2022年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案?答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求。

1.已知集合4={-2,-1,2,3},B={AGR|?-X-6<0}>則AAB=()

A.{-2,-1}B.{-1,2}C.{-2,-1,2}D.{-2,-L3}

2.已知i是虛數(shù)單位，z（1-i）=2i,則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.如圖，三條曲線分別是甲、乙、丙三個模具廠家生產(chǎn)某種零件尺寸誤差分布的正態(tài)分布

密度曲線，則下列說法不正確的是（）

A.三個模具廠家生產(chǎn)這種零件尺寸誤差的均值相等

B.P（x乙》1）<P（x丙》1）

C.三個模具廠家生產(chǎn)這種零件尺寸誤差的方差從小到大依次為丙、乙、甲

D.生產(chǎn)這種零件時，甲廠的生產(chǎn)質(zhì)量最好

4.雙曲線C：--^=1（a>0,Q0）的漸近線方程為x±2四=0,且焦點恰為物線

丁=1級的焦點，則雙曲線方程為（）

X2,2

A.———y2=1B.x2—v=1

8/8

第1頁共25頁

x2y2x2y2

C.---=1D.---

9889

5.函數(shù)/(x)=(1—京?)cosx的圖象大致形狀是()

6-如圖△ABC中,A8=4,ZABC=l，ZBAC=^,DE//CA,且DE：6=2：3,則亦

DE=()

10D10

C.——D.-

3T

7.已知a,b,cE(0,1),S.a-lna+l=e,b-lnb+2=e2,c-lnc+3=e3,其中e是自然對

數(shù)的底數(shù)，則()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

8.已知集合何={遷N|l<xW9},集合Al,A2,A3滿足：①每個集合都恰有3個元素；②

A1UA2UA3=M.集合4中元素的最大值與最小值之和稱為集合4的特征數(shù)，記為X,

(i=l,2,3),則X1+X2+X3的最大值與最小值的和為()

A.60B.63C.56D.57

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分、在每小題給出的選項中，有多項

符合要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)實數(shù)“，人滿足。>江則下列不等式不一定成立的是()

2aab.—

A.cr>b3B.ln\a\>ln\b\C.—+—>2D.a4-b+2y[ab<r0

ba

10.已知函數(shù)/(x)=|sin2x-cos2x|,則()

第2頁共25頁

A./(x)的最大值為迎

71

B./(x)的最小正周期為鼻

3TC

C./(x)在區(qū)間［一?二?］上單調(diào)遞增

口8

77

D.把函數(shù)y=&sin2x的圖象向右平移g個單位長度可得到函數(shù)y=/(x)的圖象

11.已知四棱錐P-ABCD的各頂點都在球。上，底面A8CO為長方形，側(cè)棱底面ABCD,

且PO=C￡)=*AO=2,過棱PC的中點E,作EFJLPB交PB于點F,連接￡>E,DF.則

下列結(jié)論正確的是()

B.球。的表面積是10F

C.AP與平面。EF所成角的正弦值是|

D.平面。E/截球。的截面圓面積是3F

12.設(shè)圓。：/+夕=1,直線/：2x+3y-6=0,過直線/上動點尸作圓。的兩條切線，切點

分別為A,B,貝U()

A.P,O,A,8四點共圓

B.弦長依8|存在最小值為學(xué)

C.直線/上存在點尸，使得乙4PB=90°

D.直線A8總經(jīng)過某一定點

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

sin0+2cos0

13.若tan(7T+0)=3,則

2sin9-cos6

14.己知命題p：VxCR,，+x-a>0為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是

15.若(x2-3x+2)5=ao+aix+a2x2+-+aiar10,則。3等于

第3頁共25頁

16.如圖，正△ABC的邊長為2cm取ZVIBC各邊的中點。，E,F作2個△〃￡：/,然后再

取△￡）￡：/各邊的中點G,H,1,作第3個△GH/,依此方法作第4個三角形，第5個三

角形，……，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些三角形的面積之和將

趨近于cm2.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）在銳角△4BC中，角4,B,C的對邊分別為小b,c,滿足（2sin8-百cosC）

a=y/3ccosA.

（1）求角A的值；

（2）當(dāng)a=4,%+c=8時，求△ABC的面積.

第4頁共25頁

18.(12分)已知數(shù)列｛板｝是以2為公差的等差數(shù)列，ai,。2,。5成等比數(shù)列.數(shù)列｛阮｝前〃

項和為5",且S"=〃2+2〃.

