2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第四十講對數(shù)及其運算性質(zhì)

第四十講：對數(shù)及其運算性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)】1.了解對數(shù)、常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念；；3.掌握積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立的條件；4.掌握換底公式及其推論；5.能熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值．【基礎(chǔ)知識】一、對數(shù)的定義一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．注意點：(1)對數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化而來，則底數(shù)a、指數(shù)或?qū)?shù)x、冪或真數(shù)N的范圍不變，只是位置和名稱發(fā)生了變換；(2)logaN的讀法：以a為底N的對數(shù)．二、兩類特殊對數(shù)(1)以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為lgN；(2)以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為lnN.三、對數(shù)的性質(zhì)(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．(4)對數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．四、對數(shù)的運算如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．注意點：(1)性質(zhì)的逆運算仍然成立；(2)公式成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意義，而log2(－2)與log2(－3)都沒有意義；(3)性質(zhì)(1)可以推廣為：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.五、換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對數(shù)換底公式的重要推論(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)．(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注意點：(1)公式成立的條件要使每一個對數(shù)式都有意義；(2)在具體運算中，我們習(xí)慣換成常用對數(shù)或自然對數(shù)，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).【題型目錄】考點一：對數(shù)的概念考點二：對數(shù)式有意義考點三：對數(shù)與指數(shù)相互轉(zhuǎn)化考點四：簡單對數(shù)性質(zhì)的計算考點五：利用對數(shù)性質(zhì)求值考點六：對數(shù)運算公式的簡單計算考點七：對數(shù)運算公式的應(yīng)用考點八：對數(shù)運算公式的化簡和求值考點九：對數(shù)換底公式的應(yīng)用考點十：對數(shù)運算公式的綜合應(yīng)用考點十一：實際問題中的對數(shù)運算【考點剖析】考點一：對數(shù)的概念例1．有下列說法：①以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)；②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；③以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)；④零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).其中正確的個數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)常用對數(shù)以及自然對數(shù)的概念可知①③正確，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知④正確，只有當(dāng)且時，指數(shù)式才可以化成對數(shù)式，②錯誤，故選：C變式訓(xùn)練1．給出下列說法:①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù);②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式;③以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù);④以為底的對數(shù)叫作自然對數(shù).其中正確的個數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，命題①正確；，不能寫成對數(shù)式，命題②錯誤，；以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，命題③正確；以為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)，命題④正確；故正確命題是①③④，故選：C.變式訓(xùn)練2．下列說法中錯誤的是（） A．零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù) B．任何一個指數(shù)式都可化為對數(shù)式 C．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù) D．以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)【答案】B【詳解】由對數(shù)的概念知，指數(shù)式中，只有，且的指數(shù)式才可以化為對數(shù)式，因此零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，把以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，故選：B變式訓(xùn)練3．