2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知識點編輯）(六)

2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測題(根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知

識點編輯)_010

單選題(共8個，分值共：)

1、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在出6￡),使得/(g)=勺成立，則稱與是函數(shù)/(x)的一個不動點，下列函

數(shù)存在不動點的是()

A./(x)—2X+xB./(%)=x2—%+3

C./(x)=-|x-2|D./(x)=Igx+3x-6

答案：D

解析：

把選項中不同的f(x)代入/(x)=x,去判斷方程是否有解，來驗證函數(shù)f(x)是否存在不動點即可.

【本題詳解】

選項A：若/(x)=x,則2，+x=x,即2、=0,方程無解.故函數(shù)f(x)不存在不動點；

選項B：若/(x)=x,則％2-X+3=X,即/-2X+3=0,方程無解.故函數(shù)/(x)不存在不動點；

選項C：若/(x)=x,則—|久-2|=x,即或兩種情況均無解.故函數(shù)/(x)不存在不動

點；

選項D：若/'(%)=%,則/gx+3x-6=%,即Zgx+2x-6=0

設(shè)g(x)=如+2x-6,則g(l)=Zgl+2-6=-4<0,g(3)=心3+2x3-6=1g3>0

則函數(shù)g(x)在(1,3)上存在零點.即方程/'(%)=x有解.函數(shù)/(%)存在不動點.

所以正確答案為：D

2、已知。>0*>0,&+2匕=1,則下列選項錯誤的是()

A.0<b<-B.2a+4b>2>/2C.ab的最大值是三D.a?十^的最小值是三

2816

答案：D

解析：

根據(jù)題意求出b的范圍可以判斷A,然后結(jié)合基本不等式判斷B,C,最后消元通過二次函數(shù)的角度判斷D.

【本題詳解】

對A，｛?>以、八=0<人<3正確；

la=1-2b>02

對B,2a+4b>2V2a-4fc=2V2a+2b=2^2,當(dāng)且僅當(dāng)2a="=a=二b=三時取正確；

24

2

對C,a&=jxax2Z?<|=｝當(dāng)且僅當(dāng)a=2b0a=b=［時取正確；

對Dr由題意，Q?+萬2=(1—2b/+/?2=5b2—4b+1=5(b—j+g,由A可知0VbV所以a?+

b2G.[1,1）,錯誤.

所以正確答案為：D.

3、中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，有一種茶用85℃的水泡制，再

等到茶水溫度降至55℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.某研究人員在室溫下，每隔lmin測一次茶水溫度，得

到數(shù)據(jù)如下：

放置時間/min012345

茶水溫度rc85.0079.0073.6068.7464.3760.43

為了描述茶水溫度UC與放置時間點”的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：

①y=kax+25（ke/?,0<a<l,x>0）,（2）y=kx+b（k,b6R,x>0）.

選擇最符合實際的函數(shù)模型，可求得剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置時間大約為（）

（參考數(shù)據(jù)：加220.301,國3a0.477）

A.6minB.6.5minC.7minD.7.5min

答案：B

解析：

根據(jù)每分鐘茶水溫度的減少值呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢，可判定應(yīng)當(dāng)選擇模型①為更符合實際的模型.利用前

兩組數(shù)據(jù)可以求得k和a的值，進而將最佳口感溫度代入所求得解析式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)求得x的值，即可

做出判斷.

【本題詳解】

由表格中數(shù)據(jù)可得，每分鐘茶水溫度的減少值依次為6,5.4,4.86,4.37,3.94,

呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢，

所以正確答案為用模型①為更符合實際的模型.

由x=0時，y=85.00,代入y=kax+25,得85=k+25,解得k=60.

y=60ax+25.

