2022年福建省泉州市中考數(shù)學(xué)試卷

2022年福建省泉州市中考數(shù)學(xué)試卷總分：150一、選擇題：每小題3分，共21分．每小題又四個(gè)答案，其中有且只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，答對(duì)的得3分，答錯(cuò)或不答一律得0分．1．-3的絕對(duì)值是（）A．3B．-3C．D．【考點(diǎn)】絕對(duì)值．【分析】計(jì)算絕對(duì)值要根據(jù)絕對(duì)值的定義求解.第一步列出絕對(duì)值的表達(dá)式;第二步根據(jù)絕對(duì)值定義去掉這個(gè)絕對(duì)值的符號(hào)．【解答】解：|-3|=3．故-3的絕對(duì)值是3．故選A．【點(diǎn)評(píng)】考查了積的絕對(duì)值的定義，絕對(duì)值規(guī)律總結(jié)：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0．2．（x2y）3的結(jié)果是（）A．x5y3B．x6yC．3x2yD．x6y3【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方．【分析】直接利用積的乘方運(yùn)算法則與冪的乘方運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案．【解答】解：（x2y）3=x6y3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了積的乘方運(yùn)算與冪的乘方運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．不等式組x?1＞0的解集是（）x≤2A．x≤2B．x＞1C．1＜x≤2D．無(wú)解【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找可得不等式組的解集．【解答】解：解不等式x-1＞0，得：x＞1，∴不等式組的解集為：1＜x≤2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖，AB和⊙O相切于點(diǎn)B，∠AOB=60°，則∠A的大小為（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【分析】由切線的性質(zhì)得出∠ABO=90°，由直角三角形的性質(zhì)得出∠A=90°-∠AOB，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵AB和⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO=90°，∴∠A=90°-∠AOB=90°-60°=30°；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握切線的性質(zhì)，證出∠ABO=90°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．一組數(shù)據(jù)：2，5，4，3，2的中位數(shù)是（）A．4B．3.2C．3D．2【考點(diǎn)】中位數(shù)．【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個(gè)．【解答】解：將數(shù)據(jù)由小到大排列2，2，3，4，5，中位數(shù)是3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)，一些學(xué)生往往對(duì)這個(gè)概念掌握不清楚，計(jì)算方法不明確而誤選其它選項(xiàng)，注意找中位數(shù)的時(shí)候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來(lái)確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個(gè)則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．6．如圖，圓錐底面半徑為rcm，母線長(zhǎng)為10cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為216°的扇形，則r的值為（）A．3B．6C．3πD．6π【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算．【分析】直接根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵圓錐底面半徑為rcm，母線長(zhǎng)為10cm，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為216°的扇形，∴2πr=×2π×10，解得r=6．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解答此題的關(guān)鍵．7．如圖，已知點(diǎn)A（-8，0），B（2，0），點(diǎn)C在直線上，則使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)∠A為直角，∠B為直角與∠C為直角三種情況進(jìn)行分析．【解答】解：如圖，①當(dāng)∠A為直角時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作垂線與直線的交點(diǎn)W（-8，10），②當(dāng)∠B為直角時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作垂線與直線的交點(diǎn)S（2，2.5），③若∠C為直角則點(diǎn)C在以線段AB為直徑、AB中點(diǎn)E（-3，0）為圓心的圓與直線的交點(diǎn)上．過(guò)點(diǎn)E作垂線與直線的交點(diǎn)為F（-3，），則EF=∵直線與x軸的交點(diǎn)M為（，0），∴EM=，EF=∵E到直線的距離∴以線段AB為直徑、E（-3，0）為圓心的圓與直線恰好有一個(gè)交點(diǎn)．所以直線上有一點(diǎn)C滿足∠C=90°．綜上所述，使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一次函數(shù)綜合題，在解答此題時(shí)要分三種情況進(jìn)行討論，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理判斷∠C為直角的情況是否存在．二、填空題：每小題4分，共40分，在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．8．27的立方根為_(kāi)____．【考點(diǎn)】立方根．【專題】計(jì)算題．【分析】找到立方等于27的數(shù)即可．【解答】解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，用到的知識(shí)點(diǎn)為：開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算．9．