范圍是25,25.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能精品文檔放心下載力，計(jì)算能力，分析能力，難度中等.~16.如圖,圓錐型容器內(nèi)盛有水,水深3dm,水面直徑23dm放入一個鐵球后,水恰好把鐵球淹沒,感謝閱讀則該鐵球 體積為________dm的【答案】125【解析】【分析】通過將圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后利用放球前后體積等量關(guān)系求得球的體積.感謝閱讀【詳解】作出相關(guān)圖形，顯然AH3,因此ACH30，因此放球前感謝閱讀V=1323=3，球O與邊AC相切于點(diǎn)M，故OMr，則OC2r，所以CH3r，1311AH3r,所以放球后V=13r23r=3r3，而V+V=V，而V=4，解得3r31121球2球3=12.5【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐體積與球體積的相關(guān)計(jì)算，建立體積等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，精品文檔放心下載意在考查學(xué)生的劃歸能力，計(jì)算能力和分析能力.~四、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟。感謝閱讀17.已知數(shù)列a前n項(xiàng)和為S,S3n2n.nnn2(1)證明:數(shù)列a是等的差數(shù)列;n(2)設(shè)c(1)n?a,求數(shù)列c的前2020項(xiàng)和T.nnn2020【答案】（1）見解析；（2）3030【解析】【分析】（1）當(dāng)n1時，可求出首項(xiàng)，當(dāng)n2時，利用aSS 即可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證感謝閱讀n n n1明是等差數(shù)列；(2)可將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)合并求和即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，aS11 1當(dāng)n2時，aSS3n2n3(n1)2(n1)3n2nnn122綜上，a3n2,nN*.n因?yàn)閍a(3n2)[3(n1)2]3,n2，nn1所以a是等差數(shù)列.n（2）法一：c(1)na(1)n(3n2)，nnc的前2020項(xiàng)和為：nTaaaaaa2000123420192020aaaaaa214320202019333310103030精品文檔放心下載~法二：c(1)na(1)n(3n2)，nncn的前2020項(xiàng)和為：Taaaaaa2000123420192020aaaaaaaa1352019246202010101009101010091010161010462210101101043030.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明，分組求和的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能謝謝閱讀力和計(jì)算能力，難度中等.18.已知函數(shù)f(x)12x2(m2)x(mR)感謝閱讀(1)若關(guān)于x的不等式f(x)4的解集為2,4,求m的值;感謝閱讀(2)若對任意x[0,4],f(x)20恒成立,求m的取值范圍.感謝閱讀【答案】（1）m1；（2）[0,)【解析】【分析】不等式fx4可化為x2(42m)x80，而解集為2,4，可利用韋達(dá)定理或直接代入即可得到答案；感謝閱讀（2）法一：討論x0和x(0,4]時，分離參數(shù)利用均值不等式即可得到取值范圍；精品文檔放心下載法二：利用二次函數(shù)在x[0,4]上大于等于0恒成立，即可得到取值范圍.謝謝閱讀【詳解】（1）法一：不等式fx4可化為x2(42m)x80，其解集為2,4，由根與系數(shù)的關(guān)系可知2442m，謝謝閱讀解得m1，經(jīng)檢驗(yàn)m1時滿足題意.~法二：由題意知，原不等式所對應(yīng)的方程fx4的兩個實(shí)數(shù)根為2和4，感謝閱讀將2（或4）代入方程計(jì)算可得m1，經(jīng)檢驗(yàn)m1時滿足題意.謝謝閱讀1（2）法一：由題意可知(2m)x22x2恒成立，精品文檔放心下載①若x0，則02恒成立，符合題意。感謝閱讀②若x(0,4]，則(2m)1x2恒成立，而1x221x22，2x2x2x122，即m0.當(dāng)且僅當(dāng)x2時取等號，所以2mx2xmin故實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0,).