新高考數(shù)學二輪復習講義第二十四講隨機變量分布列（含解析）

第二十四講：隨機變量分布列【考點梳理】古典概率列舉法列表法畫樹狀圖法條件概率已知SKIPIF1<0發(fā)生，在此條件下SKIPIF1<0發(fā)生，相當于SKIPIF1<0發(fā)生，要求SKIPIF1<0，相當于把SKIPIF1<0看作新的基本事件空間計算SKIPIF1<0發(fā)生的概率，即SKIPIF1<0．相互獨立事件設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個事件，若SKIPIF1<0，則稱事件SKIPIF1<0與事件SKIPIF1<0相互獨立．隨機變量分布列（1）分布列：若離散型隨機變量SKIPIF1<0可能取的不同值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取每一個值SKIPIF1<0SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0，以表格的形式表示如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0我們將上表稱為離散型隨機變量SKIPIF1<0的概率分布列，簡稱為SKIPIF1<0的分布列．有時為了簡單起見，也用等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的分布列．期望或者均值若離散型隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0稱SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．方差SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的方差，并稱其算術平方根SKIPIF1<0為隨機變量SKIPIF1<0的標準差．兩點分布、二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布兩點分布的均值與方差：若隨機變量SKIPIF1<0服從參數(shù)為SKIPIF1<0的兩點分布，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）二項分布的期望、方差若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）超幾何分布（4）正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0確定，因此正態(tài)分布常記作SKIPIF1<0．如果隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布，則記為SKIPIF1<0．【典型題型講解】考點一：古典概率【典例例題】例1．（2021·廣東汕頭·高三期末）某市場一攤位的賣菜員發(fā)現(xiàn)顧客來此攤位買菜后選擇只用現(xiàn)金支付的概率為0.2，選擇既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付的概率為0.1，且買菜后無賒賬行為，則選擇只用非現(xiàn)金支付的概率為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】C【詳解】設事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，事件C為既用現(xiàn)金支付又用非現(xiàn)金支付，事件D為買菜后支付，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C例2．（2022·廣東揭陽·高三期末）袋中有大小和形狀都相同的3個白球和2個黑球，現(xiàn)從袋中不放回地依次抽取兩個球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取到白球的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】記第SKIPIF1<0次取得白球為事件SKIPIF1<0，故選：C.【方法技巧與總結(jié)】(1)分別求出基本事件的個數(shù)SKIPIF1<0與所求事件SKIPIF1<0中所包含的基本事件個數(shù)SKIPIF1<0；(2)利用公式SKIPIF1<0求出事件SKIPIF1<0的概率．【變式訓練】1．（2022·廣東·一模）從集合SKIPIF1<0的非空子集中隨機選擇兩個不同的集合A，B，則SKIPIF1<0的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：集合SKIPIF1<0的非空子集有SKIPIF1<0共7個，從7個中選兩個不同的集合A，B，共有SKIPIF1<0種選法，因為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0可為SKIPIF1<0共3種，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0共1種，同理當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0可為SKIPIF1<0共3種，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0共1種，則符合SKIPIF1<0的共有SKIPIF1<0種，所以SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022·廣東汕頭·一模）有4名大學生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務.冬奧會志愿者指揮部隨機派這4名志愿者參加冰壺、短道速滑、花樣滑冰3個項目比賽的志愿服務，則每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】先將4人分成3組，其一組有2人，另外兩組各1人，共有SKIPIF1<0種分法，然后將3個項目全排列，共有SKIPIF1<0種排法，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的方法數(shù)為SKIPIF1<0種，因為4名志愿者參加3個項目比賽的志愿服務的總方法數(shù)SKIPIF1<0種，所以每個項目至少安排一名志愿者進行志愿服務的概率為SKIPIF1<0，故選：D3．