中國(guó)的陸地面積約為9600000km2，把9600000用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)____．【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：將9600000用科學(xué)記數(shù)法表示為9.6×106．故答案為9.6×106．【點(diǎn)評(píng)】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．10．因式分解：1-x2=_____．【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法．【分析】根據(jù)平方差公式可以將題目中的式子進(jìn)行因式分解．【解答】解：∵1-x2=（1-x）（1+x），故答案為：（1-x）（1+x）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解-運(yùn)用公式法，解題的關(guān)鍵是明確平方差公式，會(huì)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解．11．如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BC=8，則DE=_____．【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得到DE=BC，即可得到答案．【解答】解：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BC=8，∴DE=BC=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形的中位線定理的理解和掌握，能正確運(yùn)用三角形的中位線定理進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．12．十邊形的外角和是_____°．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】常規(guī)題型．【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°解答．【解答】解：十邊形的外角和是360°．故答案為：360．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和等于360°，多邊形的外角和與邊數(shù)無(wú)關(guān)，任何多邊形的外角和都是360°．13．計(jì)算：=_____．【考點(diǎn)】分式的加減法．【專題】計(jì)算題；分式．【分析】原式利用同分母分式的加法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，E是斜邊AB的中點(diǎn)，若AB=10，則CE=_____．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得答案．【解答】解：由直角三角形的性質(zhì)，得CE=AB=5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，利用直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E，若CE：BE=2：3，則AE：DE=_____．【考點(diǎn)】相交弦定理．【分析】根據(jù)相交弦定理得到AE?BE=CE?DE，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的弦AB、CD相交于點(diǎn)E，∴AE?BE=CE?DE，∴AE：DE=CE：BE=2：3，故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相交弦定理，熟練掌握相交弦定理是解題的關(guān)鍵．16．找出下列各圖形中數(shù)的規(guī)律，依此，a的值為_(kāi)____．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【分析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出規(guī)律，即可得出a的值．【解答】解：根據(jù)題意得出規(guī)律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案為：226．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化美；根據(jù)題意得出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是AD中點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，BC=5，EF=3．（1）若AB=DC，則四邊形ABCD的面積S=_____；（2）若AB＞DC，則此時(shí)四邊形ABCD的面積S′_____S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)．【專題】推理填空題．【分析】（1）若AB=DC，則四邊形ABCD是平行四邊形，據(jù)此求出它的面積是多少即可．（2）連接EC，延長(zhǎng)CD、BE交于點(diǎn)P，證△ABE≌△DPE可得S△ABE=S△DPE、BE=PE，由三角形中線性質(zhì)可知S△BCE=S△PCE，最后結(jié)合S四邊形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE可得答案．【解答】解：（1）∵AB=DC，AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD的面積S=5×3=15，故答案為：15．（2）如圖，連接EC，延長(zhǎng)CD、BE交于點(diǎn)P，∵E是AD中點(diǎn)，∴AE=DE，又∵AB∥CD，∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，在△ABE和△DPE中，∵∠ABE＝∠P∠A＝∠PDE，AE＝DE∴△ABE≌△DPE（AAS），∴S△ABE=S△DPE，BE=PE，∴S△BCE=S△PCE，則S四邊形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE=S△PDE+S△CDE+S△BCE=S△PCE+S△BCE=2S△BCE=2××BC×EF=15，∴當(dāng)AB＞DC，則此時(shí)四邊形ABCD的面積S′=S，故答案為：=．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用及全等三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形將梯形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積去求是解題的關(guān)鍵．三、解答題：共89分，在答題卡相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．18．