對于下列說法：（1）零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；（2）任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；（3）以10為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)；（4）以e為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)．其中錯誤說法的個數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解析：只有符合，且，，才有?，故（2）錯誤．由定義可知（3）（4）均錯誤．只有（1）正確．故選:C.考點二：對數(shù)式有意義例2．使有意義的實數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：C.變式訓(xùn)練1．使對數(shù)有意義的的取值范圍為（） A．且 B． C．且 D．【答案】B【詳解】要使對數(shù)有意義，則，解得，故選：B．變式訓(xùn)練2．已知對數(shù)式有意義，則的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B變式訓(xùn)練3．使式子有意義的的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】要使式子有意義，則，即，解得或，所以x的取值范圍是.故選：D考點三：對數(shù)與指數(shù)相互轉(zhuǎn)化例3．已知函數(shù)，則（） A．0 B．1 C．1 D．2【答案】D【詳解】因為函數(shù)，所以，所以，故選：D變式訓(xùn)練1．將轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，正確的是（） A．； B．； C．； D．．【答案】C【詳解】根據(jù)對數(shù)的定義和．故選：C．變式訓(xùn)練2．已知，則的值為（） A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】∵，則.故選：D.變式訓(xùn)練3．已知函數(shù)，則的值為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】,，又，，，故選：B.考點四：簡單對數(shù)性質(zhì)的計算例4．有以下四個結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則．其中正確的是（） A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【詳解】對于①，，正確；對于②，，正確；對于③，若，則，故錯誤；對于④，若，則，故錯誤，故選：C.變式訓(xùn)練1．有以下四個結(jié)論，其中正確的是（） A． B． C．若，則 D．【答案】B【詳解】因為，，所以A錯誤，B正確；若，則，故C錯誤；，而沒有意義，故D錯誤．故選：B.變式訓(xùn)練2．有以下四個結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中正確的是（） A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】A【詳解】由對數(shù)定義可知，，①正確；，②正確；對③，，錯誤；對④，，錯誤.故選：A.變式訓(xùn)練3．下列各式：①；②；③若，則；④若，則.其中正確的個數(shù)有（） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】對于①，因為，故①正確；對于②，因為，故②正確；對于③，因為，所以，故③錯誤；對于④，因為，∴，故④錯誤.所以只有①②正確．故選：B.考點五：利用對數(shù)性質(zhì)求值例5．若，則等于（） A． B． C． D．【答案】C【分析】由對數(shù)的定義求得，再由冪的運算法則計算．【詳解】解析∵，∴，∴，則＝．故選：C．變式訓(xùn)練1．已知，那么=（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因為，所以，則.故選：B.變式訓(xùn)練2．設(shè)，則的值等于（） A．10 B．13 C．100 D．【答案】B【詳解】由對數(shù)的性質(zhì)，得，所以，故選：B.變式訓(xùn)練3．若，則的值是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：A考點六：對數(shù)運算公式的簡單計算例6．求下列各式的值．(1)；(2)；【答案】(1)；(2)；【詳解】（1）；（2）；變式訓(xùn)練1．化簡的值得（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】原式.故選：D.變式訓(xùn)練2．計算：的值（） A．0 B． C．2 D．3【答案】B【詳解】.故選：B變式訓(xùn)練3．的值為（） A．0 B．1 C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.考點七：對數(shù)運算公式的應(yīng)用例7．設(shè)，，則（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由得，所以，故選：C變式訓(xùn)練1．已知，，那么用a，b表示應(yīng)為（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故選：C．變式訓(xùn)練2．已知，則（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】，又，則故選：B變式訓(xùn)練3．已知，則（） A．3 B．5 C． D．【答案】A【詳解】，.故選：A.考點八：對數(shù)運算公式的化簡和求值例8．計算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【詳解】（1）；（2）.變式訓(xùn)練1．計算：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【詳解】（1）（2）變式訓(xùn)練2．計算(1).(2).【答案】(1)；(2)2【詳解】（1）＝＝＝＝（2）=2變式訓(xùn)練3．計算：(1);(2)【答案】(1)2；(2)【詳解】（1）原式＝.（2）原式.考點九：對數(shù)換底公式的應(yīng)用例9．已知，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：A.變式訓(xùn)練1．的值為（） A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】,故選：C變式訓(xùn)練2．設(shè)，那么m等于（） A． B．9 C．18 D．27【答案】B【詳解】,，，故選：B.變式訓(xùn)練3．若，，則（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B考點十：對數(shù)運算公式的綜合應(yīng)用例10．