專題02 相似三角形的判定與性質(zhì)（六大類型）（題型專練）（解析版）

專題02相似三角形的判定與性質(zhì)（六大類型）【題型1相似三角形的概念】【題型2三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似】【題型3兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似】【題型4兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似】【題型5相似三角形的性質(zhì)】【題型6相似三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】【題型1相似三角形的概念】1．（2023春?陽信縣月考）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則在網(wǎng)格圖中的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】根據(jù)勾股定理，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝2．所以AB2+AC2＝AB2．所以△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．所以，夾直角的兩邊的比為＝2，觀察各選項，只有C選項中的三角形與所給圖形的三角形相似．故選：C．2．（2022秋?道外區(qū)期末）下列三角形一定相似的是（）A．兩個等腰三角形 B．兩個等邊三角形 C．兩個直角三角形 D．有一角為70°的兩個等腰三角形【答案】B【解答】解：A、等腰三角形的角度不一定相等，各邊也不一定對應(yīng)成比例，故D不符合題意．B、兩個等邊三角形的各角度都為60°，各邊對應(yīng)相等，故A符合題意；C、兩個直角三角形只有一個直角可以確定相等，其他兩個角度未知，故B不符合題意；D、這兩個三角形可能分別為：30°，30°，120°與30°，75°，75°的兩個三角形，故不能判定各有一個角是30°的兩個等腰三角形一定相似，故C不符合題意．故選：B．3．（2022秋?武城縣期末）下列兩個圖形：①兩個等腰三角形；②兩個直角三角形；③兩個正方形；④兩個矩形；⑤兩個菱形；⑥兩個正五邊形．其中一定相似的有（）A．2組 B．3組 C．4組 D．5組【答案】A【解答】解：①不相似，因為沒有指明相等的角或成比例的邊；②不相似，因為只有一對角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因為其四個角均相等符合相似的條件；④不相似，因為沒有指明邊的情況，雖然其四個角均相等，不符合相似的條件；⑤不相似，因為無法得到相等的角或成比例的邊；⑥相似，因為兩正五邊形有相等的角或成比例的邊故正確的有③⑥，故選：A．4．（2022秋?承德縣期末）如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是（）A．①與② B．①與③ C．③與④ D．②與③【答案】B【解答】解：圖形①的三邊為：2，，；圖形②的三邊為：3，，；圖形③的三邊為：2，2，2；圖形④的三邊為：3，，，∵＝，＝＝∴①與③相似，故選：B．5．（2022秋?襄都區(qū)校級期末）下列判斷中，不正確的有（）A．三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似 B．兩邊對應(yīng)成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似 C．斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似 D．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似【答案】B【解答】解：A、三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，故A選項不合題意；B、兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，故B選項符合題意；C、斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似，故C選項不合題意；D、有一個角是100°的兩個等腰三角形，則它們的底角都是40°，所以有一個角是100°的兩個等腰三角形相似，故D選項不合題意；故選：B．【題型2三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似】6．（2022秋?常州期末）如圖，△ABC∽△DEF，則DF的長是（）A． B． C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，即，解得DF＝2，故選：C．7．（2023?隴南模擬）兩個相似三角形的相似比是4：9，則其面積之比是（）A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81【答案】D【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是4：9，∴其面積之比是16：81，故選：D．8．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，則CD的長是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，即＝，解得CD＝2．故選：B．9．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三邊分別長為6，8，10，△DEF的面積為96，則△DEF的周長為48．【答案】48．【解答】解：法一、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝×6×8＝24．∵△ABC∽△DEF，∴兩個三角形的相似比為＝．∵△ABC的周長為6+8+10＝24，∴△DEF的周長＝2×24＝48．故答案為：48．法二、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝×6×8＝24．∵△ABC∽△DEF，∴兩個三角形的相似比為＝．∴△DEF的三邊長分別為12、16、20．∴△DEF的周長＝12+16+20＝48．故答案為：48．10．（2023?惠城區(qū)校級一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面積為81cm2，△DEF的面積為36cm2，且AB＝12cm，則DE＝8cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：△ABC的面積為81cm2，△DEF的面積為36cm2，因而兩個三角形面積的比是81：36，相似三角形面積的比等于相似比的平方，則相似比是9：6，則有12：DE＝9：6解得：DE＝8cm．11．（2022秋?于洪區(qū)期末）兩個相似三角形的周長比是3：4，其中較小三角形的面積為18cm2，則較大三角形的面積為32cm2．