由x=1時y=79.00,可得79=60a+25,解得a=*

,”=60信）'+25,

由55=60g）"+25閣=（4『J婷=S（罪=xlg^,

lg三-lg2lg20.301/_

X=-g-=-------=—；—~------------?6.5,

lg^2lg3-ll-2lg31-2x0.477

剛泡好的茶水達到最佳口感所需放置時間大約為6.5min,

所以正確答案為B

4、已知函數(shù)/（%）=acos2x+bas譏2x-2a+b在％€]上的圖象如圖所示，則a,b的值分別為（）

2

A.Q=2,b=IB.Q=2,b=3

3

C

-a=-2,〃~5D.a=--,b=-2

答案：C

解析：

根據(jù)函數(shù)最小值與特殊值列方程討論即可求解.

【本題詳解】

由/(x)=acos2x+V3asin2x-2a+b=2asin(2x+勻—2a+b

fC)=acosrt+y/3asinn-2a+b=—3a+b=1,/(O)=acosO+>/3asin0-2a+b=—a+b<0

又因為/(x)的最小值為-5

當(dāng)a<0時有2a—2a+b=—5,得a=-2,*=-s；

當(dāng)a>0時有一2a-2a+b=-5,得a=6,b=19,與一a+b<0不符，

所以正確答案為：C

5、已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足f(2-x)=/(x).當(dāng)0W1時，/(%)=3x+aWiJ/(2021)+/(2022)=

()

A.-4B.-2C.2D.4

答案：C

解析：

由題可得函數(shù)f(%)的周期為4,結(jié)合條件可得a=—1,進而可求f(2021)+f(2022)=/(l)+/(2),即得.

【本題詳解】

定義在R上的奇函數(shù)滿足f(2-x)=/(x),

/(2+x)=/(-x)=-/(x).

/(4+x)=-f(x+2)=/(%),即函數(shù)f(x)的周期為4,

又當(dāng)OWxSl時，/(x)=3x+a,f(0)=0,

/(0)=3°+a=0,即a=—1,

當(dāng)0<xW1時，/(x)=3Z-1,

/⑴=2,〃2)=f(0)=0,

3

/(2021)+/(2022)=/(I)+/(2)=2.

所以正確答案為：C.

6、甲、乙、丙共3人參加三項知識競賽，每項知識競賽第一名到第三名的分?jǐn)?shù)依次為10,5,3.競賽全部結(jié)

束后，甲獲得其中兩項的第一名及總分第一名，則下列說法錯誤的是()

A.第二名、第三名的總分之和為29分或31分

B.第二名的總分可能超過18分

C.第三名的總分共有3種情形

D.第三名不可能獲得其中任何一場比賽的第一名

答案：C

解析：

根據(jù)給定條件按甲的得分情況分類，再求出第二名、第三名的得分即可判斷作答.

【本題詳解】

依題意，甲的得分情況有兩種：10,10,5和10,10,3,

顯然3人的總得分為54分，甲得分為10,10,5時，第二名、第三名的總分之和為29分，

甲得分為10,10,3時，第二名、第三名的總分之和為31分，A正確；

甲得分為10，10，5時，第二名得分有三種情況：5,5,10；5,3,10；3,3,10,總分分別為20分，18

分，16分，

第三名得分對應(yīng)有三種情況：3,3,3；3,5,3；5,5,3,總分分別為9分，11分，13分，

甲得分為10，10，3時，第二名得分有三種情況：5,5,10；5,3,10；3,3,10,總分分別為20分，18

分，16分，

第三名得分對應(yīng)有三種情況：3,3,5；3,5,5；5,5,5,總分分別為11分，13分，15分，

選項B,D正確，第三名總分有4種情況，C不正確.

所以正確答案為：C

7、若二項式(五一套K的展開式中常數(shù)項為160,則a的值為()

A.2B.-2C.4D.-4

答案：B

解析：

求出二項式展開式的常數(shù)項，再列式計算作答.

【本題詳解】

二項式(五一套)6的展開式的常數(shù)項為c寅偽3.(_扣3=-20a3,

依題意，一20。3=160,解得a=-2,

所以a的值為一2.

