2022年高考數學全真模擬自測試題(高頻考點版)13期

2022年高考數學全真模擬自測試題（高頻考點版）_005

單選題（共8個，分值共：）

1、已知a=cosl,b=si/i2,c=則（）

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

答案：A

解析：

【分析】

利用誘導公式及正弦函數的單調性可判斷a,b的大小，利用正切函數的單調性可判斷c的范圍，從而可得正確

的選項.

【詳解】

a=sin-1），b=sin（n—2）,

因為0<1—1<7T—2v］，故a<b<1,

而c=tan4=tan（4—TT）,

因為巳<4—7T<—,故c>1,故c>b,

42

綜上，c>b>a,

故選：A

2、"直播電商"己經成為當前經濟發(fā)展的新增長點，某電商平臺的直播間經營化妝品和服裝兩大類商品.2021

年前三個季度的收人情況如圖所示，已知直播間每個季度的總收入都比上一季度的總收入翻一番，則下列說

法正確的是（）

I|化妝M收入||服裝收入

A.該直播間第三季度服裝收入低于前兩個季度的服裝收入之和.

B.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的士

C.該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的￡

D.該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍.

答案：C

解析：

【分析】

利用條形統計圖求解判斷.

【詳解】

設第一季度的總收入為a,則第二季度的總收入為2a,第三季度的總收入為4a.

對于選項A,第一、二季度服裝收入和為(a-0.1a)+(2a-0.4a)=2.5a,第三季度服裝收入為4a-1.2a=

2.8a,故A錯誤；

對于選項B,第一季度化妝品收入為aX10%=0.1a,第三季度化妝品收入為4aX30%=1.2a,第一季度化

妝品收入是第三季度化妝品收入的爭=白，故B錯誤；

1.2a12

對于選項C,第二季度的化妝品收入為2ax20%=0.4a,第三季度的化妝品收入為4ax30%=1.2a,第二季

度化妝品收入是第三季度化妝品收入的窗故C正確；

對于選項D,第三季度總收入是第一季度總收入的絲=4倍，故D錯誤.

a

故選：C.

3、已知定義域為R的函數f(x)滿足：f(x+4)=f域),且/⑺_/(_%)=0,當一2WXW0時，f(x)=2X,

則/(2022)等于()

A.扣.1C,2D.4

答案：A

解析：

【分析】

根據函數的周期性以及奇偶性，結合已知函數解析式，代值計算即可.

【詳解】

因為函數/(%)滿足：f(x+4)=f(x),且f(x)-八-x)=0,

故/(x)是R上周期為4的偶函數，故/(2022)=/(2)=/(-2),

又當一2<%<0時，“%)=2%則/(-2)=2-2=；,

故/(2022)=

故選：A.

4、已知￡sina+*osa=專則sin(a+豹的值為()

A.當B.2c.土

5555

答案：c

解析：

2

【分析】

應用輔助角公式可得sin(a+g)=',再應用誘導公式求目標三角函數的值.

【詳解】

由題設，sin(a+])=',而sin(a+第=sin(兀+a+])=-sin(a+])=—:

故選：C

5、已知復數z=2+i(i為虛數單位)，則z?(z-1)=(

A.3+IB.3-iC.1+3iD.1-31

答案：A

【分析】

首先求出2,再根據復數代數形式的乘法法則計算可得；

【詳解】

解：因為z=2+i,所以z=2—i,所以z,(z—1)=(2—i)(l+i)-2+2i—I—尸=3+i

故選：A

6、已知tan。=—2,則cos20=()

A.--B.-C.--D

335

答案：c

解析：

【分析】

由二倍角余弦公式有cos2。=cos20-sin26,利用平方關系將cos2g-siMj齊次化，然后弦化切即可求解.

【詳解】

故選：C.

7、在AABC中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。2+?2=13,ac=6,bsinA=V3acosB,則

b=()

A.V7B.V6C.V5D.V3

答案：A

解析：

【分析】

根據正弦定理及同角關系可得B=爭再用余弦定理可求解.

【詳解】

由bsinA=gacosB,根據正弦定理有：

sinBsinA=VSsinAcosB,

3

因為在三角形中0VAV%0VBV7T,所以sin4>0,

從而有sinB=y/3cosB=tanB=V3=B=g

再由余弦定理有：cosB=K竽土=汽廿=j解得b=b.