【答案】32．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長比是3：4，∴這兩個相似三角形的相似比是3：4，∴這兩個相似三角形的面積比是9：16，∵較小三角形的面積為18cm2，∴較大的三角形面積為，故答案為：32．12．（2022秋?雞西期末）如果兩個相似三角形的周長比為1：6，那么這兩個三角形的面積比為1：36．【答案】1：36．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長之比為1：6，∴它們的相似比為1：6，∴它們的面積比為1：36，故答案為：1：36．13．（2023?長寧區(qū)一模）如果兩個相似三角形的面積比是1：9，那么它們的周長比是1：3．【答案】1：3．【解答】解：∵兩個相似三角形的面積比是1：9，∴兩個三角形的相似比為，1：3，∴它們的周長比是1：3，故答案為：1：3．14．（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE＝4，則BC＝6．【答案】6．【解答】解：∵AD＝6，BD＝3，∴AD：AB＝6：，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，∴BC＝6．故答案為：6．15．（2022秋?零陵區(qū)期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面積為12cm2，則△A′B′C′的面積為27cm2．【答案】27．【解答】解：設(shè)△A′B′C′的面積為Scm2，∵△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面積為12cm2，∴12：S＝9：4，解得S＝27cm2．故答案為：27．【題型3兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似】16．（2022秋?倉山區(qū)校級月考）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求證：△ADE∽△ACB．【答案】證明見解答．【解答】證明：∵AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣5＝3，AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4，∵＝＝，＝＝，∴，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．17．（2021秋?武陵區(qū)期末）如圖，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求證：△ABC∽△AED．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，∴＝＝，∴△ABC∽△AED．18．（2022秋?豐澤區(qū)校級期中）如圖，E是△ABC的邊BC上的點，已知∠BAE＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求證：△ABC∽△AED．【答案】證明過程見解答．【解答】證明：∵，AB＝18，AE＝15，∴＝＝，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED．19．（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求證：△ABC∽△DEF．【答案】證明見解答過程．【解答】證明：∵BF＝3，CF＝5，∴BC＝BF+CF＝8，∵DE＝15，DF＝25．∠E＝90°，∴EF＝＝20，∴，，∴，∵∠B＝∠E＝90°，∴△ABC∽△DEF．【題型4兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似】20．（2022秋?蚌山區(qū)月考）已知：如圖D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求證：△ADE∽△ACB．【答案】證明過程見解答．【解答】證明：∵∠A＝40°，∠C＝80°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵∠AED＝60°，∴∠AED＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．21．（2022秋?龍勝縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高．求證：△ABC∽△CBD．【答案】見解答．【解答】證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BDC，∴∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC．22．（2022?江夏區(qū)模擬）如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求證：△ABC∽△DEC．【答案】見解析過程．【解答】證明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠DCE＝∠ACB，又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC．23．（2021秋?晉江市校級期末）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求證：△AED∽△ADC．【答案】見解答．【解答】解：∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∵∠DEC＝∠B，∴∠ADB＝∠DEC，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，∴∠ADC＝∠AED，∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．24．（2022?南昌模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分線．求證：△ABC∽△BDC．【答案】見解析過程．【解答】證明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC【題型5相似三角形的性質(zhì)】25．（2020秋?思南縣校級月考）判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．【答案】△ABC∽△DEF．理由見解析．【解答】解：△ABC∽△DEF．理由：∵AC＝3，BC＝3.5，AB＝4，DF＝1.8，EF＝2.1，DE＝2.4，∴，∴△ABC∽△DEF．26．（大觀區(qū)校級期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，請判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：觀察圖象可知：∠ACB＝∠DEF＝90°，∵AC＝＝2，EF＝＝4，BC＝＝，DF＝＝2，∴＝＝，∴△ACB∽△FED．