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點位于SKIPIF1<0的位置”的概率為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由圖可知，若想通過6次移動最終停在-2的位置上，則必然需要向右移動2次且向左移動4次，記向右移動一次為R，向左移動一次為L，則該題可轉(zhuǎn)化為RRLLLL六個字母排序的問題，故落在-2上的排法為SKIPIF1<0所有移動結(jié)果的總數(shù)為SKIPIF1<0，所有落在-2上的概率為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<04．（2022·廣東·鐵一中學高三期末）馬林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物.梅森在歐幾里得?費馬等人研究的基礎上對SKIPIF1<0作了大量的計算?驗證工作，人們?yōu)榧o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0是素數(shù))的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).在不超過40的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，至少有一個為梅森素數(shù)的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】可知不超過40的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37共12個，其中梅森素數(shù)有3，7，37共3個，則在不超過40的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)共有SKIPIF1<0種，其中至少有一個為梅森素數(shù)有SKIPIF1<0種，所以至少有一個為梅森素數(shù)的概率是SKIPIF1<0.故選：A.5．（2022·廣東東莞·高三期末）甲乙兩人在數(shù)獨APP上進行“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時解一道題，先解出題的人贏得一局，假設無平局，且每局甲乙兩人贏的概率相同，先贏3局者獲勝，則甲獲勝且比賽恰進行了4局的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】甲乙兩人各自解題是相互獨立事件，又知每局中甲乙兩人贏的概率相同，即甲贏的概率為SKIPIF1<0，甲輸?shù)母怕蕿镾KIPIF1<0.則甲獲勝且比賽恰進行了4局的比賽情況是：甲在前三局中贏了兩局，第四局贏了.其概率是SKIPIF1<0故選：D6（2022·廣東汕頭·高三期末）“四書”是《大學》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史、思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值．某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動，某班有A、B兩位同學參賽，比賽時每位同學從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則A、B兩位同學抽到同一本書的概率為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】每位同學從這4本書中隨機抽取1本，基本事件總數(shù)為SKIPIF1<0個，其中A、B兩位同學抽到同一本書，基本事件有SKIPIF1<0個，所以A、B兩位同學抽到同一本書的概率為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<07.（2022·廣東珠?！じ呷谀┙臃N疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法．我國自SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月SKIPIF1<0日起實施全民免費接種新冠疫苗．截止到SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種．若SKIPIF1<0人去接種新冠疫苗，恰有SKIPIF1<0人接種同一種疫苗的概率為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，每位接種者等可能地從SKIPIF1<0種任選一種接種，由分步乘法計算原理知，共有SKIPIF1<0不同的結(jié)果，恰有SKIPIF1<0人接種同一種疫苗，可先從5人中任選3人并成一組，有SKIPIF1<0種結(jié)果，這個小團體有SKIPIF1<0種疫苗可選，另外兩人各有SKIPIF1<0種疫苗可選，故共有SKIPIF1<0種，故恰有三人接種同一種疫苗共有SKIPIF1<0種不同結(jié)果，由古典概型概率計算公式得：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.8．（2022·廣東韶關·一模）在某校開展的知識競賽活動中，共有SKIPIF1<0三道題，答對SKIPIF1<0分別得2分?2分?4分，答錯不得分.已知甲同學答對問題SKIPIF1<0的概率分別為SKIPIF1<0，乙同學答對問題SKIPIF1<0的概率均為SKIPIF1<0，甲?乙兩位同學都需回答這三道題，且各題回答正確與否相互獨立.(1)求甲同學至少有一道題不能答對的概率；(2)運用你學過的統(tǒng)計學知識判斷，誰的得分能力更強【答案】(1)SKIPIF1<0(2)乙（1）設甲同學三道題都答對的事件為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以甲同學至少有一道題不能答對的概率為SKIPIF1<0.