(1)求數(shù)列｛如｝和｛加｝的通項公式;

(2)記〈》表示x的個位數(shù)字，如〈2022〉=2,<2023)=3,求數(shù)列｛忌"打｝的刖

20項的和720.

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19.(12分)為了調(diào)查高一年級學(xué)生的選科意愿，某學(xué)校隨機抽取該校100名高一學(xué)生進(jìn)行

調(diào)查，擬選報物理和歷史的人數(shù)統(tǒng)計如表：

物理(人)歷史(人)合計

男5055

女

合計025

(1)補全2X2列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān)？

(2)若用樣本頻率作為概率的估計值；

(“)在該校高一學(xué)生中任選3人，記S為三人中選物理的人數(shù)，求W的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(力該校高一共有930個學(xué)生，若每個學(xué)生選科都是獨立的，選物理最大可能的人數(shù)是

多少？

2

附.x2=_____儂一加)______

叫?(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

P0.1000.0500.0100.001

k2.7063.84106.63510.828

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20.(12分)如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=1,AD=V2,ZBAD=四邊形ACEF

為矩形，平面ACEF_L平面A8C￡>,AF=1.

(1)求證：平面A2F_L平面ACER

(2)點M在線段EF上運動，且京=46，若平面MBC與平面ECZ)所成的銳二面角

的余弦值為|,求人的值.

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%2y2

21.(12分)已知橢圓C：—+—=1(a>/?>0)的左、右焦點分別為四、尸2,離心率為

—,直線/過右焦點尸2且與橢圓C交于不同兩點M、N,當(dāng)/與x軸不重合時，4MF1N

2

的周長為8.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)MN,NFi,MFi的中點依次為￡>,H,G,當(dāng)直線/的斜率％為何值時，XDHG

的內(nèi)切圓半徑r最大？

第8頁共25頁

22.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=G+l)m-a(x-1)的定義域為(-1,+8),其中加20,aER.

(1)若機=3,判斷f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)"2=0,設(shè)函數(shù)g(x)=lnx+[f(x)-1]在區(qū)間(1,+8)上恰有一個零點,

求正數(shù)。的取值范圍；

(3)當(dāng)〃=0,m>1時，證明：對于7於寸，有IV：羽墨[(導(dǎo))m+￡]Vm.

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2022年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求。

1.已知集合4={-2,-1,2,3},B={JVGR|?-X-6<0},則AA8=()

A.{-2,-1}B.{-1,2}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1,3}

解：由B={xeR*-x-6V0}={x|-2Vx<3},

A={-2,-1,2,3},

所以ACB={-1,2},

故選：B.

2.已知i是虛數(shù)單位，z(1-/)=2i,則復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：Vz(1-i)=2i,

?-?口-(i-j)(i+j)-T+I，

復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(-1,l),位于第二象限.

故選：B.

3.如圖，三條曲線分別是甲、乙、丙三個模具廠家生產(chǎn)某種零件尺寸誤差分布的正態(tài)分布

B.P(xz.^1)<P

C.三個模具廠家生產(chǎn)這種零件尺寸誤差的方差從小到大依次為丙、乙、甲

D.生產(chǎn)這種零件時，甲廠的生產(chǎn)質(zhì)量最好

解：對于A,由正態(tài)分布的圖象可知，三個模具廠生產(chǎn)某種零件尺寸誤差分布的正態(tài)分

第10頁共25頁

布密度曲線都關(guān)于y軸對稱，

則三個模具廠家生產(chǎn)這種零件尺寸誤差的均值相等，故A正確，

對于3,乙廠對應(yīng)的正態(tài)密度曲線在區(qū)間［1,+8）之間與x軸圍成的面積與丙廠對應(yīng)的

正態(tài)密度曲線在區(qū)間［1,+8）之間與x軸圍成的面積為乙小于丙，故P（x乙21）<P

（x丙21）,故8正確，

對于C,由正態(tài)分布曲線的形狀可知，三個模具廠家生產(chǎn)這種零件尺寸誤差的方差從小

到大依次為甲，乙丙，故C錯誤，

對于D,三個模具廠家生產(chǎn)這種零件尺寸誤差的均值相等，但甲廠的方差最小，故甲廠

的生產(chǎn)質(zhì)量最好，故。正確.

故選：C.