2ac122

故選：A

8、函數/(%)=cos(2%-1)的最小正周期是()

A.4TIB.2nC.TTD.-

2

答案：c

解析：

【分析】

利用余弦型函數的周期公式，即得解

【詳解】

由題意，函數/(X)=COS(2x-1)的最小正周期7=y=7T

故選：C

多選題(共4個，分值共：)

9、己知函數/0)=5譏(2%+9)(-]<9<9的圖象關于直線》=^對稱，則()

A./(0)=1

B.函數/⑺在吊手上單調遞增

C.函數/(%)的圖象關于點偌,0)成中心對稱

D.若-/(刀2)1=2,貝IJ|%1—久21的最小值為]

答案：BD

解析：

【分析】

首先利用函數的值求出函數的關系式，進一步利用正弦型函數性質的應用判斷A、B、C、D的結論.

【詳解】

解：對于函數fQ)=sin(2x+0)的圖象關于x=W對稱，

故/。)=sin(等+勿)=±1,

由于所以?<當+W<?,所以?+乎=%

2￡63o3Z

故Q=-g

所以/(%)=sin(2x-^)；

6

對于A：由于/'(%)=sin(2%-￡),所以/'(())=一；，故A錯誤；

62

對于B：由于“6*苧，故2x—故函數在該區(qū)間上單調遞增，故B正確；

4

對于C：當“，時，/砥=今故C錯誤；

對于D：若|人石)一/。2)1=2，則氏一外1的最小值為(=或故D正確.

故選：BD.

10、高斯是德國著名數學家，享有"數學王子”的稱號，以他名字命名的"高斯函數"是數學界非常重要的函

數."高斯函數"為f(%)=[幻,其中x€R,[x]表示不超過x的最大整數，例如[2.1]=2,則函數g(x)=

償的值可能為()

A.-IB.0C.1D.2

答案：ABC

解析：

【分析】

根據題意，可知9。)=[我土-：，利用基本不等式，結合高斯函數的定義，求出函數g(x)g(x)的值域，分

析選項可得答案.

【詳解】

9。)=[⑥-1]=因為峭+*22(當且僅當靖=卷，即x=0時，等號成立)，所以一[<

白-三?，故9。)的值域為{TO1}.

故選：ABC.

11、下列函數f(x),g(x)表示相同函數的是()

X7

A./(x)=2,g(x)=log2xB./(x)=|x|,g[x)=Vx

C./(x)=2lgx,g(x)=lgx2O./(x)=x,g(x)=

答案：BD

解析：

【分析】

兩個函數相同要求定義域相同，對應法則相同，依次判斷即可

【詳解】

對于A：f(x)=2，，g(x)=log2%分別為指數運算與對數運算，不為相等函數，故A錯誤；

對于B：由于g(x)=>/短=|x|=/(x)故是相等函數，故B正確；

對于C：/(X)=2Zgx定義域為(0,+oo),g(x)=仞/定義域為片o},不是相等函數，故C錯誤；

對于D：因為g(x)=以5'=x=/(x),所以/(x)=刀與9(乃=孤5'是同一函數，故D正確；

故選：BD

12、已知察函數f(x)的圖像經過點(4,2),則下列命題正確的有()

A.函數為增函數

5

B.函數f(K)為減函數

C.若XN9,則/(%)23

D.若％2>%>0,則*詈)

答案：AC

解析：

【分析】

求出函數的解析式，根據幕函數的圖像性質即可逐項求解.

【詳解】

設幕函數y=r(x)=x。，a為實數，?：其圖像經過點(4,2),「.40=2,解得a=%

.?./(x)=xt其定義域為［0,+00),且/(>)=裝在［0,+8)上為增函數，A正確；

xZ9時，/(x)>/(9)=3,選項C正確；

1

函數/(%)=是上凸函數，

???對定義域內任意的與<%2,都有嗎9</(晉)成立，選項D錯誤.

故選：AC.

填空題(共3個，分值共：)

13、已知正四面體ABC。的表面積為275,且A,B,C,。四點都在球。的球面上，則球。的體積為.

答案：弓兀

解析：

【分析】

設正四面體的棱長為a,根據正四面體的結構特征求出它的表面積，結合正四面體和正方體的聯系求出正方體

的棱長，利用正方體的外接球的體積公式計算即可.

【詳解】

正四面體各面都是全等的等邊三角形，設正四面體的棱長為a,

所以該正四面體的表面積為S=4x|xaxJ—gf=V3a2,所以a=V2,

又正方體的面對角線可構成正四面體，

若正四面體棱長為近，可得正方體的棱長為1,

所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為遮，半徑為理，

所以球。的體積為當兀.

故答案為：自兀

14復數Zi=cosx—isinx,z2=sinx—icosxf貝“Zi,z2\=.

答案：1

6

解析：

【分析】

根據復數的乘法，求得Z「Z2,進而求得其模.

【詳解】

22

-z2=(cosx—isinx)(sinx—icosx)=-i(sinx+cosx)=-i,

故|Z]々I=1

故答案為：1

15、若函數/(x)是定義域為R的奇函數.當久>0時，/(x)=x3-2.則函數/Q+2)的所有零點之和為

答案：-6

解析：

【分析】

由題意，首先確定函數/(X)的零點個數及零點之和，然后結合函數圖象平移的性質即可求得答案.

