學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的感受

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型的感受一轉(zhuǎn)眼就大三了，在數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院已經(jīng)度過(guò)了三年的光陰了，也學(xué)習(xí)了專業(yè)必修、專業(yè)選修有十幾門課了，例如，數(shù)學(xué)分析，實(shí)變函數(shù)這類基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科，還有矩陣論初步，運(yùn)籌學(xué)這列統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)類學(xué)科，但對(duì)于我們所學(xué)專業(yè)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”中的“應(yīng)用數(shù)學(xué)”類學(xué)科接觸的就比較少，而“數(shù)學(xué)模型”就是一門典型的用用數(shù)學(xué)學(xué)科。學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)模型，給與我的第一個(gè)收獲就是，對(duì)于問(wèn)題的全面分析能力，所謂“全面”，對(duì)于一些問(wèn)題的條件，變量全面的限定，也就是“建模假設(shè)”就拿上課講的一個(gè)例子來(lái)說(shuō)，“雙層玻璃的功效”如圖所示：兩層厚度為d的玻璃家這一層厚度為l的空氣，這樣是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失，我們要建立來(lái)描述熱量通過(guò)窗戶的竄到過(guò)程，并講雙層玻璃窗御用同樣的單層玻璃窗，如圖所示，玻璃厚度為2d的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對(duì)比。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們?cè)诮⒛Ｐ椭笆紫纫M(jìn)行建模問(wèn)題假設(shè)，而在我認(rèn)為這類數(shù)學(xué)模型的建模假設(shè)最重要的變量的設(shè)定。就這道題來(lái)說(shuō)，要假設(shè)熱量的傳播過(guò)程只有傳到，沒(méi)有對(duì)流，而且要假定傳呼的莫風(fēng)行良好，兩層玻璃之間的空氣是不流動(dòng)的；假設(shè)室內(nèi)溫度為T1，室外溫度為T2，且室外溫度保持不變。且假設(shè)熱量傳導(dǎo)過(guò)程為穩(wěn)定狀態(tài)，即沿?zé)崃總鲗?dǎo)方向，單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量為常數(shù)；假設(shè)玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)。這類實(shí)際問(wèn)題的研究對(duì)生活有很大幫助，而這些條件的確定也也是對(duì)于生活質(zhì)量的保證。例如l與d分別取多少熱的傳導(dǎo)最小，也就是保溫效果最好的條件。學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)模型”給予我的第二個(gè)收獲就是鍛煉了思維的邏輯性而且使我們分析問(wèn)提的嚴(yán)謹(jǐn)性。用一個(gè)例子，例如，過(guò)濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系；人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型假設(shè)：1）l1~煙草長(zhǎng)，l2~過(guò)濾嘴長(zhǎng)，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點(diǎn)燃的煙草和過(guò)濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的(單位時(shí)間)吸收率分別是b和b4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，燃燒速度是常數(shù)u，v>>u問(wèn)題的假設(shè)鍛煉的是全面的分析能力，而提升分析能力嚴(yán)謹(jǐn)性能力的步驟也就是下一步，定性分析（1）（2）（3）這個(gè)步驟要求模型建立者根據(jù)上一步“模型假設(shè)”，通過(guò)分析確定上一步假設(shè)所的變量的各種變化引發(fā)結(jié)果的如何變化，這就鍛煉了模型建立者思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，就比如以上式子（1），B，l2的增加同時(shí)M，a,v的減少才會(huì)導(dǎo)致Q的減少，如果思維不嚴(yán)謹(jǐn)，分析的不透徹多算或者少算一個(gè)或幾個(gè)變量都會(huì)引起對(duì)下一步的影響，從而影響整個(gè)模型的建立。所以建立數(shù)學(xué)模型能很好的鍛煉思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型給我的第三個(gè)收獲，也是最大的一個(gè)收獲就是，能幫助我解決一些生活中我所關(guān)心的問(wèn)題。就比如說(shuō)女人永遠(yuǎn)的問(wèn)題——減肥問(wèn)題。下面就減肥問(wèn)題建立一個(gè)模型具體說(shuō)明一下。問(wèn)題的提出：隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營(yíng)養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會(huì)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。