（2）設甲同學本次競賽中得分為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0分，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的概率分布列為：SKIPIF1<002468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0設乙同學本次競賽中得分為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0分SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的概率分布列為：SKIPIF1<002468SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以乙的得分能力更強考點二：條件概率【典例例題】例1.甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件SKIPIF1<0“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件SKIPIF1<0“甲和乙選擇的飲品不同”，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】事件SKIPIF1<0“甲選擇農(nóng)夫山泉”，則SKIPIF1<0事件SKIPIF1<0“甲和乙選擇的飲品不同”，則事件SKIPIF1<0=“甲選擇農(nóng)夫山泉，乙選擇的是加多寶或者雪碧”所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故選：D【方法技巧與總結(jié)】用定義法求條件概率SKIPIF1<0的步驟（1）分析題意，弄清概率模型；（2）計算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）代入公式求SKIPIF1<0．【變式訓練】1.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學到夫子廟、總統(tǒng)府、中山陵、南京博物館4處景點旅游，每人只去一處景點，設事件SKIPIF1<0為“4個人去的景點各不相同”，事件SKIPIF1<0為“只有甲去了中山陵”，則SKIPIF1<0____________.【答案】SKIPIF1<0【解析】甲、乙、丙、丁四位同學到夫子廟、總統(tǒng)府、中山陵、南京博物館4處景點旅游，共有SKIPIF1<0種不同的方案，事件SKIPIF1<0，“4個人去的景點各不相同”的方案有：SKIPIF1<0種，事件SKIPIF1<0，“只有甲去了中山陵”的方案有SKIPIF1<0種，事件SKIPIF1<0同時發(fā)生的方案有：SKIPIF1<0種，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02．（2022·廣東深圳·一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有3個小孩的家庭，隨機選擇一個家庭，則下列說法正確的是（

）A．事件“該家庭3個小孩中至少有1個女孩”和事件“該家庭3個小孩中至少有1個男孩”是互斥事件B．事件“該家庭3個孩子都是男孩”和事件“該家庭3個孩子都是女孩”是對立事件C．該家庭3個小孩中只有1個男孩的概率為SKIPIF1<0D．當已知該家庭3個小孩中有男孩的條件下，3個小孩中至少有2個男孩的概率為SKIPIF1<0【答案】．D【詳解】A：假設事件A：該家庭3個小孩至少有1個女孩，則包含(女，男，男)的可能，事件B：該家庭3個小孩至少有一個男孩，則包含(女，女，男)的可能，所以SKIPIF1<0，故A錯誤；B：事件“3個孩子都是男孩”與事件“3個孩子都是女孩”不可能同時發(fā)生，是互斥但不對立事件，故B錯誤；C：3個小孩可能發(fā)生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8種，其中只有一個男孩的概率為：SKIPIF1<0，故C錯誤；D：設M={至少一個有男孩}，N={至少有2個男孩}，由選項C可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：D3.端午節(jié)這天人們會懸菖蒲、吃粽子、賽龍舟、喝雄黃酒．現(xiàn)有9個粽子，其中2個為蜜棗餡，3個為臘肉餡，4個為豆沙餡，小明隨機取兩個，設事件A為“取到的兩個為同一種餡”，事件B為“取到的兩個均為豆沙餡”，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意不妨設2個蜜棗餡為：A，B，3個為臘肉餡為：a,b,c，4個為豆沙餡：1，2，3，4，則事件A為“取到的兩個為同一種餡”，對應的事件為:AB,ab,ac,bc,12,13,14,23,24,34,所以SKIPIF1<0，事件AB為“取到的兩個為同一種餡，均為豆沙餡”，對應的事件為：12,13,14,23,24,34,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C4.2022年3月，全國大部分省份出現(xiàn)了新冠疫情，對于出現(xiàn)確診病例的社區(qū)，受到了全社會的關注．為了把被感染的人篩查出來，防疫部門決定對全體社區(qū)人員篩查核酸檢測，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了；如果為陽性，為了明確這k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗．假設在接受檢驗的人群中，隨機抽一人核酸檢測呈陽性概率為SKIPIF1<0，每個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨立的．(1)若該社區(qū)約有2000人，有兩種分組方式可以選擇：方案一是：10人一組；方案二：8人一組．請你為防疫部門選擇一種方案，并說明理由；(2)我們知道核酸檢測呈陽性，必須由專家二次確認，因為有假陽性的可能；已知該社區(qū)人員中被感染的概率為0.29%，且已知被感染的人員核酸檢測呈陽性的概率為99.9%，若檢測中有一人核酸檢測呈陽性，求其被感染的概率．（參考數(shù)據(jù)：（SKIPIF1<0，）【解析】(1)設方案一中每組的化驗次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值為1，11，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0111p0.9700.030SKIPIF1<0．