2022年全國(guó)統(tǒng)一招生考試第三次模擬考試（一）數(shù)學(xué)（文）試卷

2022屆高三第三次模擬考試卷

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，

并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題

目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜|2'<炳,%€底卜3={x|log2（x—l）=0}，則Ap|B=（）

A.{1,2}B.{2}C.0D.{0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z=a+3i，且zi=/〃+，疔，則。+/篦=（）

A.3B.0C.-3D.-6

「Lr皿/、flogX,0<X<4m/、/、

3.己知函數(shù)〃%）=]'7_2）尤",則"6）=（）

A.1B.2C.log26D.3

4.已知向量8=（1,犯，+2），且a_Lb.若點(diǎn)（x,y）的軌跡過(guò)定點(diǎn),

則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（-2,1）B.（1,-2）C.（-1,2）D.（2,-1）

5.如圖，已知用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的ZXABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為。的正三角形，原

△ABC的面積為（）

C/V

A.近42B.直c.逅/D.逅/

42216

6.果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮

度〃與其采摘后時(shí)間，（天）滿足的函數(shù)關(guān)系式為力=機(jī).a，.若采摘后10天，這

種水果失去的新鮮度為10%,采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%.那

么采摘下來(lái)的這種水果（）后失去40%新鮮度.

A.25天B.30天C.35天D.40天

7.已知圓柱OQ的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1,A,8分別為圓心、圓。|上的點(diǎn),

若AB=2，則異面直線。田，02A所成的角為（）

6336

8.函數(shù)/（x）=3工的圖象大致為（）

c.

9.已知函數(shù)/(x)=AsinOx+e)A>0,6y>0,lel<、的部分圖象如下圖所示，下

A.函數(shù)y=/(x)在囁0上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線》=-1|對(duì)稱

C.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-丑)對(duì)稱

D.該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為/(x)=2sin(2x+q)

10./XABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,右+/+/=]2/A

則△ABC面積的最大值為()

A.氈B.巫C.迪D.J3

555

11.如圖，已知拋物線。:丁2=2〃%5>0)的焦點(diǎn)為/，直線/與°相交于A，B

兩點(diǎn)，與y軸相交于E點(diǎn).已知|AF|=7，忸尸|=3，若/\AEF，ART?"的面積

q

分別為不S2,且興=3,則拋物線。的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

12.若不等式xe,-a(x+3)_alnx20恒成立，則。的取值范圍是()

i122

A.0,-B.c.0,4uD.0,5U[e,e]

ee-ee

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

0<x<2

13.已知實(shí)數(shù)滿足<>20，則z=x+2y的最大值為.

x+y<2

14.某中學(xué)決定從收集到的500份學(xué)生作品中，抽取20份進(jìn)行展示，現(xiàn)采用系

統(tǒng)抽樣的方法，將這500份作品從001到500進(jìn)行編號(hào)，已知第一組中被抽到的

號(hào)碼為013,則所抽到的第10組的號(hào)碼為.

15.已知數(shù)列&｝中，q=L〃（q+「4）=%，〃eN*，數(shù)列［」一］的前〃

項(xiàng)和為5,.若對(duì)于任意的〃eN*，不等式5.<f恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是

16.在人鉆。中，角AB,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若2csinB=（2a+c）tanC,

bsinAsinC=V3sinB,則ac的最小值為--------

三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

17.（12分）某城市有一個(gè)三角形街心廣場(chǎng)A6C，其中鉆=1，cosB=~，在8

3

處有一觀景亭.現(xiàn)將挖掘一個(gè)三角形水池ADC種植荷花，其中。點(diǎn)在BC邊上.

⑵若BD=2DC‘冷第=4垃，求水池”PC的面積.

18.（12分）如圖，在三棱錐S—ABC中，SA=SC,。為AC的中點(diǎn)，SD1.AB.

（1）證明：平面SACJ_平面ABC；

（2）若△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)P在棱SC上，PC=2SP,且

V…=也，求三棱錐A—P8C的體積.

S,~ABC2

19.（12分）某印刷企業(yè)為了研究某種圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)）（單位：元）與印刷

數(shù)量x（單位：千冊(cè)）的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步整理，得到了下面

的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

八每?jī)?cè)成本費(fèi)y/元

20-

15-

10

5-?*

°51015202530印刷數(shù)量x/千冊(cè)

777

S(^-x)2

XyU力（苦刃力3-叫（凹-刃

￡-1￡-1i-1

53.50.22300.77

表中〃.二一1,萬(wàn)二1一7￡〃

為7tr

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：y=a+云與y=c+&哪一個(gè)模型更適合作為該圖書(shū)每?jī)?cè)

X

的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量x的回歸方程？（只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于光的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；

（3）若該圖書(shū)每?jī)?cè)的定價(jià)為9元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)，才能使銷售利潤(rùn)不

低于80000元（假設(shè)能夠全部售出）.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（例,匕），（牡,彩），…，（⑨，匕），其回歸直線丫=網(wǎng)+0的斜

￡（例一砌匕—"）

率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：B='-----------，&e8歷.