所以正確答案為：B

4

8、已知數(shù)列｛ajSn為｛即｝的前n項和，其中的=-1010,an+1=+3g則$2021=（）

l（1n—\,n為偶數(shù)

A.2019B.2020C.2021D.2022

答案：B

解析：

先求出￡12，由條件可得即+2=即+2,即｛即｝的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別是以公差為2的等差數(shù)列，從而分奇數(shù)

項，偶數(shù)項分別求和即可.

【本題詳解】

由題意=%+3=-1007

設(shè)n為奇數(shù)，貝加+1是偶數(shù)，n+2是奇數(shù)，

則即+1=即+3，①

an+2—an+l-1>②

①+②得：?n+2=即+2

所以｛。工的奇數(shù)項是首項為%=-1010,公差為2的等差數(shù)列，

同理｛an｝的偶數(shù)項是首項為&2=-1007,公差為2的等差數(shù)列.所以S2021=Q+a3+a5+-+a2021）+

（?2++a6H--------F02020）

（。。）（。）

=1+22N02W1X1011+02+22020x1010=2020

所以正確答案為：B

多選題（共4個，分值共：）

9、有下列4個關(guān)于不等式的結(jié)論，其中正確的是（）

A.若％<0,P!lJx+-<-2B.若則聾=22

XVX2+1

C.若xWR,則卜+?|32口.若a>l,則（l+a）（l+，）之4

答案：ABC

解析：

根據(jù)基本不等式〃一正二定三相等〃原則對選項逐一判斷.

【本題詳解】

對A,若x<0,則％+1=-（r+上）W_2Jr」=-2,當(dāng)且僅當(dāng)％=-1時取等號，A正確；對B,若

X\-X/7-X

XG/?,則=7x2+1+.之2=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時取等號，B正確；對C,

收+1Vx2+1Vx2+1y]Vx2+1

當(dāng)%>0時，%+->2lx--=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，結(jié)合選項A,%6R時，則332,C正確；

xy]xIXI

對D,若Q>0,貝ij（l+a）（1+'）=2+Q+322+=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號，D錯誤.

所以正確答案為：ABC

5

10>已知集合4={-1,1},集合B—1=0},若4nB=8,則。的取值可能是（）

A.2B.-IC.1D.0

答案：BCD

解析：

根據(jù)AnF=B可知A,然后對參數(shù)進行分類討論求解.

【本題詳解】

解：??,集合A={-1,1},集合B={x\ax-1=0},ACB=B

-.BQA

當(dāng)a=0時，B=。,成立；

當(dāng)a#0時，B=（-],故工=-1或2=1,解得a=-l或a=l

lajaa

綜上。的取值可能是一1,0,1.

所以正確答案為：BCD

11、△ABC中，BC=V13,4=60",AC=4,則邊AC上的高是（）

A.苧B.|D.3V3

答案：AB

解析：

先用余弦定理求出4B的長，再求出邊AC上的高.

【本題詳解】

由余弦定理得：cosA="告空=絲*蘭=；,解得：AB=1或3,經(jīng)檢驗均符合，設(shè)邊AC上的高是八,

2ABACSAB2

當(dāng)48=1時,h=ABsin600=y；當(dāng)AB=3時,h=ABsin600=

所以正確答案為：AB

12、下列命題正確的是（）

A.若a。。，則a2+Wz4B.若a>0,則a+上的最小值為0

aza+2

C.若a>0,h>0,則a+bN2V^D.若aV0,b<0,貝盧+2N2

ba

答案：ACD

解析：

根據(jù)已知條件，利用基本不等式逐一判斷，判斷過程注意等號成立的條件，從而即可求解.