故方案一的化驗總次數(shù)的期望值為：SKIPIF1<0次．設方案二中每組的化驗次數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值為1，9SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<012p0.9760.024∴SKIPIF1<0．∴方案二的化驗總次數(shù)的期望為SKIPIF1<0次．∵260<298，∴方案一工作量更少．故選擇方案一.(2)設事件A：核酸檢測呈陽性，事件B：被感染，則由題意得SKIPIF1<0，由條件概率公式SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，∴該人被感染的概率為SKIPIF1<0.考點三：隨機變量分布列【典例例題】例1．（2022·廣東深圳·高三期末）已知甲、乙、丙三個研究項目的成員人數(shù)分別為20，15，10．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取9人，進行睡眠時間的調(diào)查．(1)應從甲、乙、丙三個研究項目的成員中分別抽取多少人？(2)若抽出的9人中有4人睡眠不足，5人睡眠充足，現(xiàn)從這9人中隨機抽取3人做進一步的訪談調(diào)研，若隨機變量X表示抽取的3人中睡眠充足的成員人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．【解析】(1)分別抽取SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0人(2)分布列見解析，SKIPIF1<0（1）由已知，甲、乙、丙三個研究項目的成員人數(shù)之比為SKIPIF1<0，∴應從甲、乙、丙三個研究項目的成員中分別抽取的人數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴應從甲、乙、丙三個研究項目的成員中分別抽取SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0人；（2）隨機變量SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴隨機變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0隨機變量SKIPIF1<0的數(shù)學期望SKIPIF1<0.例2．（2022·廣東中山·高三期末）某科技公司組織技術人員進行某新項目研發(fā)，技術人員將獨立地進行項日中不同類型的實驗甲、乙、丙，已知實驗甲、乙、丙成功的概率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.（1）對實驗甲、乙、丙各進行一次，求至少有一次成功的概率；（2）該項目研發(fā)流程如下：實驗甲做一次，若成功，則獎勵技術人員SKIPIF1<0萬元并進行實驗乙，否則技術人員不獲得獎勵且該項目終止；實驗乙做兩次，若兩次都成功，則追加技術人員SKIPIF1<0萬元獎勵并進行實驗丙，否則技術人員不追加獎勵且該項目終止；實驗丙做三次，若至少兩次成功，則項目研發(fā)成功，再追加技術員SKIPIF1<0萬元獎勵，否則不追加獎勵且該項目終止.每次實驗相互獨立，用X（單位：萬元）表示技術人員所獲得獎勵的數(shù)值，寫出X的分布列及數(shù)學期望.【解析】（1）SKIPIF1<0；（2）分布列見解析，SKIPIF1<0.【詳解】（1）記實驗甲、乙、丙成功分別為事件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且相互獨立，記事件SKIPIF1<0對實驗甲、乙、丙各進行一次，至少成功一次，則SKIPIF1<0；（2）由題意可知，隨機變量SKIPIF1<0的可能值有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，隨機變量SKIPIF1<0的分布列如下表所示：XSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，隨機變量SKIPIF1<0的數(shù)學期望為SKIPIF1<0（萬元）.例3．（2022·廣東珠海·高三期末）為建設粵港澳大灣區(qū)教育高地，辦人民滿意的教育，深入推進基礎教育課堂教學改革，某高中為了提升教育質(zhì)量，探索了一種課堂教學改進項目．某研究機構(gòu)為了解實施新項目后的教學效果，通過隨機抽樣調(diào)查了該校某年級100位學生，對這些學生的課堂測試成績進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)若這些學生課堂測試成績的分數(shù)X近似地服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均數(shù)SKIPIF1<0（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示），求SKIPIF1<0；(2)為做進一步了解，研究機構(gòu)采用分層抽樣的方法從課堂測試成績位于分組SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的學生中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到分數(shù)位于SKIPIF1<0的人數(shù)SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望．附參考數(shù)據(jù)：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【解析】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析；SKIPIF1<0【分析】（1）先按照直方圖平均數(shù)的定義求出平均數(shù)，然后按照正態(tài)分布的規(guī)律計算即可；（2）按照抽樣的人數(shù)關系，計算出SKIPIF1<0的可能取值，對于SKIPIF1<0每一個取值，用組合的方法算出其概率即可.