數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題成果報(bào)告

數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題成果報(bào)告——推翻悖論高2014級15班馮靖翔悖論指在邏輯上可以推導(dǎo)出互相矛盾之結(jié)論，但表面上又能自圓其說的命題或理論體系。悖論的出現(xiàn)往往是因?yàn)槿藗儗δ承└拍畹睦斫庹J(rèn)識不夠深刻正確所致。悖論的成因極為復(fù)雜且深刻，對它們的深入研究有助于數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、語義學(xué)等等理論學(xué)科的發(fā)展，因此具有重要意義。其中最經(jīng)典的悖論包括羅素悖論、說謊者悖論、康托悖論等等。首先我舉“說謊者悖論”來讓大家多多少少了解一下“悖論”的感覺——古希臘的“說謊者悖論”被認(rèn)為是最早的悖論。傳說公元前6世紀(jì)，古希臘的克里特島上住著一位名叫伊匹門尼德的人。他年幼時(shí)，有一天跑到一座荒涼的小山丘上玩耍。玩累了以后，就跑去一個(gè)常去的山洞里休息。不料，他在山洞里竟一下子睡著了。這一覺竟然睡了57年。醒來后，他發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)成為一位大學(xué)者，諳熟哲學(xué)和醫(yī)學(xué)，并能預(yù)知將來要發(fā)生的種種事情。于是，道上的人就稱他為“先知”。他喜歡和人討論一些難以解答的事情，借以顯示自己具有非凡的智慧。一天，他在和別人討論關(guān)于克里特島人是否誠實(shí)的問題時(shí)，伊匹門尼德斷言：“所有的克里特島上的人都是說謊者?！薄跋戎钡倪@句話極大地困惑著那里的居民。這句話究竟是真是假呢？結(jié)果，克里特島上的居民對此大傷腦筋。如果“先知”說的這句話是真的，那么“所有的克里特島上的人都是說謊者”就成了一個(gè)事實(shí)，可是伊匹門尼德本身就是克里特島上的居民，這樣一來他說的也就變成了謊話。前后矛盾。而如果“先知”說的是謊話，那么只是一個(gè)克里特島人在說謊，沒有辦法驗(yàn)證“所有的克里特島上的人都是說謊者”是真的。所以伊匹門尼德的這句話要構(gòu)成悖論還存在著一定的缺陷。畢竟“所有的克里特島上的人都是說謊者”，這句話的反面是“并非所有的克里特島上的人都是說謊者”而不是“所有的克里特島上的人都是說真話的”。后來，公元前4世紀(jì)時(shí)，麥加拉學(xué)派的歐布里德把這一“悖論”作了一個(gè)小小的更改——我現(xiàn)在說的是假話。如果這句話是真的，那么可以知道說話者說的是假話啊，矛盾。如果這句話是假的，也就是說“我現(xiàn)在說的是假話”是假的，所以說話者現(xiàn)在說的應(yīng)該是真話，又出現(xiàn)矛盾。這一說法，由真推出假，由假又能推出真?？此破胀ǖ囊痪湓捴两褡屓松钕堇Щ笾小Ｔ趯?shí)際生活中，如果你仔細(xì)觀察、仔細(xì)思考，還真是會(huì)帶來一定的困惑。比如為了制止不文明行為，在墻上寫“不準(zhǔn)在墻上寫字”。到底能不能寫呢？……看完了這個(gè)故事，我想你一定對“悖論”有了一定的了解或興趣。那下面我就來舉幾個(gè)“悖論”的例子并來推翻它們吧。模塊一找錯(cuò)例1如圖1，ABCD是矩形，G是外一點(diǎn)，且CG=CD.試證明：∠DCG=0°圖1圖2證明：如圖2，連接AG,AG的中垂線FH與AD的中垂線EH交于點(diǎn)H.連接AH,BH,CH,GH,則：由中垂線定理以及矩形性質(zhì)易證△ABH全等于△GCH(SSS)∴∠ABH=∠GCH,又∵∠ABH=∠DCH∴∠GCH=∠DCH,∴∠DCG=∠GCH-∠DCH=0°上述證明看一眼就知道：∠DCG不可能為0°，可作輔助線和證明卻又似乎找不出漏洞，這就是“悖論”最精彩的地方，明知道是一個(gè)不可能的事卻用魔術(shù)一般的方式將其做到，要仔細(xì)思考一下也許才能找出其中的漏洞。推翻：再畫另一幅圖的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)疑點(diǎn)——圖3圖4此圖雖未畫標(biāo)準(zhǔn)，但已經(jīng)可以知道GH應(yīng)位于矩形ABCD外側(cè)，此時(shí)△ABH也與△GUH全等，但卻證不到∠DCG=0°.所以說，圖2其實(shí)是出題人為了迷惑我們而可以說是“胡亂”畫的圖，然后再以錯(cuò)答錯(cuò)，完全就是混淆我們的常識，其實(shí)這種悖論，最好先畫一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圖，然后就差不多知道問題出在哪了。同樣，下面的例2也是如此——例2試證明：任意一個(gè)三角形都是等腰三角形證明：如上圖4，任意一個(gè)△ABC,作∠BAC的角平分線AD與BC的中垂線ED交于點(diǎn)D,作DF⊥AB，DG⊥AC，連接BD，CD.