已知，則（） A．2 B．1 C．1 D．2【答案】B【詳解】因為,所以，.故選:B.變式訓(xùn)練1．已知，且，則（）. A．3 B．6 C．12 D．18【答案】B【詳解】由得：，由換底公式可得：，則，所以，因為，所以故選：B變式訓(xùn)練2．已知，則的值為（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，，即或（舍去）故選：C變式訓(xùn)練3．已知實數(shù)滿足，則的最小值是（） A．5 B．9 C．13 D．18【答案】B【詳解】由，可得，所以，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.考點十一：實際問題中的對數(shù)運算例11．某科研小組研發(fā)一種抗旱小麥品種，已知第1代有40粒種子，若之后各代每粒種子可收獲下一代15粒種子，則所得種子重量首次超過1噸（約2400萬粒）的是（） A．第6代種子 B．第7代種子 C．第8代種子 D．第9代種子【答案】A【詳解】設(shè)第代種子的數(shù)量為，由題意得，得．因為，故種子數(shù)量首次超過1噸的是第6代種子．故選：A.變式訓(xùn)練1．某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年【答案】C【詳解】設(shè)從年后，第年該公司全年投入的研發(fā)資金為萬元，則，由題意得，，即，故，則，故公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是年.故選：C變式訓(xùn)練2．標(biāo)準(zhǔn)的圍棋共行列,個格點，每個點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況，而我國北宋學(xué)者括在他的著作《夢溪筆談》中，也論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”，即，下列數(shù)據(jù)最接近的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，對于，有，所以，分析選項B中與其最接近.故選：B變式訓(xùn)練3．荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是1，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1，一年后是．若經(jīng)過200天，則“進(jìn)步”的值大約是“退步”的值的（）（參考數(shù)據(jù)：，，） A．40倍 B．45倍 C．50倍 D．55倍【答案】D【詳解】依題意，經(jīng)過200天的“進(jìn)步”的值為，“退步”的值為，則“進(jìn)步”的值與“退步”的值的比，兩邊取對數(shù)得：，因此，所以“進(jìn)步”的值大約是“退步”的值的55倍.故選：D【課堂小結(jié)】1．知識清單：(1)對數(shù)的概念．(2)自然對數(shù)、常用對數(shù)．(3)指數(shù)式與對數(shù)式的互化．(4)對數(shù)的運算性質(zhì)．(5)利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡、求值．(6)換底公式．(7)對數(shù)的實際應(yīng)用．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法．3．常見誤區(qū)：易忽視對數(shù)式中底數(shù)與真數(shù)的范圍；要注意對數(shù)的換底公式的結(jié)構(gòu)形式，易混淆【課后作業(yè)】1．已知函數(shù)，則（） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式可知.故選：C2．已知，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因為，所以，故選：A3．已知函數(shù)，若，則（） A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式，令，從而得到，即可得答案；【詳解】令，得，則，.故選：B.4．設(shè)，則的值等于（） A．10 B． C．100 D．1000【答案】C【詳解】，，解得，故選：C.5．有下列說法:①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；②任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；③以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)；④成立.其中正確命題的個數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)對數(shù)的概念和定義，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷選擇.【詳解】①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，顯然正確；②錯誤，如(1)2=1，不能寫成對數(shù)式；③以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，故正確；④錯誤，沒有意義.故正確命題是①③.故選：.6．在等式中，實數(shù)的取值范圍是（） A．或 B．或 C． D．【答案】B【詳解】要使有意義，只需：，解得：或∴實數(shù)a的取值范圍是或故選：B7．方程的根為（） A． B． C．或 D．或【答案】B【詳解】由，得，即，解得，所以方程的根為.故選：B8．下列對數(shù)式中，與指數(shù)式等價的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于A，等價于，A錯誤；對于B，等價于，B錯誤；對于C，等價于，C正確；對于D，等價于，D錯誤.故選：C.9．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（） A．與 B．與 C．與 D．與【答案】C【詳解】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化可知：對于選項A：等價于，故A正確；對于選項B：等價于，故B正確；對于選項C：等價于，故C錯誤；對于選項D：等價于，故D正確；故選：C.10．已知，，則（） A．25 B．5 C． D．【答案】D【詳解】由得，即，故選：D.11．已知，，那么的值為（） A．8 B．3 C．1 D．【答案】B【詳解】由，得，而，因此，所以故選：B12．方程的解是（） A．1 B．2 C．e D．3【答案】D【詳解】∵，∴