法二：二次函數(shù)f(x)12x2(m2)x的對稱軸為x2m.感謝閱讀① 若2m0，即m2，函數(shù)fx在0,4上單調(diào)遞增，f(x)2f(0)220謝謝閱讀恒成立，m2；②若02m4，即2m2，此時fx在0,2m上單調(diào)遞減，在2m,4上單謝謝閱讀調(diào)遞增，f(x)2f(2m)2(2m)2(2m)220得0m4.2感謝閱讀0m2；③若2m4，即m2，此時函數(shù)fx在0,4上單調(diào)遞減，精品文檔放心下載f(x)2f(4)21216(m2)424m20得m12，與m2矛盾，謝謝閱讀故m不存在.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0,).【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的性質(zhì)，不等式恒成立中含參問題，意在考查學(xué)生的精品文檔放心下載分析能力，計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，難度較大.~19.平面四邊形ABCD中,AB23,ACB60.精品文檔放心下載(1)若AC22,求BC;(2)設(shè)ACD,ADC,若ADcosACcos,60,求ACD面積的最大值.【答案】（1）BC26；（2）83【解析】【分析】(1)法一：在△ABC中，利用余弦定理即可得到BC的長度；精品文檔放心下載法二：在△ABC中，由正弦定理可求得ABC，再利用正弦定理即可得到BC的長度；謝謝閱讀（2）在ACD中，使用正弦定理可知ACD是等邊三角形或直角三角形，分兩種情況分別精品文檔放心下載找出面積表達(dá)式計(jì)算最大值即可.【詳解】（1）法一：△ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即(23)2(22)2BC2222BCcos3，解得BC26或26,260舍去，所以BC26.ABAC2322法二：△ABC中，由正弦定理得，即sinABC.sinsinACBsinABC3~解得sinABC2,ACAB,ABCACB，故ABC，24CAB53412.ABBC23BC由正弦定理得，即5，解得BC26.sinACBsinCABsin3sin12（2）ACD中，由正弦定理及ADcosACcos，可得sincossincos，精品文檔放心下載12sin212sin2,22或22，即或2.精品文檔放心下載3, △ACD是等邊三角形或直角三角形.精品文檔放心下載23ACAC4sin.△ABC中，設(shè)ABC，由正弦定理得sinsin,3若ACD是等邊三角形，則S1ACADsinCAD14sin4sin343sin2.△ACD2222時，ACD面積的最大值為43；∵0,3,當(dāng)2若ACD是直角三角形，則S1ACAD14sin43sin83sin2.ACD220,2時，ACD面積的最大值為83；3,當(dāng)2綜上所述，ACD面積的最大值為83.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，面積公式，三角函數(shù)最值的相關(guān)應(yīng)用，綜合性感謝閱讀強(qiáng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力，分析三角形的形狀并討論是解決本題的關(guān)鍵.謝謝閱讀20.如圖,直三棱柱ABCABC中,ABAC,AB1,AC2,AA2,D,E分別為感謝閱讀1 1 1 1~BC,AC的中點(diǎn).1 1(1)證明:CD//平面ABE;1(2)求CC與平面ABE所成角的正弦值.1【答案】（1）見解析；（2） 55【解析】【分析】(1)法一：要證CD∥平面ABE，只需證明DC∥HE即可，通過構(gòu)造平行四邊形可證之；感謝閱讀1 1法二：可先證平面CKD∥平面ABE，利用面面平行的性質(zhì)即可得到CD∥平面ABE;謝謝閱讀1 1（2）法一：由于CC∥AA,AAE即為CC與平面ABE所成的角，利用數(shù)據(jù)求之；1111法二：（等積法）利用等積法計(jì)算出A到平面ABE的距離，從而要求的答案為：sind1AA1即可.【詳解】（1）法一：取AB中點(diǎn)H，連接EH,HD，在直三棱柱ABCABC中，EC∥1AC.11112∵D為BC中點(diǎn)，H為AB中點(diǎn)，∴HD∥1AC,HD∥EC，21∴四邊形DHEC為平行四邊形，∴DC∥HE.∵EH平面ABE，CD平面ABE，111∴CD∥平面ABE.1~法二：取AC中點(diǎn)K，連結(jié)CK,KD，在直三棱柱ABCABC中，AC∥AC.111111∵E為AC中點(diǎn)，K為AC中點(diǎn)，∴EC∥AK，111∴四邊形AKCE為平行四邊形，∴AE∥CK.11又CK平面ABE，AE平面ABE，∴CK∥平面ABE.11∵K,D分別為AC,BC中點(diǎn)，∴DK∥1AB.2又DK平面ABE，AB平面ABE，∴DK∥平面ABE.CKDKK,平面CKD∥平面ABE.CD平面CKD,CD∥平面ABE.11111（2）法一：直三棱柱ABCABC中，AA平面ABC，∴AAAB.