則：用HL可以證到△DFB全等于△DGC，得到BF=CG又易證△ADF全等于△ADG，得到AF=AG∴AB=AC∴△ABC是等腰△推翻：同例1，作出標(biāo)準(zhǔn)圖（這里不作），發(fā)現(xiàn)BC的中垂線和∠BAC的角平分線在△ABC中是沒有交點(diǎn)的！這樣作輔助線證不出來。所以上述證明不成立.模塊二“魔毯”例3一個(gè)愛抽煙的老頭，不小心把煙頭掉在了地毯上，結(jié)果把地毯燒出一個(gè)洞。老頭很心疼，請教一位數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家看了看地毯，說：“你這地毯重新拼合一下就可以了?！苯又瑪?shù)學(xué)家提出了一個(gè)拼接方案（原地毯裁成圖5狀，重拼成圖6）。老頭一聽，地毯可以整舊如新，而且面積還不減少，欣喜若狂，但轉(zhuǎn)而一想，感到奇怪，只是剪剪拼拼，燒掉的那部分面積怎么會(huì)補(bǔ)足了呢？圖5圖6圖7（圖5注解：其中ABLG為正方形，AB=12，AC=5，KH=JL=2，HF=IJ=1，GF=EK=7,中間黑色為燒壞部分，是邊長為1的正方形，整塊地毯被分為五塊，4、5兩部分全等）圖6看似把圖5拼的是“天衣無縫”，但想想也知道，這個(gè)方案如空中樓閣，根本不可能實(shí)現(xiàn)。這只是數(shù)學(xué)家給老頭開的一個(gè)玩笑。推翻：如圖7，顯然△ABC~△BDE。而AB=12，AC=5，BD=5，所以，。而從圖7中所注尺寸，DE應(yīng)等于12-7-2-1=2，相差1／12.可見，這個(gè)裁剪法是根本不可能實(shí)現(xiàn)的。但是，由于相差不多，頗有迷惑性。同上例3一題的還有下邊的例4，這里我就不再詳述了——例4（64=65？）（原地毯裁成圖8狀，重拼成圖9）圖8圖9推翻：同上例3一樣，64不可能等于65，仔細(xì)分析一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的秘密。原來，拼成長方形時(shí)，它們的斜縫并不是完全密合的，中間有一條微細(xì)的縫隙，而這個(gè)空隙的面積正好等于一個(gè)小方格。從圖9中仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，斜縫上的四個(gè)紅點(diǎn)并不在一條直線上，而是由它們組成了一個(gè)面積為一個(gè)小方格的微細(xì)的狹長的四邊形。這就是“眼見未必為實(shí)”的體現(xiàn)，所以細(xì)心觀察，認(rèn)真分析是很重要的。模塊三難道π=2嗎？大家都知道，π=3.1415926…，但下面兩個(gè)例子卻證實(shí)了π=2.這究竟是怎么回事呢？我們一起來探個(gè)究竟——例5將一個(gè)半徑為r的球放在半徑為r、長為2πr的半圓柱面狀的槽內(nèi)，槽的內(nèi)部涂滿紅色油漆，將球在槽內(nèi)滾一圈，球表面積全部被沾上紅色油漆，這說明球的表面積等于槽的側(cè)面積。我們知道，球的表面積等于4πr2，而該槽的側(cè)面積等于πr·2πr，即2π2r2。于是有4πr2=2π2r2，所以，π=2.例6已知線段AB=2r。以AB為直徑作半圓，記為eq\o(AB,\s\up4(⌒))。設(shè)AB重點(diǎn)為O，作半圓eq\o(AO,\s\up4(⌒))、eq\o(BO,\s\up4(⌒))，可證eq\o(AB,\s\up4(⌒))=eq\o(AO,\s\up4(⌒))+eq\o(BO,\s\up4(⌒))。再設(shè)AO中點(diǎn)為C，BO中點(diǎn)為D,作半圓eq\o(AC,\s\up4(⌒))、eq\o(OC,\s\up4(⌒))、eq\o(OD,\s\up4(⌒))、eq\o(BD,\s\up4(⌒)),可證eq\o(AB,\s\up4(⌒))=eq\o(AC,\s\up4(⌒))+eq\o(OC,\s\up4(⌒))+eq\o(OD,\s\up4(⌒))+eq\o(BD,\s\up4(⌒))。繼續(xù)取以上各線段的中點(diǎn)，作出更小的一組圓……最后，很密很密的半圓組成的波形曲線的長應(yīng)等于直線段AB。于是eq\o(AB,\s\up4(⌒))=AB，即πr=2r。所以，π=2.推翻：其實(shí)認(rèn)真想一想就不難明白，上述兩例都存在明顯漏洞。第一例的錯(cuò)誤在于當(dāng)球在槽內(nèi)滾動(dòng)的同時(shí)也有滑動(dòng)，也就是說，槽面上的點(diǎn)與球面上的點(diǎn)不是一對一地滾過去的。最明顯的是，開始滾動(dòng)時(shí)與槽邊緣接觸的兩點(diǎn)在球滾動(dòng)時(shí)與槽邊緣上的每一點(diǎn)都接觸?？梢?，球面上的點(diǎn)與槽面上的點(diǎn)不“一樣多”，所以球表面積不等于槽側(cè)面積。第二例的錯(cuò)誤在于“很密很密”的半圓組成的波形曲線并不等于直線段AB。eq\o(AB,\s\up4(⌒))長為2πr；分成兩道弧后波形曲線長為πr+πr=2πr；再分一次后波形曲線長仍為為π+π+π+π=2πr；……可以看出，不管這樣作出的波形曲線怎樣密，其總長都是2πr，當(dāng)然不可能等于直線段AB?！哉f，生活中很多事都可能不是你表