X2V2—

4.雙曲線C：—-77=1（?>0,匕>0）的漸近線方程為x±2V2y=0,且焦點恰為物線

a2b2-

V=12x的焦點，則雙曲線方程為（）

A.——y2=1B.%2-=1

8,8

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

9889

%2y2萬

解：雙曲線C：—--=1（?>0,/?>0）的一條漸近線為x±2&y=0,即y=±H%,

a2b24

可得b=事,

拋物線）2=12x的焦點（3,0）,可得c=3,即9=〃2+■，解得/=8,房=1.

x2

則該雙曲線的方程為：--y2=1.

8

故選：A.

5.函數(shù)/（X）=（1-怎7）cosx的圖象大致形狀是（）

第11頁共25頁

則/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A,B,

當(dāng)0<xVg時，f(x)>0,排除C,

故選：D.

6.如圖△4BC中，AB=4,ZABC=ZBAC=DE//CA,且。E：C4=2：3,則

63

DE=()

解：因為A8=4,NABC=J,ZBAC=

所以NACB=*,AC=^AB=2,

又因為Z）E〃CA,且?！辏篊A=2：3,

所以O(shè)E==~^AC,

又因為G=AC+CD,

所以G?茄=（品+而）?（一，而=~^\AC\2-^AC-CD=-1|>1C|2=-1.

故選：A.

7.已知a,b,cE（0,1）,且a-/〃a+l=e,b-lnb+2=e2,c-加c+3=/,其中e是自然對

數(shù)的底數(shù)，則（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.a>b>c

解：由。-加a+l=e,bTnb+2=2,c-/〃c+3=1

得a-lna=e-1,b-lnb=e2-2,c-l〃c=/-3,

第12頁共25頁

由〉=-—犬得y'—ex-1,當(dāng)x>0時y'-1>0,

當(dāng)x>0時函數(shù)y=e，-x單調(diào)遞增，

'.e-I<e2-2<e3-3,.".a-lna<b-lnb<c-Inc,

對函數(shù)y=x-/nr求導(dǎo)得y'=l-p當(dāng)(0,1)時y'<0,

...當(dāng)xe(0,1)時函數(shù)y=x-/nr單調(diào)遞減，

又-lna<b-lnb<c-Inc,.,.a>b>c.

故選：D.

8.己知集合知=口€川1<》?9},集合4,42,A3滿足：①每個集合都恰有3個元素；②

AIUA2UA3=M.集合4中元素的最大值與最小值之和稱為集合4的特征數(shù)，記為X,

(z=l,2,3),則X1+X2+X3的最大值與最小值的和為()

A.60B.63C.56D.57

解：：集合〃=口€村1忘;<<9}中最小值為1,最大值為9,

,不妨記16A1,9GA1,則Xi=10,

若使X1+X2+X3取得最大值，

則使川={1,2,9),

剩余的數(shù)中最小值為3,最大值為8,

同理可令上={3,4,8},X2=11,

則A3={5,6,7},X3=12,

則此時XI+X2+X3=33,

同理可知，當(dāng)A1={1,8,9),42={2,6,7),A3={3,4,5}時,

X1+X2+X3有最小值27,

故X1+X2+X3的最大值與最小值的和為60,

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分、在每小題給出的選項中，有多項

符合要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)實數(shù)a,6滿足則下列不等式不一定成立的是()

A.B.ln\a\>ln\b\C.-+->2D.a+b+2y/ab<0

ba

解：對于4,???/G)=?在R上單調(diào)遞增，

(a)>f(b),即故A正確，

第13頁共25頁

對于8令a=b=-滿足〃>/?,但歷|〃|V/川臼，故3錯誤，

ab

對于C,令。=1,b=-1,滿足。>b,但:+一<2,故C錯誤，

ba

對于。，令a=2,b=l,滿足〃但。+6+2面〉0,故。錯誤.

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/(%)=|sin2x-cos2x|,則()

A./(x)的最大值為企

71

B./(x)的最小正周期為鼻

C./(%)在區(qū)間［-宗條上單調(diào)遞增

TT

D.把函數(shù)y=V^s譏2x的圖象向右平移g個單位長度可得到函數(shù)y=/(x)的圖象

8

解：：函數(shù)/(x)=|sin2x-cos2x|=|V2sin(2x—1)|,

故/(無)的最大值為a,故A正確；

12nn

f(x)的最小正周期為-X—=—,故8正確；

222

在區(qū)間［弋，苧上，2x—覆一夕函數(shù)/(x)沒有單調(diào)性，故C錯誤；

函數(shù)y=近5m2%的圖象向右平移標(biāo)個單位長度，可得到函數(shù)y=V^sin(2%-五)的圖象,

故。錯誤，

故選：AB.