謝謝閱讀1 1 1 1 1又∵ABAC，且AC∩AAA，∴AB平面ACCA.111過A作AFAE于F.∵AF平面ACCA，∴ABAF.111111AB∩AEA,AF平面ABE.謝謝閱讀1又CC∥AA,AAE即為CC1與平面ABE所成的角.111AA2,AE1,AE5,sinAAE15.11155~法二：（等積法）CC∥AA,AA、CC與平面ABE所成的角相等.1111連結(jié)AB，直三棱柱ABCABC中，AA平面ABC，∴AAAB.111111又ABAC,ACAAA,AB平面ACCA.111V1SAB111211，AEAA2AE222125.BA1AE3△A1AE32311設(shè)A到平面ABE的距離為d，V1Sd1115d5d.1A1ABE3△ABE326∵VV,15d，即d2.A1ABEBA1AE365設(shè)CC與平面ABE所成的角為，sind5.1AA15【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行，線面角所成正弦值的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的空間想象謝謝閱讀能力，分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力.21.已知圓M:(x4)2(y5)24,圓N與圓M關(guān)于直線l:xy20對稱.感謝閱讀(1)求圓N的方程;~(2)過直線l上的點(diǎn)P分別作斜率為4,4的兩條直線l,l,使得被圓M截得的弦長與l被圓122N截得的弦長相等.(i)求P的坐標(biāo);(ⅱ)過P任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交,判斷所得弦長是否恒相等,并說明理由.感謝閱讀【答案】（1）N:(x3)2(y2)24；（2）（i）P3,5,（ii）見解析感謝閱讀【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為M4,5關(guān)于直線l:xy20的對稱點(diǎn)即可得到N，半徑不感謝閱讀變，從而得到方程；(i)設(shè)P(m,2m)，由于弦長和距離都相等，故P到兩直線的距離也相等，利用點(diǎn)到線距離公式即可得到答案；感謝閱讀(ⅱ)分別討論斜率不存在和為0三種情況分別計(jì)算對應(yīng)弦長，故可判斷.謝謝閱讀【詳解】（1）設(shè)Na,b，因?yàn)閳AM與圓N關(guān)于直線l:xy20對稱，M4,5，感謝閱讀b51,則直線MN與直線l垂直，MN中點(diǎn)在直線l上，得a4a4b520,22a3,解得 所以圓N:(x3)2(y2)24.謝謝閱讀b2.（2）（i）設(shè)P(m,2m),l的方程為y(2m)1(xm)，即x4y(3m8)0；14的方程為y(2m)4(xm)，即4xy(25m)0.精品文檔放心下載2因?yàn)閘被圓M截得的弦長與l被圓N截得的弦長相等，且兩圓半徑相等，精品文檔放心下載1 2所以M到l的距離與N到l的距離相等，即|163m||85m|，12142142所以m4或m3.~由題意，M到直線l的距離d|163m|216217m16217，11733所以m4不滿足題意，舍去，故m3，點(diǎn)P坐標(biāo)為3,5.（ii）過點(diǎn)P任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.謝謝閱讀證明如下：當(dāng)l的斜率等于0時，l的斜率不存在，l被圓M截得的弦長與l被圓N截得的弦長都精品文檔放心下載1212等于圓的半徑；當(dāng)l的斜率不存在，l的斜率等于0時，l與圓M不相交，l與圓N不相交.1212當(dāng)l、l的斜率存在且都不等于0，兩條直線分別與兩圓相交時，設(shè)l、l的方程分別為感謝閱讀1 2 1 2y51(x3),y5k(x3)，即xky(35k)0,kxy(3k5)0.k因?yàn)镸到l的距離d|45k(35k)|7，111k21k2N到l的距離d2|3k2(3k5)|7，所以M到l的距離與N到l的距離相21k21k212等.所以圓M與圓N的半徑相等，所以l被圓M截得的弦長與l被圓N截得的弦長恒相等.精品文檔放心下載1 2綜上所述，過點(diǎn)P任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.感謝閱讀【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的對稱問題，直線與圓的位置關(guān)系，計(jì)算量較大，意在考查學(xué)生的謝謝閱讀轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.22.數(shù)學(xué)的發(fā)展推