新高考數(shù)學二輪復習講義第二十一講空間向量在立體幾何中的應用（含解析）

第二十一講：空間向量在立體幾何中的應用【考點梳理】1.法向量的求解=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量SKIPIF1<0是平面的法向量，向量SKIPIF1<0是與平面平行或在平面內(nèi)，則有SKIPIF1<0．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向SKIPIF1<0；第二步：那么平面法向量SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0．第三步：化解方程組令SKIPIF1<0其中一個為1，求其它兩個值.2.判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．3.平面與平面的位置關(guān)系平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．4.空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的方向向量，SKIPIF1<0為異面直線所成角的大小，則SKIPIF1<0．（2）線面角公式：設SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的斜線，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小，則SKIPIF1<0．（3）二面角公式：設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，二面角的大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中SKIPIF1<0．5.點到平面的距離SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0外一點（如圖），SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的斜線SKIPIF1<0及垂線SKIPIF1<0．SKIPIF1<0【典型題型講解】考點一：直線與平面所成的角【典例例題】例1．（2022·廣東茂名·一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若三角形AED為等邊三角形，PA=AD=6，F(xiàn)為PB上一點，且SKIPIF1<0，求直線EF與平面PAE所成角的正弦值.【解析】(1)由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，E為CD的中點SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)由（1）得，以點A為原點，分別以AC、AD、AP為x、y、z軸建立空間坐標系.因為三角形AED為等邊三角形，PA=AD=6，SKIPIF1<0CD=12，AC=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.設平面PAE的一個法向量為由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0設直線EF與平面PAE所成的角為SKIPIF1<0SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】設SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的斜線，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小，則SKIPIF1<0．【變式訓練】1．（2022·廣東惠州·一模）如圖1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E為AD的中點，連結(jié)BE，AC交于F，將△ABE沿BE折疊，使得平面ABE⊥平面BCDE（如圖2）.(1)求證：AF⊥CD；(2)求平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值.【解析】（1）連接EC，則△ABE?△BCE?△CDE都是正三角形，四邊形ABCE是菱形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為面SKIPIF1<0面BCDE，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面ABE，所以SKIPIF1<0面BCDE，又因為SKIPIF1<0面BCDE，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知FB?FC?FA兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面ADE的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面AFC的法向量為SKIPIF1<0，設平面AFC與平面ADE的夾角的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值為SKIPIF1<0.2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在五面體ABCDE中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面ACD；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，五面體ABCDE的體積為SKIPIF1<0，求直線CE與平面ABED所成角的正弦值.【解析】若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面ABC，則SKIPIF1<0面ABC，又SKIPIF1<0面ABC，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的一個法向量，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的一個法向量，則SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0面ABC，SKIPIF1<0面ABED，則面ABEDSKIPIF1<0面ABC，故SKIPIF1<0到面ABED的距離，即為△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0上的高，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0上的高SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面ABC，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角梯形，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面ABED的一個法向量，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線CE與平面ABED所成角的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2022·廣東汕頭·一模）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面的內(nèi)接正三角形，且SKIPIF1<0，P是線段SKIPIF1<0上一點.(1)是否存在點P，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由；(2)當SKIPIF1<0為何值時，直線SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角的正弦值最大.【解析】（1）解：由題得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以△SKIPIF1<0是圓的內(nèi)接三角形，所以SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0.假設SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.此時SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：如圖所示，建立以點SKIPIF1<0為坐標原點的空間直角坐標系SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設直線SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當且僅當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角的正弦值最大.考點二：二面角【典例例題】例1．（2021·廣東佛山·一模）某商品的包裝紙如圖1，其中菱形SKIPIF1<0的邊長為3，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進行翻折后，點E，F(xiàn)，M，N匯聚為一點P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹．(1)證明SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；(2)設點T為BC上的點，且二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0，試求PC與平面PAT所成角的正弦值．【解析】(1)由菱形SKIPIF1<0的邊長為3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0在翻折的過程中，垂直關(guān)系保持不變可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0(2)解法一：如圖，以點A為原點，AB為x軸，過點A作AB的垂線為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系．由第（1）問可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由題意可得：SKIPIF1<0考慮SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．利用正弦定理SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，可得點T的坐標為SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0則PC與面PAT所成角的正弦值為SKIPIF1<0．解法二：由第（1）問可知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由題意可得：SKIPIF1<0考慮SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．利用正弦定理SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即點T為BC上靠近點B的三等分點所以在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，設過點C作平面PAT的垂線，垂足為Q，連接PQ，所以SKIPIF1<0為PC與面PAT所成角考慮三棱錐SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以PC與面PAT所成角的正弦值為SKIPIF1<0解法三：由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由題意可得：SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0過點C作CQ垂直于AT于Q，連接CQ、AC則SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面PAT故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與面PAT所成的角，∴SKIPIF1<0即PC與面PAT所成角的正弦值為SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】設SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的兩個半平面的法向量，其方向一個指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個指向二面角的外側(cè)，則二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．【變式訓練】1．（2022·廣東·一模）如圖，SKIPIF1<0為圓柱SKIPIF1<0的軸截面，SKIPIF1<0是圓柱上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的母線.(1)證明：SKIPIF1<0平面DEF；(2)若SKIPIF1<0，當三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】（1）證明：如右圖，連接AE，由題意知AB為SKIPIF1<0的直徑，所以SKIPIF1<0.因為AD，EF是圓柱的母線，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以四邊形AEFD是平行四邊形.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因為EF是圓柱的母線，所以SKIPIF1<0平面ABE,又因為SKIPIF1<0平面ABE，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，DF，SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0平面DEF.