【題型6相似三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】27．（2022秋?歷城區(qū)校級月考）如圖，AB∥CD，AC與BD交于點E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的長；（2）求證：△ABE∽△ACB．【答案】（1）12；（2）證明見解析．【解答】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCE，∠ABE＝∠D，∴△ABE∽CDE，∴＝，即＝，∴CD＝12；（2）證明：∵AB＝4，AE＝2，AC＝8，∴＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB．28．（2023?殷都區(qū)一模）如圖，O是直線MN上一點，∠AOB＝90°，過點A作AC⊥MN于點C，過點B作BD⊥MN于點D．（1）求證：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵AC⊥MN，BD⊥MN，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠AOC＝∠BOD+∠AOC，∴∠A＝∠BOD，∴△AOC∽△OBD；（2）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝4，∵△AOC∽△OBD，∴OC：BD＝AC：OD，∴3：BD＝4：3，∴BD＝．29．（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，在菱形ABCD中，點M為對角線BD上一點，連接AM并延長交BC于點E，連接CM．（1）求證：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．【答案】．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，在△ADM和△CDM中，，∴△ADM≌△CDM（SAS），∴CM＝AM．（2）解：過點E作EH⊥MC于點H，∵四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，由（1）知：△ADM≌△CDM∴∠AMD＝∠CMD，∵∠CME＝30°，∴∠AMC＝150°，∴∠AMD＝∠CMD＝75°，又∵∠CMD＝∠CBD+∠MCE，∴∠MCE＝∠CMD﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°∵EH⊥MC，∴△EHC為等腰直角三角形，設(shè)CH＝a，則EH＝a，在Rt△MEH中，∠CME＝30°，EH＝a，∴ME＝2a，由勾股定理得：，∴，∴．30．（2023?港南區(qū)四模）如圖，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求證：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．【答案】（1）證明過程見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED，∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED；（2）解：∵CD＝AC，∴＝，由（1）知△DFC和△AED的相似比為：＝，∴＝（）2＝（）2＝．31．（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，點C是△ABD邊AD上一點，且滿足∠CBD＝∠A．（1）證明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）15．【解答】（1）證明：∵∠CBD＝∠A，∠D＝∠D，∴△BCD∽△ABD；（2）解：由（1）知：△BCD∽△ABD，∴．∵BC：AB＝3：5，∴．設(shè)BD＝3x，則AD＝5x，∴CD＝AD﹣AC＝5x﹣16．∵△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD?CD，∴（3x）2＝5x（5x﹣16），∴16x2﹣80x＝0．解得：x＝0（不合題意，舍去）或x＝5，∴BD＝3x＝15．32．（2022秋?順平縣期末）矩形ABCD中，E為DC上的一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵△AEF是△AED翻折得到，∴∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠FAB＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：由題意可知，AF＝AD＝8，，DE＝EF，設(shè)CE長為x，則，在Rt△ABF中，，∵△ABF∽△FCE，∴，即，解得：．33．（2022秋?南京期末）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，AE，BF交于點G．（1）若＝，求證AE⊥BF；（2）若E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則的值為4．【答案】（1）見解析；（2）4．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCF＝90°，∵＝，∴△ABE∽△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠AEB+∠BAE＝90°．∴∠AEB+∠EBG＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠EGB＝90°．即AE⊥BF；（2）解：過點E作EM⊥BC，交BF于M，設(shè)EM＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCF＝90°，AB＝CD，∴AB∥EM∥CD，∵E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，∴M是BF的中點，∴CF＝2EM＝2x，∴AB＝CD＝4x，∵AB∥EM，∴△ABG∽△EMG，∴＝4．故答案為：4．34．（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學(xué)）如圖，已知△ABC和△AED，邊AB，DE交于點F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的長．【答案】（1）詳見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，∴∠BAC＝2∠EAB＝2∠BAD，∠EAD＝2∠BAD．∴∠BAC＝∠EAD．又∵，∴△AED∽△ABC．（