（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的頻率之比為：SKIPIF1<0，故抽取的10人中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為：2人，4人，4人，隨機變量SKIPIF1<0的取值可以為0、1、2、3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】求解離散型隨機變量分布列的步驟：（1）審題（2）計算隨機變量取每一個值的概率（3）列表：列出分布列，并檢驗概率之和是否為SKIPIF1<0.（4）求解：根據(jù)均值、方差公式求解其值.【變式訓練】1．某中學課外實踐活動小組在某區(qū)域內(nèi)通過一定的有效調(diào)查方式對“北京冬奧會開幕式”當晚的收看情況進行了隨機抽樣調(diào)查．統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，通過手機收看的約占SKIPIF1<0，通過電視收看的約占SKIPIF1<0，其他為未收看者：(1)從被調(diào)查對象中隨機選取3人，其中至少有1人通過手機收看的概率；(2)從被調(diào)查對象中隨機選取3人，用SKIPIF1<0表示通過電視收看的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和期望．【解析】（1）記事件SKIPIF1<0為至少有1人通過手機收看，由題意知，通過手機收看的概率為SKIPIF1<0，沒有通過手機收看的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）由題意知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.2.（2022·廣東惠州·一模）惠州市某高中學校組織航天科普知識競賽，分小組進行知識問題競答.甲乙兩個小組分別從6個問題中隨機抽取3個問題進行回答，答對題目多者為勝.已知這6個問題中，甲組能正確回答其中4個問題，而乙組能正確回答每個問題的概率均為SKIPIF1<0.甲?乙兩個小組的選題以及對每題的回答都是相互獨立，互不影響的.(1)求甲小組至少答對2個問題的概率；(2)若從甲乙兩個小組中選拔一組代表學校參加全市決賽，請分析說明選擇哪個小組更好？【解析】(1)SKIPIF1<0(2)甲小組參加決賽更好（1）甲小組至少答對2道題目可分為答對2題或者答對3題；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求概率SKIPIF1<0（2）甲小組抽取的3題中正確回答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3.SKIPIF1<0，結(jié)合（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設乙小組抽取的三題中正確回答的題數(shù)為Y，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得，甲小組參加決賽更好.3．（2022·廣東湛江·一模）中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟蒼生.中國工程院院士張伯禮在接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人的幾率.對改善發(fā)熱?咳嗽?乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對肺部炎癥的吸收和病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情，醫(yī)護人員對確診患者進行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，平均分成A，B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復的概率都為SKIPIF1<0，B組3人康復的概率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)設事件C表示A組中恰好有1人康復，事件D表示B組中恰好有1人康復，求SKIPIF1<0；(2)若服藥一個療程后，每康復1人積2分，假設認定：積分期望值越高藥性越好，請問甲?乙兩種中藥哪種藥性更好？【解析】(1)SKIPIF1<0(2)甲種中藥藥性更好（1）依題意有，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又事件C與D相互獨立，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）設A組中服用甲種中藥康復的人數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設A組的積分為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設B組中服用乙種中藥康復的人數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為：0,1,2,3,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,設B組的積分為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以甲種中藥藥性更好.4．（2022·廣東汕尾·高三期末）書籍是精神世界的人口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀已成為中學生的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構(gòu)為了解某地中學生的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了n名中學生，對這些人每周的平均閱讀時間（單位：小時）進行統(tǒng)計，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知這n名中學生中每周平均間讀時間不低于16小時的人數(shù)是2人．