【本題詳解】

對于A,彥+.之2Jq2x*=4,小=2時等號成立，A正確：

—

對于B,因為a>0,所以QH—--=Q+2H—2>2（a+2）,———2=0,

a+2a+2ya+2

當(dāng)且僅當(dāng)。+2=1=。=一3或。=一1時取〃=〃，即等號不成立，所以B錯誤；

6

對于C,因為a>0,b>0,所以a+b22倔，C正確；

對于D,因為a<0,b<0,所以￡>0,2>0,則￡+2點=2,

babay]ba

當(dāng)且僅當(dāng)？=2=a=b時取所以D正確.

ba

所以正確答案為：ACD.

填空題（共3個，分值共：）

13、如圖，平面a〃/"，直線l,zn分別與a、夕、y相交于點人B、C和點。、E、F,若黃=最DF=20,則

解析：

分兩種情況：（1）直線1和M在同一平面內(nèi)（2）直線屏Orn不在同一平面內(nèi)，即，和血異面然后利用面面平行的

性質(zhì)定理得到線線平行，進一步利用平行線分線段成比例定理得到結(jié)果.

【本題詳解】

分兩種情況：

（1）直線]和機在同一平面內(nèi)，設(shè)該平面為T,連結(jié)4D,BE,CF

7

因為平面a〃夕〃y,aC\T=AD,pf\T=BE，YC\T=CF,所以4D〃8E〃CF,

所以翌=器=；,又CF=20,所以EF=15；

BCEF3

(2)直線I和m不在同一平面內(nèi),即I和m異面,過。作Z)H〃4C,

平面a〃3〃y,，4B=DG,BC=GH,

設(shè)直線DH與4c所確定的平面為f,

又fn/?=GE,fny=HF,又夕〃y,所以GE〃/YF,

利用平行線分線段成比例，可得黑=多=需又DF=20,所以EF=15.

BCGHEF3

綜上，EF=15.

故答案為：15.

14、設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為「，準(zhǔn)線/與X軸的交點為/W,P是C上一點，若|PF|=5,則|PM|=一

答案：V4T

解析：

根據(jù)拋物線的性質(zhì)及拋物線方程可求P坐標(biāo)，進而得解.

【本題詳解】

由拋物線C:y2=4x的方程可得焦點F(1,O),準(zhǔn)線=1,

由題意可得M(—1,0),

設(shè)尸(X"),有拋物線的性質(zhì)可得：\PF\=5=x+l,解得x=4,

代入拋物線的方程可得y2=4x4=16,

所以|PM|=7(4+I)2+16=V41,

故答案為：V41.

15、已知某直線滿足以下兩個條件，則該直線的方程為_.(用一般式方程表示).①傾斜角為30。；②坐標(biāo)

8

原點到該直線的距離為1.

答案：x—V3y+2=0或x—V3y—2=0

解析：

先求出直線的斜率，然后設(shè)出斜截式方程，進而根據(jù)原點到直線的距離求得答案.

【本題詳解】

由于直線的傾斜角為30。，故它的斜率k=tan30。=強，設(shè)該直線的方程為y=專％+b=x-+遍b=0,

坐標(biāo)原點到該直線的距離d=苧=1=力=±專，所以所求的直線方程為x-by+2=0或x-Ky-2=

0.

故答案為：%-V3y+2=0或x-V3y-2=0.

解答題（共6個，分值共：）

16、已知函數(shù)1+x.

（1）怎樣將函數(shù)y=:的圖象平移得到函數(shù)y=/"）的圖象？

（2）判斷并證明函數(shù)y=/（x）在［0,1）上的單調(diào)性，并求函數(shù)y=在卜表,上的值域.

答案：

（1）函數(shù)y=：的圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位得到f（x）的圖象.

（2）函數(shù)y=/（x）在［0,1）上為減函數(shù)，證明見解析；值域為：［—1,1］

解析：

/（x）=-----1

（1）首先根據(jù)題意得到''1+X,再根據(jù)平移變換的性質(zhì)即可得到答案.

（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可得到y(tǒng)=/（久）在［0,1）上的單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)

y=在上的值域.