11.已知四棱錐P-4BC。的各頂點都在球。上，底面4BC。為長方形，側(cè)棱POJ_底面ABCD,

且尸。=8=%￡>=2,過棱PC的中點E,作E凡LPB交PB于點凡連接OE,DF.則

下列結(jié)論正確的是()

A.DEF

第14頁共25頁

B.球。的表面積是IOTT

2

C.AP與平面。EF所成角的正弦值是三

D.平面QEF截球。的截面圓面積是3n

解:四棱錐P-48C。的各頂點都在球。上，底面ABCC為長方形，側(cè)棱PZU底面ABC。,

PD=CD=^AD=2,過棱PC的中點E,作EF2PB交PB于點、F,連接力E,DF,

以D為坐標(biāo)原點，OA為x軸，DC為)，軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

貝IJP(0,0,2),B(2V2,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),E(0,1,1),

設(shè)F(a,b,c),PF=APB,即(a,b,c-2)=A(2近，2,-2),

解得a=2g,6=2入，c=2-2入，：.F(2722,2入，2-2入)，EF=(2V2A,2A-1,1

-2人)，PB=(2V2,2,-2),

——1yfl.13

,JEFLPB,：.EF-PB=8A+4A-2-2+4A=0,解得入=J,：.F(—,一，-),

4222

——yj213

DE-(0,1,1),DF—(—,—),

222

PBDE=0,PB-DF=0,與OE垂直，且PB與OF垂直，

...PB垂直于平面QEF,故A正確；

四棱錐尸-ABCD的各頂點都在球O上，由題意球半徑R=^PB=

ij(2V2)2+22+22=2,

球。的表面積是S=4n/?2=i6m故8錯誤;

設(shè)平面QEF的法向量/=(x,y,z),

n-DE=y+z=0

,取y=l,得n=(V2,1,-1),

n.D>=fxly|z=0

{++

A(2^2,0,0),AP=(-2V2,0,2),

：.AP與平面DEF所成角的正弦值是|cos<AP,n>\=坐工==卓，故C錯誤;

\AP\-\n\2J12乙

―V211—

EF=(—>—5，一)，DE=(0.1,1),

222

設(shè)平面。EF的法向量益=(a,h,c),

第15頁共25頁

TT痘11

：?=彳a-#+嚴(yán)=0,取Q],得益=（&，],一1）,

則

m-DE=b+c=0

球心是線段尸B的中點。(企,1,1),球心O到平面。EF的距離仁嗎皿=算=1

|m|2

二平面QEF截球O的截面圓半徑r=V22-I2=遮,

二平面力EF截球O的截面圓面積是S=nx(V3)2=3TT,故D正確.

12.設(shè)圓O：7+y2=l,直線/：2x+3y-6=0,過直線/上動點P作圓O的兩條切線，切點

分別為A,B,則()

A.P,O,A,8四點共圓

B.弦長存在最小值為

C.直線/上存在點P,使得NAP8=90°

D.直線AB總經(jīng)過某一定點

解：因為。A_LB4,OB1.PB,即/OAP=/O8P=90°,

所以NOAP+/O8P=180°,所以O(shè),A,P,B四點共圓，故A正確；

設(shè)PCm,〃)，則以線段OP為直徑的圓的方程為x(x-/n)+y(y-n)=0,

BPxi+y2-inx-ny—0,與圓O：，+/=1聯(lián)立，可得直線A8的方程為nu+〃y=1,

1

又點尸在直線2x+3y-6=0上，.?.2〃i+3〃-6=0,即〃=與(6-2相)，代入直線AB,可

得m(3x-2y)+6y-3=0,

則直線48恒過定點C(H),|OC|=+1=JU=孚，則HE的最小值為2小一||=

當(dāng)3r故B,。正確；

第16頁共25頁

當(dāng)戶到圓心的距離最小時，NAP3最大，P到圓心的距離最小即為圓心到直線的距離d=

6/13

所以sinNAPO=^<等=孝，故乙4尸0<45°,從而/APB=2NAPO<90°,故C

錯誤.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

sin0+2cosO

13.若tan(1T+0)=3,則1

2sin0-cos6

解：tan(ir+0)=3,/.tan0=3,

sinO+2cos0tanO+23+2

...---------------=-------------=---------=i

*2sin6-cos02tanG-l2x3-1

故答案為：1.