(1)求n和a的值；(2)為進一步了解這n名中生數(shù)字媒體讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從周平均時間在[8，10），[10，12），[12，14）三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，現(xiàn)從這6人中隨機抽取3人，記周平均閱讀時間在[10，12）內(nèi)的中學生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【解析】(1)100，0.10(2)分布列見解析，期望為1(1)由題意得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(2)依題意，周平均閱讀時間在SKIPIF1<0三組內(nèi)的中學生人數(shù)比為SKIPIF1<0，則6人中周平均閱讀時間在SKIPIF1<0內(nèi)的中學生人數(shù)為2人X的所有可能取值為0，1，2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以X的分布列為X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<05.今年3月份以來，隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā)，國內(nèi)消費受到影響，為了促進消費回暖，全國超過19個省份都派發(fā)了消費券，合計金額高達50億元通過發(fā)放消費券的形式，可以有效補貼中低收入階層，帶動消費，從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能，最終拉動經(jīng)濟增長，除此之外，消費券還能在假期留住本市居民，減少節(jié)日期間在各個城市之間的往來，客觀上能夠達到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應政策號召，組織本單位員工參加抽獎得消費優(yōu)惠券活動，抽獎規(guī)則是：從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的2個黃球、3個紅球的箱子中隨機摸出2個球，若恰有1個紅球可獲得20元優(yōu)惠券，2個都是紅球可獲得50元優(yōu)惠券，其它情況無優(yōu)惠券，則在一次抽獎中：(1)求摸出2個紅球的概率；(2)設獲得優(yōu)惠券金額為X，求X的方差．【解析】（1）記事件A：摸出2個紅球.則SKIPIF1<0.（2）由題意可得：X的可能取值為：0，20，50.則：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.所以數(shù)學期望SKIPIF1<0，方差SKIPIF1<0.6．（2022·廣東廣東·一模）某市教育局對該市普通高中學生進行學業(yè)水平測試，試卷滿分120分．現(xiàn)從全市學生中隨機抽查了10名學生的成績，分別為78，81，84，86，86，87，92，93，96，97．(1)已知10名學生的平均成績?yōu)?8，計算其中位數(shù)和方差；(2)已知全市學生學習成績分布服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，某校實驗班學生30人．①依據(jù)（1）的結(jié)果，試估計該班學業(yè)水平測試成績在SKIPIF1<0的學生人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；②為參加學校舉行的數(shù)學知識競賽，該班決定推薦成績在SKIPIF1<0的學生參加預選賽，若每個學生通過預選賽的概率為SKIPIF1<0，用隨機變量X表示通過預選賽的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．（正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【解析】(1)中位數(shù)為SKIPIF1<0，方差為SKIPIF1<0；(2)①4；②分布列見解析，數(shù)學期望為SKIPIF1<0.（1）這10個數(shù)據(jù)依次為78，81，84，86，86，87，92，93，96，97，所以中位數(shù)為SKIPIF1<0，平均數(shù)為SKIPIF1<0，所以方差SKIPIF1<0.（2）①由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，該班學生成績在SKIPIF1<0的人數(shù)為SKIPIF1<0.②隨機變量SKIPIF1<0，顯然X服從二項分布SKIPIF1<0，其分布列為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0.7.為應對氣候變化，我國計劃在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達峰值，2060年前實現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機抽取50家企業(yè)進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標”企業(yè)：硫排放量X[2.55.5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5.175）[175，20.5）[20.523.5）頻數(shù)56912864(1)假設該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本方差SKIPIF1<0，經(jīng)計算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.試估計這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)；(2)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標”企業(yè)，市政府決定對這8家“超標”企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計劃在這8家“超標”企業(yè)中任取5家先進行跟蹤調(diào)查，設Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望.