（2）由（1）知BE是三棱錐SKIPIF1<0底面DEF上的高，由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即底面三角形DEF是直角三角形.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，即點E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點時，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大,下面求二面角SKIPIF1<0的余弦值：法一：由（1）得SKIPIF1<0平面DEF，因為SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BEF.因為SKIPIF1<0平面BEF，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角,由（1）知SKIPIF1<0為直角三角形，則SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0,所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.法二：由（1）知EA，EB，EF兩兩相互垂直，如圖，以點E為原點，EA，EB，EF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0平面DEF，故平面DEF的法向量可取為SKIPIF1<0.設平面BDF的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.設二面角SKIPIF1<0的平面角為θ,則SKIPIF1<0，由圖可知θ為銳角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.2．（2022·廣東湛江·一模）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】(1)證明：連接SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0是菱形，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0.因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0.又因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，由圖可知，二面角SKIPIF1<0為鈍角，因此，二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0.3．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點），平面SKIPIF1<0平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面ABE；(2)當四棱錐E-ABCD體積最大時，求二面角N-AE-B的余弦值．【解析】(1)證明：如圖所示，取EC的中點的F，連接MF，NF，因為M，F(xiàn)分別為ED和EC的中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：如圖所示，過E作SKIPIF1<0交AB于O，因為平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧SKIPIF1<0的中點，所以O與AB的中點，取CD的中點G，連接OG，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以EO，AB，OG兩兩垂直，以O為原點，分別以AB為x軸，以OE為y軸，以OG為z軸建立空間直角坐標系，設SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖可知二面角SKIPIF1<0的平面角為銳角，所以二成角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．4．（2022·廣東廣東·一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別是AB，AD的中點．(1)證明：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角SKIPIF1<0的大小為60°，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．【解析】(1)連接DM，顯然SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴四邊形BCDM為平行四邊形，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴△SKIPIF1<0是正三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面PAD，又SKIPIF1<0平面PMN，∴平面SKIPIF1<0平面PAD．(2)（方法一）連接BD，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又PD⊥平面ABCD，ADSKIPIF1<0平面ABCD，則PD⊥AD，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面PAB的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而平面ABCD的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（方法二）連接DM，由M為AB的中點，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以BCDM為平行四邊形，故SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0為等邊三角形，在AM上取中點H，連接DH，PH，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABCD，AMSKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的二面角，所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5．（2022·廣東韶關(guān)·一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)點SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點，若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】(1)取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0為直角三角形，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸正方向建立空間直角坐標系如圖所示，則SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的一個法向量設二面角的平面角為SKIPIF1<0，由圖知SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.6.如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面ABCD是平行四邊形，且SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，點E是線段BC（包括端點）上的動點．（1）探究點E位于何處時，平面SKIPIF1<0平面PED；（2）設二面角SKIPIF1<0的平面角的大小為SKIPIF1<0，直線AD與平面PED所成角為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0【解析】（1）過點A作直線SKIPIF1<0，交直線BC于點M，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點A為原點，直線AM?AD?AP分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面PEA的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設平面PED的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，若平面SKIPIF1<0平面PED，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故點E是BC中點或與點C重合時，平面SKIPIF1<0平面PED．（2）SKIPIF1<0平面ADE的一個法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為銳角，SKIPIF1<0．考點三：點到平面距離【典例例題】例1．（2022·廣東中山·高三期末）已知圓錐SKIPIF1<0的底面半徑為2，母線長為SKIPIF1<0，點C為圓錐底面圓周上的一點，O為圓心，D是SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0．（1）求三棱錐SKIPIF1<0的表面積；（2）求A到平面SKIPIF1<0的距離．【解析】解：（1）由已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的表面積等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓錐的高SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0；（2）因為D是SKIPIF1<0的中點，則A到平面SKIPIF1<0的距離即為B到平面SKIPIF1<0的距離，過B作SKIPIF1<0垂足為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0長度即為B到平面SKIPIF1<0的距離，SKIPIF1<0，所以A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.例2.在正方體SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點，過SKIPIF1<0的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F(xiàn)為棱SKIPIF1<0上的動點．（1）點H在棱BC上，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試確定動點F在棱SKIPIF1<0上的位置，并說明理由；（2）若SKIPIF1<0，求點D到平面AEF的最大距離．【解析】（1）設平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．由正方體SKIPIF1<0知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點．（2）以點SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標系，則有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，取等．所以點D到平面AEF的最大距離為SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】如圖所示，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)一點，點SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的任意一點，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，就等于向量SKIPIF1<0在法向量SKIPIF1<0方向上的投影的絕對值，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【變式訓練】1．（2022·廣東梅州·二模）如圖①，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，如圖②，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)當翻折至SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，求線段SKIPIF1<0長的最小值.【解析】(1)證明：因為四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)解：由（1）可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，建立如圖的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0最小值SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0長的最小值為SKIPIF1<0.2.如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，且SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【解析】（1）證明：由題知SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0兩兩垂直如圖，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標系則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由于直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0