14.已知命題p：VxCR,/+X5>O為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是T+8).

解：因為命題p：VxGR,Phv_〃>o為假命題，

所以它的否定命題3xGR,為真命題，

所以A=12-4X(-a)20,解得ci>—

所以實數(shù)a的取值范圍是［一』，+8).

故答案為：［―/,+°°).

15.若(x2-3x+2)5=如+”|》+°2X2+…+4］°匹10,則4等于-1560.

解：(/-3尤+2)5=(尤-1)5(X-2)5,

所以含小的項是廢丁.(-1)2.若(-2)5+麾/?(-1)3.C江(-2)4

+c￡“(-1)4?碌C2(-2)3+C^?(-1)5?量/(-2)2=-1560?,

所以03—-1560.

故答案為：-1560.

16.如圖，正△ABC的邊長為2a”，取△ABC各邊的中點。，E,尸作2個△￡>￡：/,然后再

取△￡)￡：/各邊的中點G,H,I,作第3個△GH/,依此方法作第4個三角形，第5個三

角形，……，如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些三角形的面積之和將

趨近于-ctn.

—3—

第17頁共25頁

A

解：設(shè)正△ABC的面積為Si,正△DE尸的面積為S2,正△G"/的面積為S3,

VD,E,產(chǎn)為△ABC各邊的中點，J.EF//BC,ED//AB,DF//AC,:?△DEFs/\ABC,

...A"*"=(_)2_1同理可證,八"/°=一,??…Sn=\Sn-1,又Sl=/X2X2X孚=遮,

S^ABC24S^DEF4422

S1+S2+S3++S"=V3(1+J+—y+d7^—T)=V5X---T-=4g3(1—占),

44Z4n-1I-,34

4\/3

???所有這些三角形的面積之和將趨近于拳.

故答案為：拳473

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在銳角△ABC中，角4,B,C的對邊分別為mb,c,滿足(2sinB—gcosC)

a=\/3ccosA.

(1)求角A的值;

(2)當(dāng)a=4,b+c=8時，求△ABC的面積.

解：(1)由正弦定理及(2sin8-V5cosC)a=V5ccosA知，(2sinB—gcosC)sinA=V3sinCcosA,

所以2sin3sinA=遮(sinCcosA+cosCsinA)=V3sin(A+C)=V3sinB,

F5

因為sinBWO,所以sinA=~g~,

因為銳角△ABC,所以A=^.

(2)由余弦定理知，c^—tr+c1-2bccosA—t^+c2-be—(b+c)2-3bc,

所以16=64-3反，即歷=16,

所以△ABC的面積S=排;sinA=X16x苧=4百.

18.(12分)已知數(shù)列｛〃“｝是以2為公差的等差數(shù)列，ai,。2,。5成等比數(shù)列.數(shù)列｛為｝前〃

項和為S”，且Sn=n~+2n.

(1)求數(shù)列｛z｝和｛的｝的通項公式：

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(2)記〈?表示x的個位數(shù)字，如〈2022〉=2,〈2023〉=3,求數(shù)列(7〃4J的前

20項的和720.

解：⑴由m,C12,as成等比數(shù)列可得說=@1。5，

即(的+2)2=%?(即+8),解得山=1,

所以an=2九一1(?16N*),

2

又Sn=n+2nf

則有"=Si=l+2=3,

22

當(dāng)n22時，bn=Sn—Sn_\=n+2n—(n—l)—2(n—1)=2n+1,

所以加=2〃+l.

(2)因為〈an),〈加〉分別表示板，加的個位數(shù)，因此{(lán)〈an)},{<加〉}均為周期

數(shù)列，且周期為5,

將數(shù)列{小%、}中每5個一組，前20項和可分為4組，

{an)-{bn)

其前20項的和0)=4[出+募+*+之+/]=嗚(1一/+?/+/-:+

1-1)+1]=4[|(1-1)+^]=

19.(12分)為了調(diào)查高一年級學(xué)生的選科意愿，某學(xué)校隨機抽取該校100名高一學(xué)生進(jìn)行

調(diào)查，擬選報物理和歷史的人數(shù)統(tǒng)計如表：

物理(人)歷史(人)合計

男5055

女

合計025

(1)補全2X2列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān)？

(2)若用樣本頻率作為概率的估計值；

(。)在該校高一學(xué)生中任選3人，記S為三人中選物理的人數(shù)，求彳的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(b)該校高一共有930個學(xué)生，若每個學(xué)生選科都是獨立的，選物理最大可能的人數(shù)是

多少？

2

/4.x2_n(ad-bc)

叩K：一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d>

第19頁共25頁

尸(x22％)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.84106.63510.828

解：⑴2X2列聯(lián)表

物理（人）歷史（人）合計

男50555

女252045

合計7525100

2100x(50x20-25x5)2__n.,

/=75x25x55x45、］6.50〉6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為選科與性別有關(guān).