（參考數(shù)據(jù)：若X~SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.）【解析】（1）由已知，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0所以這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)約為51.（2）由頻數(shù)分布表可知，8家“超標”企業(yè)中碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)有4家，所以Y的可能取值為1，2，3，4，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以Y的分布列為Y1234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<08.某共享單車集團為了進行項目優(yōu)化，對某市月卡用戶隨機抽取了200人，統(tǒng)計了他們在同一月的使用次數(shù)（假設每月使用次數(shù)均在8至36之間）.將樣本數(shù)據(jù)分成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.(1)求圖中的a的值；(2)設該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算），取SKIPIF1<0，若該城市恰有1萬個用戶，試估計這些用戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的人數(shù)：(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機抽取10人，其中月使用次數(shù)在SKIPIF1<0的有Y人，記“事件SKIPIF1<0”的概率為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，1，2，…，10，當SKIPIF1<0最大時，求k的值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以估計1萬個用戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)的人數(shù)為8400；（3）依題意知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，1，2，SKIPIF1<0，10，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大.【鞏固練習】一、單選題1.從3男2女共5名醫(yī)生中，抽取2名醫(yī)生參加社區(qū)核酸檢測工作，則至少有1名女醫(yī)生參加的概率為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】將3名男性醫(yī)生分別設為a，b，c，2名女性醫(yī)生分別設為d，e，這個實驗的樣本空間可記為SKIPIF1<0，共包含10個樣本點，記事件A為至少有1名女醫(yī)生參加，則SKIPIF1<0，則A包含的樣本點個數(shù)為7，∴SKIPIF1<0，故選：C．2．20名學生，任意分成甲、乙兩組，每組10人，其中2名學生干部恰好被分在不同組內(nèi)的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】20名學生，任意分成甲、乙兩組，每組10人，共有SKIPIF1<0種分法；考慮學生干部A，其所在的組有SKIPIF1<0種可能，該組中余下9人有SKIPIF1<0種可能性；故所求概率為SKIPIF1<0．故選：A．3．為進一步強化學校美育育人功能，構(gòu)建“五育并舉”的全面培養(yǎng)的教育體系，某校開設了傳統(tǒng)體育、美育、書法三門選修課程，該校某班級有6名同學分別選修其中的一門課程，每門課程至少有一位同學選修，則恰有2名同學選修傳統(tǒng)體育的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】6名同學分別選修一門課程，每門課程至少有一位同學選修，共有SKIPIF1<0種.恰有2名同學選修傳統(tǒng)體育的情況：SKIPIF1<0種.∴SKIPIF1<0.故選：D4.在某次數(shù)學考試中，學生成績SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的概率是SKIPIF1<0，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績不低于85的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因為學生成績服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以從參加這次考試的學生中任意選取1名學生，其成績不低于85的概率是SKIPIF1<0，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績不低于85的概率是SKIPIF1<0.故選：A.5.新冠肺炎疫情期間，某公司采用網(wǎng)絡遠程面試招聘新員工，其面試方案為：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的應聘者才可通過面試．已知應聘者小王在6道備選題中有4道題能正確完成，2道題不能完成，則小王正確完成面試題數(shù)的均值為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】設小王正確完成的面試題數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為1，2，3．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故選：B．另設小王正確完成的面試題數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：B．二、多選題6．盒中裝有大小相同的5個小球（編號為1至5），其中黑球3個，白球2個.每次取一球（取后放回），則（