（1）

公）=上=-（皿）+2=3_1

函數(shù)y=:的圖象向左平移一個單位得到y(tǒng)=告，

f（x］=——1

再向下平移一個單位得到1+X的圖象.

(2)

設(shè)任意》1，%2W［0,1），且%1<x2,

2_[]_2_]_2(馬一百)

〃%)-/優(yōu))=

1+斗)+々)(1+5)(1+9)

因為14-%!>0,1+%2>0，X2—%1>0,

9

所以f("l)一人不)>0.即f(Xi)>/(X2).

所以/(x)在［0,1)上為減函數(shù).

設(shè)任意工1.26［-5*卜且X1<X2>

iVf---1］=

U+再J(1+9)(l+2。xJ『O+x)?),

因為1+%1>0,1+x2>0,X2-Xy>0,

所以JCq)-f(*2)>0,即f(X】)>/(X2).

所以f(x)在［0,1)上為減函數(shù).

所以函數(shù)y=的3/(%)在［后弓］上為減函數(shù)，

x=一2時，ymax=log3f(-J)=iog33=i,

x=3時,加譏=log3f(-I)=log3-1,

故值域為：［—1,1］

17、已知—兀<a<0,且滿足.從①sina=g；②cosa+sina=一?；③tana=—2.三個條件

中選擇合適的一個，補充在上面的問題中，然后作答補充完整的題目.

(1)求cosa-sina的值:

(2)若角6的終邊與角a的終邊關(guān)于y軸對稱，求器器的值.

答案：

(1)詳見解析；

(2)—3.

解析：

(1)由題可得選①不合題意，若選②利用同角關(guān)系式可得2si?iacosQ=-^<0，進而可求cosa-sina,若

選③，利用同角關(guān)系式可求sina,cosa的值，即得；

(2)由題可得cos￡=-cosa=一卷sinS=sina=—等，即求.

(1)

若選擇①，,「一兀<a<0,

sina<0,與sina=等矛盾；

若選擇②，cosa+sina=-?，貝!J(cosa+sina)2=

2sinacosa=—1<0,又一兀<a<0,cosa>0,

<a<0,cosa—sina>0,

2

.R——5-----：—L,43病

..cosa—sina=y/1—Icosasina=1+-=——：

V55

10

若選擇③，tana=—2<0,又一兀<a<0,

「.一1<a<0,sina=-2cosa<0,sin2a+cos2a=1,

..2V5V5

??SlTLCt=------,COSCC="?

.3V5

?.cosa—sina=—；

(2)

由題可得cos/?=—cosa=-qsin0=sina=—當(dāng)

VS2^

cosp+sinp

=—3.

cos^-sinp-8

18、已知正方體4BCD-48傳1。1.

(1)證明：&C，平面GBD；

(2)求異面直線。14與BD所成的角.

答案：

(1)證明見解析

(2)-

3

解析：

(1)證明B。，平面A&C,可得&C_LBD,同理可證為C1BC1，然后由線面垂直的判斷定理即可證明

&CJ■平面GBD；

(2)由D14IIC/,可得4C1BD即為異面直線。遇與BD所成的角，易知△為等邊三角形，從而可得異面

直線劣4與BD所成的角.

(1)

證明：連接AC,交BD于點。，在正方體ABCD-48停1。1中，底面ABCD是正方形，

ACA.BD,X'.-BD1AAT,u平面4通。，AtACtAC=A,

：.BO_L平面4&C,又r&Cu平面4&C,

/.ArC1BD；同理可證4C_LBG，

又BG、BDu平面BDG，BC1cBD=B,

ArC_L平面CiBD.

11

G

解：「DXA||C隹,：.4CIB。即為異面直線。遇與BD所成的角，

設(shè)正方體4BCD-4/165的邊長為a,則易得QB=BD=CrD=V2a,

,AGB。為等邊三角形，二NGBD=g,

故異面直線。解與BD所成的角為泉

19、已知等差數(shù)列｛%3滿足。2=4,%+。5=14.