無(wú)論從健康角度還是從審美角度，人們?cè)絹?lái)越重視自己形體的健美，從而就導(dǎo)致目前社會(huì)上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營(yíng)養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對(duì)待減肥是我們一定要正確對(duì)待的問(wèn)題，于是了解減肥的機(jī)理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對(duì)于從事某些體育項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員（例如：舉重、體操、游泳等）來(lái)說(shuō)，在比賽前也有都一個(gè)正確減肥的問(wèn)題。問(wèn)題分析與模型假設(shè)人體的脂肪是存儲(chǔ)和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)。對(duì)于一個(gè)成年人來(lái)說(shuō)體重主要有三部分組成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大體上可以認(rèn)為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為4.2*10^7J的能量。記D=4.2*10^7J/kg，成為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。人的體重僅僅看成是時(shí)間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這意味著在研究減肥過(guò)程中，我們忽略了個(gè)體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對(duì)減肥的影響。體重隨時(shí)間是連續(xù)變化的，即w(t)是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認(rèn)為能量的攝取和消耗是隨時(shí)發(fā)生的。不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗與體重有關(guān)，例如：體重分別為50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量顯然不同?？梢?jiàn)，活動(dòng)對(duì)能量的消耗也不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但考慮到減肥的人會(huì)為自己制定一個(gè)合理且相對(duì)穩(wěn)定的減肥計(jì)劃，我們可以假設(shè)在單位時(shí)間(1日)內(nèi)人體活動(dòng)所消耗的能量與其體重成正比，記B為每1kg體重每天因活動(dòng)所消耗的能量。單位時(shí)間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力作用所消耗的能量成正比于人的體重。記C為1kg體重每天消耗的能量。減肥者一般對(duì)自己的飲食有相對(duì)嚴(yán)格的控制，在本問(wèn)題中，為簡(jiǎn)單計(jì)，我們可以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為A?？紤]區(qū)間內(nèi)能量的改變，根據(jù)能量守恒定律有由積分中值定理有其中所以有取取極限得，（*）這就是在一定花間層次上的減肥數(shù)學(xué)模型，我們知道模型的某些假設(shè)不十分合理，但我們希望求解模型（*），下面繼續(xù)求解。模型的求解當(dāng)t=0為模型的初始時(shí)刻，這是人的體重為w(0)=w0,接下來(lái)用積分法求解（*）式，兩邊同乘得，進(jìn)一步得下一步從0到t積分，并利用初始值w(0)=w0得，下面進(jìn)行模型的分析與修改推廣：1）a/b是模型中的一個(gè)重要參數(shù)。A=A/D是每天由于能量的攝入而增加的體重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的體重。2)假設(shè)a=0,即停止進(jìn)食，無(wú)任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時(shí)，不進(jìn)食的節(jié)食減肥法是很危險(xiǎn)的。因?yàn)閘imw(t)=0，即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！實(shí)際上，媒體報(bào)道過(guò)很多例子，都是產(chǎn)生厭食癥從而身體抵抗力減弱，導(dǎo)致其它并發(fā)疾病而死亡。當(dāng)a=0時(shí)，由解式得，，這表明在【0,t】?jī)?nèi)，體重減少的百分比率為，稱之為[0，t]內(nèi)的消耗量率。特別的，是單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，從而可以推出e^(-bt)=w(t)/w0為[0,t]內(nèi)體重保存率，它表明t時(shí)刻體重占初始體重的百分率。基于上面的分析，又解式可知，t時(shí)刻的體重由兩部分組成：一部分是初始體重中由于能量消耗而被保存下來(lái)的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。（3）另外，對(duì)于此模型容易證明，當(dāng)且僅當(dāng)w*<w0時(shí)有dw/dt<0，這表明w*<w0時(shí)才可能產(chǎn)生減肥效果。由解式，limw(t)=a/b=A/(B+C)=w*，所以得到（*）為最終減肥指標(biāo)。到這里減肥的數(shù)學(xué)模型就已建立完成。這個(gè)模型能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的方式直觀的向我們展示出如何減肥是有效果的，而且是無(wú)害的。數(shù)學(xué)模型不僅僅對(duì)我們的生活有幫助，而且對(duì)于生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)的發(fā)展也有很大的幫助。就比如我們所學(xué)的“奶制品的生產(chǎn)與銷售”這一模型，就是從企業(yè)以及消費(fèi)者的雙重利益來(lái)出發(fā)，在工廠級(jí)，從企業(yè)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力原料等條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)指定產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