）A．每次取到1號球的概率為SKIPIF1<0B．每次取到黑球的概率為SKIPIF1<0C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件D．“每次取到3號球”與“每次取到4號球”是對立事件【答案】AC【解析】對于A，每次取到1號球的概率為SKIPIF1<0，故正確；對于B，每次取到黑球的概率為SKIPIF1<0，故錯誤；對于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之間沒有影響，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件，故正確；對于D，每次取到3號球的概率為SKIPIF1<0，每次取到4號球的概率為SKIPIF1<0，它們互斥事件，而不是對立事件，故錯誤.故選：AC.7.一口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個紅球和2個白球，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從中任取3球，恰有一個白球的概率是SKIPIF1<0B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩個白球的概率為SKIPIF1<0C．從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為SKIPIF1<0D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對選項A,從中任取3球，恰有一個白球的概率是SKIPIF1<0，故A正確；對選項B，從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到白球的個數(shù)SKIPIF1<0，故恰好有兩個白球的概率為SKIPIF1<0；對選項C，從中不放回的取球2次，每次任取1球，記A為“第一次取到紅球”，B為“第二次取到紅球”，則所求概率為SKIPIF1<0，故C錯誤。對選項D，從中有放回的取球3次，每次任取一球，則取到紅球的個數(shù)SKIPIF1<0，至少有一次取到紅球的概率為SKIPIF1<0，故D正確。故選：ABD三、填空題8．現(xiàn)有5名師范大學畢業(yè)生主動要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每個學校至少去1人，則恰好有2名大學生分配到甲校的概率為___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】將5名學生按SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分成3組的不同分法有SKIPIF1<0（種），因此5名學生按每個學校至少去1人，分配到甲、乙、丙三校的不同分法數(shù)為SKIPIF1<0，恰好有2名學生分配到甲校的不同分法數(shù)為SKIPIF1<0，所以恰好有2名大學生分配到甲校的概率SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<08.某校為落實“雙減政策．在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動，現(xiàn)有甲、乙、丙三名同學擬參加籃球、足球、乒乓球三項活動，由于受個人精力和時間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項活動，則恰有兩人參加同一項活動的概率為__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】每人有3種選擇，三人共有SKIPIF1<0種選擇，其中恰有兩人參加同一項活動共有SKIPIF1<0種選擇，所以三人中恰有兩人參加同一項活動的概率為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<09.盒中有2個白球，3個黑球，從中任取3個球，以SKIPIF1<0表示取到白球的個數(shù)，SKIPIF1<0表示取到黑球的個數(shù)．給出下列各項：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0.其中正確的是________．(填上所有正確項的序號)【答案】①②④【解析】由題意可知X服從超幾何分布，η也服從超幾何分布．∴E(X)＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，E(η)＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.又X的分布列X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴E(X2)＝02×SKIPIF1<0＋12×SKIPIF1<0＋22×SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<02＝SKIPIF1<0.η的分布列為η123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴E(η2)＝12×SKIPIF1<0＋22×SKIPIF1<0＋32×SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<02＝SKIPIF1<0.∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正確．故答案為：①②④.四、解答題10．某中學課外實踐活動小組在某區(qū)域內(nèi)通過一定的有效調(diào)查方式對“北京冬奧會開幕式”當晚的收看情況進行了隨機抽樣調(diào)查．統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，通過手機收看的約占SKIPIF1<0，通過電視收看的約占SKIPIF1<0，其他為未收看者：(1)從被調(diào)查對象中隨機選取3人，其中至少有1人通過手機收看的概率；(2)從被調(diào)查對象中隨機選取3人，用SKIPIF1<0表示通過電視收看的人數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和期望．【解析】（1）記事件SKIPIF1<0為至少有1人通過手機收看，由題意知，通過手機收看的概率為SKI