(1)求｛冊｝的通項公式；

(2)若等比數(shù)列｛bn｝的前“項和為治，且瓦=0,bl=ab,bn+1>bn,求滿足5<2022的n的最大值.

答案：

(1)an=3n-2

(2)10

解析：

⑴設(shè)等差數(shù)列公差為d,根據(jù)已知條件列關(guān)于由和d的方程組即可求解；

⑵設(shè)等比數(shù)列公比為q,根據(jù)已知條件求出瓦和q,根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出土,再解關(guān)于"的不等式

即可.

(1)

由題意“黑+￡；4I"解得口=3

91+%+4d=14Id=3

Q-=1+3(n—1)=3n—2.

(2)

■「瓦==1,Z)3=a6=16,

n

又bn+i>「?么=%公比q=2,：,Sn=2—1,

令2n-IV2022,得2nV2023,

令21°V2023V21i,所以〃的最大值為10?

20、如圖，在三棱錐P-71BC中，AB=2,AC=2A/3,BC=4,P力J_平面ABC,Q是PB的中點，M是BC的中

點.

12

(1)求證：QM1AB-,

(2)過點M作BC的垂線，交4c于點N,若四棱錐Q-4BMN的體積為2,求P4的長.

答案：

(1)證明見解析.

(2)P4的長為3百.

解析：

(1)通過線面垂直證得力BJ.PC,再由QM〃PC即可得證；

(2)求出底面四邊形4BMN的面積，求出四棱錐Q-4BMN的高，結(jié)合PA=2Q。即可求出24的長.

(1)

證明：因為AB=2,AC=2V3,BC=4,

所以8c2=AB2+AC2,所以

因為PA1平面SBC,ABu平面ABC,所以P41AB,

因為P4ACu平面PAC,PA^AC=A,

所以4B1平面「AC,

又因為PCu平面PAC,

所以4B1PC,

因為在APBC中，Q是PB的中點，M是BC的中點，

所以QM〃PC,所以QM1AB.

(2)

解：在ACMN和△C4B中，

乙MCN=/.ACB,乙CMN=/.CAB=90°,

所以ACMNs^cAB,

因為也=j=更，

z2V33

2

所以衿生=(多=1,

^>hCAB'"3

所以四邊形4BMN的面積S=|S^CAB=|xgx2巡x2)=殍

13

取48的中點。，連接QD,

在APAB中，Q,D分別為PB,4B的中點，

所以QD〃PA,

因為P41平面ABC,AB,ACu平面ABC,'P^PA1AB.PA1AC,

所以QD_LZB,QD_L4C,又因為28,ACu平面ABC,A8cAC=4,

所以QD1平面ABC,

所以QD為四棱錐Q—ABMN的高，

所以為TBMN=xQD=：x竽xQC=竽QC=2,所以QD=當(dāng),

所以PA=2QD=3百，所以AM的長為3/1

21>已知函數(shù)/'(x)=2V5sinxcosx—2cos2刀+2,xER.

(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)把丫=/(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求不

等式gQ)>2的解集.

答案：

(1)-1

(2)(2/CTT+2/OT+兀)，kEZ

解析：

(1)用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把三角函數(shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)換為正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最值.

(2)利用函數(shù)伸縮變換后的表達式解三角不等式.

(1)

/(%)=2y/3sinxcosx—2cos2x+2=y/3sin2x—cos2x+1=2sin卜x-，)+1,

所以當(dāng)sin(2x-‘)=一1時，f(x)取得最小值-1.

(2)

由已知可得g(x)=2sin(%-￡)+1>2,二sin(x-，)>

2/OT+—<x——<2/CTT+,

666

14

g（x）>2的解集為（2/CTT+p2/c/r+兀），k&Z.

雙空題（共1個，分值共：）

22、如圖，在棱長都為1的平行六面體4BCD-&B1C也中，