【詳解】

當x>0時，易知函數只有一個零點為短，而奇函數滿足/(0)=0,結合函數的對稱性可知函數有3個零點，

設它們分別為修,％2，叼，則與+犯+”3=0，當把函數/(%)的圖象向左平移2個單位之后得到函數+2)的

圖象，所以函數/(x+2)的零點之和為X]—2+^2—2+%3--2=尤1+g+刀3—6=—6.

故答案為：-6.

解答題(共6個，分值共：)

16、如圖，已知正方形A8CD的邊長為1,點E是A8邊上的動點，求：

⑴麗?麗的值；

⑵麗?瓦的最大值.

答案：⑴1

(2)1

解析：

【分析】

建立平面直角坐標系，利用數量積的坐標運算求解.

⑴

解：建立如圖所示平面直角坐標系：

7

則。(O,O),C(O,1),B(1,1),設E(l,x),(OWxW1),

所以屁=(l,x),CB=(1,0),

所以而?而=lxl+xx0=l；

(2)

因為屁=(1,尤)，反=(0,1),

所以DE-CB=lx0+xxl=x,

因為0<x<1>

所以瓦?沅的最大值是1.

17、如圖，兩條筆直的公路相交成60。角，兩輛汽車A和8同時從交點。出發(fā)，分別沿兩條公路行駛.如果

汽車A的速度是48km/h,那么汽車B應以多大的速度行駛，才能使這兩輛汽車在出發(fā)lh后相距43km(結果

精確到lkm/h)?

答案：35km/八或13km/h

解析：

【分析】

設1小時后，汽車4在4點，汽車B在B點，問題即為，在三角形40B中，已知4。=48,AB=43,且

/.AOB=60°,求08的長，利用余弦定理，列出OB的方程，解出。B即可.

【詳解】

如圖：

8

A

設1小時后，汽車A在4點，汽車B在B點,

由已知：在AAOB中，。4=48,AB=43,/.AOB=60°,

二由余弦定理得4辟=OA2+OB2-2OA-OBcos乙AOB,

即432=482+。口2-2x48xOBX5

化簡得0”-48x0^+455=0,

解得OB=35或13

二汽車B的速度是35km",或13/OTI"時，兩輛汽車在出發(fā)后相距43km.

18、如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點，F為AD的中點，求荏?前的值.

0

答案：0

解析：

【分析】

以荏、而分別為x、y軸正方向建立平面直角坐標系,用坐標法直接計算即可.

【詳解】

以荏、而分別為x、y軸正方向建立平面直角坐標系.

二

~i\fix

則A(0,0),B(2,0),F(0,l),E(l,2),所以荏=(1,2),亙F=(-2,1)

所以荏?麗=1x(-2)+2x1=0.

19、已知表示向量五的有向線段方的起點4的坐標,求它的終點B的坐標.

9

(l)a=(-2,3).4(0,0);

(2)5=(-2,-6),A(-3,4).

答案：(1)(一2,3)；

(2)(-5,-2).

解析：

【分析】

(1)設出終點B的坐標，表示出荏，利用d=四，即可求出答案.

(2)設出終點B的坐標，表示出荏，利用日=荏，即可求出答案.

⑴

設終點B的坐標為8=(x,y),AB=(x,y),"a=AB,得至“：??；，

???8的坐標為(一2,3).

(2)

設終點B的坐標為B=(x,y),AB=(x+3,y-4),

：-a=AB,得到產產一評『=一；

??.B的坐標為(-5,-2).

20、已知向量己=(1,1),3=(0,—2),在下列條件下分別求1的值:

(1)5+5與k益—族平行；

(2尼+5與蔗一族的夾角為

答案：⑴一1

(2)-1±V3

解析：

【分析】

(1)首先求出日+?與人之-人再根據向量平行的坐標表示得到方程，解得即可；

(2)首先利用向量數量積的坐標運算求出(a+b)-(ka-b),再根據平面向量數量積的定義得到方程，解得

即可；

⑴

解：因為d=(l,l),b=(0,-2),所以a+b=ka-b=(k,k+2),又a+b與ka-b平行，所以

—k=k+2,解得k=—1；

⑵

解：因為Q+b=(1,-1),ku—b=(k,Zc+2),所以(a+b)?(ka—b)=1x/c+(—1)x(fc4-2)=-2,

因為a+b與ka-b夾角為半，所以(a+b).(ka-h)=|a+Z?||a-b|cos拳

即一2=—y/2x+(4+2)2x解得k=—1±V3.

10

21、如圖，在A/IBC中，而=|荏，D