計(jì)算：（π-3）0+|-2|-+（-1）-1．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．【分析】分別進(jìn)行零指數(shù)冪、絕對(duì)值的化解、二次根式的化簡(jiǎn)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等運(yùn)算，然后合并．【解答】解：原式=1+2-2-1=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及了零指數(shù)冪、絕對(duì)值的化解、二次根式的化簡(jiǎn)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．19．先化簡(jiǎn)，再求值：（x+2）2-4x（x+1），其中x=．【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．【專題】計(jì)算題；整式．【分析】原式利用完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：原式=x2+4x+4-4x2-4x=-3x2+4，當(dāng)x=時(shí)，原式=-6+4=-2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．如圖，△ABC、△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)E在AB上．求證：△CDA≌△CEB．【考點(diǎn)】全等三角形的判定；等腰直角三角形．【專題】證明題．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出CE=CD，BC=AC，再利用全等三角形的判定證明即可．【解答】證明：∵△ABC、△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CE=CD，BC=AC，∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△CDA與△CEB中BC＝AC∠ECB＝∠DCA，EC＝DC∴△CDA≌△CEB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．A、B兩組卡片共5張，A中三張分別寫(xiě)有數(shù)字2，4，6，B中兩張分別寫(xiě)有3，5，它們除數(shù)字外沒(méi)有任何區(qū)別．（1）隨機(jī)地從A中抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；（2）隨機(jī)地分別從A、B中各抽取一張，請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果．現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若所選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則甲獲勝；否則乙獲勝．請(qǐng)問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎？為什么？【考點(diǎn)】游戲公平性；列表法與樹(shù)狀圖法．【分析】（1）根據(jù)概率的定義列式即可；（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后根據(jù)概率的意義分別求出甲、乙獲勝的概率，從而得解．【解答】解：（1）P=；（2）由題意畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：一共有6種情況，甲獲勝的情況有4種，P=，乙獲勝的情況有2種，P=，所以，這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比22．近期，我市中小學(xué)廣泛開(kāi)展了“傳承中華文化，共筑精神家園”愛(ài)國(guó)主義讀書(shū)教育活動(dòng)，某中學(xué)為了解學(xué)生最喜愛(ài)的活動(dòng)形式，以“我最喜愛(ài)的一種活動(dòng)”為主題，進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，收集數(shù)據(jù)整理后，繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下面的問(wèn)題：最喜愛(ài)的一種活動(dòng)統(tǒng)計(jì)表活動(dòng)形式征文講故事演講網(wǎng)上競(jìng)答其他人數(shù)603039ab（1）在這次抽樣調(diào)查中，一共調(diào)查了多少名學(xué)生？扇形統(tǒng)計(jì)圖中“講故事”部分的圓心角是多少度？（2）如果這所中學(xué)共有學(xué)生3800名，那么請(qǐng)你估計(jì)最喜愛(ài)征文活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)．【考點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體．【專題】計(jì)算題；數(shù)據(jù)的收集與整理．【分析】（1）根據(jù)“演講”的人數(shù)除以占的百分比，得到調(diào)查的總學(xué)生人數(shù)，并求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“講故事”部分的圓心角度數(shù)即可；（2）求出最喜愛(ài)征文活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)占的百分比，乘以3800即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：39÷13%=300（名），則“講故事”所占的比例為30÷300×100%=10%，所以扇形統(tǒng)計(jì)圖中“講故事”部分的圓心角是10%×360°=36°，則在這次抽樣調(diào)查中，一共調(diào)查了300名學(xué)生，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“講故事”部分的圓心角是36°；（2）根據(jù)題意得：3800×20%=760（名），則最喜愛(ài)征文活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)為760名．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，以及用樣本估計(jì)總體，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．23．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-3）．（1）求該函數(shù)的解析式；（2）若將點(diǎn)P沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸方向平移n（n＞0）個(gè)單位得到點(diǎn)P′，使點(diǎn)P′恰好在該函數(shù)的圖象上，求n的值和點(diǎn)P沿y軸平移的方向．