2

(2)(a)由題可知，f?8(3,分,

P(f=0)=(%=卷

2&=1)=6(軟》2=卷,

p(f=2)=c對)2(3=告

%=3）=（射=告

所以己的分布列如下：

0123

p192727

64646464

S的數(shù)學(xué)期望是E（f）=3x,=*

（6）該學(xué)校高一學(xué)生選物理學(xué)科人數(shù)J?B（930,I）,

P(f=k)=030(|)〈393。-匕

(P(f=fc)

>1

)PG=k)

(P"+1)>1

解得A=698,

所以選物理最大可能的人數(shù)是698.

20.（12分）如圖，在平行四邊形488中，4B=1,AD=y/2,NBAD=苧，四邊形ACEF

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為矩形，平面ACEF_L平面ABC￡>,AF=\.

(1)求證：平面ABF_L平面ACER

(2)點M在線段EF上運動，且京=4后1,若平面MBC與平面ECQ所成的銳二面角

的余弦值為|,求人的值.

在△ABC中，AB=\,BC=AD=72,：.AC=\,

：.AB2+AC2^BC2,：.ABLAC,

;平面ACEF_L平面ABCD,平面ACEFQ平面ABCD^AC,ABu平面ABCD,

平面4C￡F,又ABu平面AB尸，

平面48尸J_平面ACEF；

(2)解：,四邊形ACEF為矩形，，硒LAC,

ACEF±￥?ABCD,ACEFQABCD^AC,現(xiàn)u平面ACEF,

平面ABCD,

以點A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

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z

則B(1,0,0),C(0,1,0),E(0,1,1),F(0,0,1),

：.BC=(-1,1,0),CM=CE+EM=CE+入EF=(0,0,1)+A(0,-1,0)=(0,

-X,1),

設(shè)平面M6c的一個法向量為九二（戈，y,z）,

L-

EIn?BC=—%+y=0人./口,、

則,t-'，令x=l,得y=l,z=入,

(n-CM=-Ay+z=0

所以平面M5C的一個法向量為￡=(1,1,入)，

由題意知，平面瓦力的一個法向量為肅=（0,1,0）,

VO<0<5,所以cosB=|cosVn,m>\=,解得入4

L/-2J4

1

,??OGWL，入=會

22

xy、一一

21.（12分）已知橢圓C：—+—=1（?>/?>0）的左、右焦點分別為乃、F1,離心率為

a2b2

直線/過右焦點歹2且與橢圓。交于不同兩點M、N,當(dāng)/與x軸不重合時，4MF\N

的周長為8.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)MN,NF\,的中點依次為O,H,G,當(dāng)直線/的斜率攵為何值時，△OHG

的內(nèi)切圓半徑〃最大？

解：（1）因為△MFiN的周長為8,依據(jù)橢圓的定義可知，

MN+MF\+NF1=4。=8,

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解得4=2,

因為橢圓的離心率為4，

所以c=V3,

由廿+《2=〃2,可得力=1,

第2

所以橢圓C的方程為丁+y2=l.

4

(2)設(shè)M(xi,yi),N(X2,"),

因為△〃「小的周長為8,

所以△OHG的周長為4,

11

S&DHG=2*4T=2r,即r=2s△D”G,

又S〉DHG=4sAMFTN，故L及AMF1/V?

所以△Q”G的內(nèi)切圓半徑〃最大，即SAMFiN最大，

設(shè)直線I的方程為x=my^,

x=my4-V3

2,得(川+4)y2+2\/3my-1=0,

I彳r+好=1

△=(2V3/n)2-4(川+4)X(-1)>0,

所以yi+”=-,yiy2=—,

m2z；?+4?*m'+4

貝I」SARMN=方尸1尸2|?M-"|=6?J(yi+，2)2-4%及=W.J(*；：)2+=

4V3Jm2+l

m24-4'

令t=Vm24-1(f21),則m*1=l2-1,

c_4右t_4/3.4V3_

S西廣第三南=2o,

當(dāng)且僅當(dāng)u