￡（供-萬(wàn)）2

/=1

20.（12分）已知橢圓c?E+y2=i，下頂點(diǎn)為A,不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與

4-

C交于P,。兩點(diǎn).

（1）若線段PQ的中點(diǎn)為求直線/的斜率；

（2）若/與y軸交于點(diǎn)5（0,2）,直線AP,AQ分別交x軸于點(diǎn)M,N,求證：M,

N的橫坐標(biāo)乘積為定值.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=lnx+a（x—l）+/?（x—1）~,a,beR.

（1）當(dāng)°=一1，8=（）時(shí)，求證：/（x）40恒成立；

（2）當(dāng)5=一］時(shí)，探討函數(shù)/（%）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在直角坐標(biāo)系x0y中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，龍軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已

知曲線M的極坐標(biāo)方程為夕=2sin0cosg_4cos20+2,直角坐標(biāo)系中曲線N的

222

x=2cos0

~r(。為參數(shù)，0“<2兀)?

)y=\J3sin0

(1)求曲線似的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)曲線M與直角坐標(biāo)系x0)，的x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)3(A、3都

異于原點(diǎn)。)，點(diǎn)C為曲線N上的動(dòng)點(diǎn)，求ZviBC面積的最大值.

23.(10分)【選修4-5：不等式選講】

已知函數(shù)/(x)=|x+2|+|x-l|.

(1)求不等式/(x)>3的解集；

(2)若/(x)的最小值為相，且對(duì)任意正數(shù)。，人滿足a+b=〃2,求絲上1+J■的最

。+1b

小值.

答案

1-12BDAACBBBABBB

13【答案】4

14【答案】238

15【答案】［4,+oo)

16【答案】12

17【答案】(1)(2)變.

93

18(1)因?yàn)镾A=SC且。為AC的中點(diǎn)，所以SOLAC,

又SO_LAB,ACHAB=A，所以SO_L平面ABC,

又SOu平面SAC,所以平面SAC_L平面ABC

(2)因?yàn)椤鰾CD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，故AO=OC=D8=3,

所以且AB7AC?-BC?=36，

由匕詼=九5,得1S^BC-SD=也，解得S0=3,

□—AoC23ZAA6C2

所以AO=DC=OS,故SALSC

過(guò)點(diǎn)尸作PRJ_SDR為垂足，PHLDC,H為垂足，

由PC=2SP,知SR=1SL>=1，RD=2,則P〃=RD=2,

3

VA-PBC=VP-ABC=；SAABC,PH=3下>,

19【答案】(1)y=c+4；(2)5-=1.5+—:(3)12000冊(cè).

XX

2

五

4

20(1)設(shè)由RQ在橢圓C上，則＜2

巧

一

4

兩式相減得(Xf+/)+(y_%)(%+%)=0，即

玉一々4(y+%)

又PQ的中點(diǎn)且R在橢圓C內(nèi)，則玉+々=一2,%+%=1，

所以直線/的斜率為止泣=2.

%!-x22

(2)由題意知，直線/的斜率存在,設(shè)直線/:y="+2,P(xi,yi),Q(x2,y2),

y=kx+2

聯(lián)立2,，得(1+4/)/+16丘+12=0.

—x+y=1

14?

由4=(16人>一48(1+4女2)>0,得/>3,即人一3或左>@,

422

-16k12

且玉十%

1+4/'%1%2=l+4k2

-^,o\

直線AP為丫=，令y=0，得Y=則M

玉1+M1+兇)

同理得N(*-,0

J+%>

匕Ul、l工］工2工1工2九1工2

XmXn=(1+兇)(1+%)=(丁+3)(仇+3)=公32+3%(%+々)+9

__________12_________4

-12公—48d+9(1+4/)-“

所以M,N的橫坐標(biāo)乘積為定值士.

3

21(1)當(dāng)〃=—1，力=0時(shí)，/(x)=Inx—x+1,(%>0),

所以r(x)=L_i=lz2,

XX

令r(x)=o,解得％=i,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f'(x)>0,/(x)為增函數(shù)；

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/。)<0,/(x)為減函數(shù)，

所以/(X)max=/⑴=0，即“X)W()恒成立?

(2)當(dāng)人=一3時(shí)，/(x)=lnx+a(x-l)-￡(x-l)-=lnx+'x-l)(3—x),(x>0)，

令/(x)=lnx+￡(x—l)(3-x)=0,則lnx='|/x-l)(x-3)，

當(dāng)a>0，函數(shù)g(x)='|'(x-l)(x-3)為開(kāi)口向上的拋物線，且g6=g(3)=0,

所以y=lnx與g(x)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=lnx=0,解得x=l,故只有1個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)a<0時(shí),八幻=—+—[1x(3-x