求銳角三角函數(shù)值的常用方法及應用(教師版)

求銳角三角函數(shù)值的常用方法及應用一、知識要點：（一）銳角三角函數(shù)定義：在中，，設，，，則有：，，（二）同角三角函數(shù)的關系1.平方關系：：(三)互余兩角的三角函數(shù)關系：（四）特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1二、求銳角三角函數(shù)值的常用方法（一）運用定義求銳角三角函數(shù)值例1.在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為___________．【分析】由，可得，求解，證明，再利用正弦的定義求解即可．解：∵，∴，∴，∴，，，解得：，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應用，銳角的正弦的含義，證明是解本題的關鍵．例2.我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（

）A． B． C． D．解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長，小正方形的邊長，∵，∴，在中，，∴，解得（負值舍去）∴．故選A．例3.如圖，在頂角為的等腰中，，若過點C作CD⊥AB于D，則，根據圖形計算______分析：此題可設，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=ABAD，從而求出tan∠BCD的值.解：由已知設，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=AC=x，則AD2=AC2CD2=（2x）2x2=3x2，∴AD=x，∴BD=ABAD=2xx=（2）x，∴tan∠BCD=．例4.如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，于點D，，若，，則tan∠CBD的值為_____．【解析】由DC平分∠ACB，易證，然后依次求出BE、BC、CD的長即可根據求解．延長BD交AC于E，∵DC平分∠ACB，，∴，∴，，又，∴，∵，∴，∴，∴.【點睛】本題考查等腰三角形的性質、正切，根據DC平分∠ACB，看出是等腰三角形是解題的關鍵．例5.已知在由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，、如圖所示，則____________．解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin60°?a=a，∴tan（α+β）==．故答案為：．（二）巧設參數(shù)求銳角三角函數(shù)值例1.在△ABC中，，，則等于()A.B.C.D.解：設所對的邊分別為，，不妨設，由勾股定理得到，故選：B.例2.如圖，在中，是高，是上一點，交于點，且，則的值是．解：過作于點，過點作于點，設，則，，，∴，，，∵，，∴∽，∴，即，∴，∵∠B＝∠B，∠BHC＝∠BDA，∴∽，∴，即，∴，∵FG∥CH，∴∽，∴，即，∴，∴，【答案】．（三）利用等角轉換求銳角三角函數(shù)值例1.如圖，在中，，AC=BC=4，將折疊，使點A落在BC邊上的點D處，EF為折痕，若AE＝3，則sin∠BFD的值為_______．解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，由折疊的性質得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=3，∴CE=43=1，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=；故答案是：．例2.如圖，在邊長相同的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，與相交于點P，則的正弦值為（

）A．B．C．D．解：取格點，連接、，設網格中每個小正方形的邊長為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：.例3.如圖，在中，，平分交于點，過作交于點，將沿折疊得到，交于點．若，則__________．解：如圖所示，過點作于，∵平分交于點，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設，，則，則，∵∴在中，在中，∴即；解得：∴，則∴故答案為：．（四）利用構造（直角三角形）法求銳角三角函數(shù)值（Ⅰ）化斜三角形為直角三角形求銳角三角函數(shù)值例1.在中,,,，則解：根據題意畫出圖形，如圖所示，過作，交的延長于點，，在，，根據勾股定理得在中，根據勾股定理得則例2.在平面直角坐標系中，已知點和點，則等于________.分析：過A作AC⊥x軸于C，利用A點坐標為（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可計算出OA，然后根據正弦的定義即可得到sin∠AOB的值．解：如圖，過A作AC⊥x軸于C，∵A點坐標（2，1），∴OC=2，AC=1，∴OA=，∴sin∠AOB=．故答案為．【點睛】本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個銳角的正弦等于這個角的對邊與斜邊的比值．也考查了點的坐標與勾股定理．（Ⅱ）利用網格構建直角三角形求銳角三角函數(shù)值例1.如圖所示的網格是邊長為1的正方形網格，，，是網格線交點，則____?！痉治觥孔鰽D⊥BC于D點，在Rt△ABD中根據余弦的定義求解即可．【詳解】如圖，作AD⊥BC于D點，則△ABD為直角三角形，其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，∴，故答案為：．【點睛】本題考查求余弦值，根據余弦的定義構造合適的直角三角形是解題關鍵．例2.如圖，點A，B，C在正方形網格的格點上，則sin∠BAC等于（）A．B．C．D．【解析】根據題意，做出合適的輔助線，然后根據勾股定理的逆定理，可以得到△ACD的形狀，從而可以求得sin∠BAC的值．解：連接CD，點D在格點上，如右圖所示：設每個小正方形的邊長為a，則CDa，ACa，AD2a，∴CD2+AD2＝（a）2+（2a）2＝（a）2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sin∠BAC＝sin∠CAD，故選：A．本題考查解直角三角形、勾股定理，解答本題的關鍵是判斷出△ACD的形狀．例3.如圖，在網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若的頂點均是格點，則的值是（）A、 B、 C、 D、解：延長到，連接，如圖：，，，故選C解析：延長到，連接，由網格可得，即得，可求出答案。（五）利用同角三角函數(shù)關系求銳角三角函數(shù)值例1.若為銳角，，求的值．分析：要求的值，必須利用銳角三角函數(shù)之間的關系找出