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化-平移．【分析】（1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的一般形式即可確定其解析式；（2）首先確定平移后的橫坐標(biāo)，然后代入確定其縱坐標(biāo)，從而確定沿y軸平移的方向和距離．【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-3），∴k=2×（-3）=-6，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）∵點(diǎn)P沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，∴點(diǎn)P′的橫坐標(biāo)為2-3=-1，∴當(dāng)x=-1時(shí)，，∴∴n=6-（-3）=9，∴沿著y軸平移的方向?yàn)檎较颍军c(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式及坐標(biāo)的平移的知識(shí)，解題的關(guān)鍵時(shí)確定反比例函數(shù)的解析式．24．某進(jìn)口專營(yíng)店銷售一種“特產(chǎn)”，其成本價(jià)是20元/千克，根據(jù)以往的銷售情況描出銷量y（千克/天）與售價(jià)x（元/千克）的關(guān)系，如圖所示．（1）試求出y與x之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；（2）利用（1）的結(jié)論：①求每千克售價(jià)為多少元時(shí)，每天可以獲得最大的銷售利潤(rùn)．②進(jìn)口產(chǎn)品檢驗(yàn)、運(yùn)輸?shù)冗^(guò)程需耗時(shí)5天，該“特產(chǎn)”最長(zhǎng)的保存期為一個(gè)月（30天），若售價(jià)不低于30元/千克，則一次進(jìn)貨最多只能多少千克？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）我們根據(jù)圖中的信息可看出，圖形經(jīng)過(guò)（37，38），（39，34），（40，32），根據(jù)待定系數(shù)法可求函數(shù)關(guān)系式；（2）①根據(jù)函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解；②根據(jù)“特產(chǎn)”的保存時(shí)間和運(yùn)輸路線的影響，“特產(chǎn)”的銷售時(shí)間最多是25天．要想使售價(jià)不低于30元/千克，就必須在最多25天內(nèi)賣完，當(dāng)售價(jià)為30元/千克時(shí)，銷售量已經(jīng)由（1）求出，因此可以根據(jù)最多進(jìn)貨的量÷30元/千克時(shí)的銷售量≤25天，由此來(lái)列不等式，求出最多的進(jìn)貨量．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則38＝37k+b，解得k＝?2．34＝39k+bb＝112故函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+112；（2）依題意有w=（x-20）（-2x+112）=-2（x-38）2+324，故每千克售價(jià)為38元時(shí)，每天可以獲得最大的銷售利潤(rùn)；（3）由題意可得，售價(jià)越低，銷量越大，即能最多的進(jìn)貨，設(shè)一次進(jìn)貨最多m千克，則≤30-5，解得：m≤1300．故一次進(jìn)貨最多只能是1300千克．【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)考查一次函數(shù)的應(yīng)用來(lái)考查從圖象上獲取信息的能力．得出銷售定價(jià)和銷售量的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．我們知道：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦．你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題：如圖，點(diǎn)P在以MN（南北方向）為直徑的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于點(diǎn)Q，垂足為H，PQ≠M(fèi)N，弦PC、PD分別交MN于點(diǎn)E、F，且PE=PF．（1）比較與的大??；（2）若OH=2，求證：OP∥CD；（3）設(shè)直線MN、CD相交所成的銳角為α，試確定cosα=時(shí)，點(diǎn)P的位置．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】綜合題．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由PE=PF，PH⊥EF可判斷PH平分∠FPE，然后根據(jù)圓中角定理得到=；（2）連結(jié)CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，先計(jì)算出PH=2，則可判斷△OPH為等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判斷△OPQ為等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根據(jù)垂徑的推理由=得到OQ⊥CD，則根據(jù)平行線的判定方法得OP∥CD；（3）直線CD交MN于A，如圖，由特殊角的三角函數(shù)值得∠α=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，則∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定義計(jì)算出PH即可．【解答】（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，∴PH平分∠FPE，∴∠DPQ=∠CPQ，∴=；（2）證明：連結(jié)CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如圖，∵OH=2，OP=4，∴PH=，∴△OPH為等腰直角三角形，∴∠OPQ=45°，而OP=OQ，∴△OPQ為等腰直角三角形，∴∠POQ=90°，∴OP⊥OQ，∵=，∴OQ⊥CD，∴OP∥CD；（3）解：直線CD交MN于A，如圖，∵cosα=，∴∠α=30°，即直線MN、CD相交所成的銳角為30°，而OB⊥CD，∴∠AOB=60°，∵OH⊥PQ，∴∠POH=60°，在Rt△POH中，∵sin∠POH=，∴PH=4sin60°=2，即點(diǎn)P到MN的距離為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推理、圓周角定理；能夠靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)進(jìn)行