四川省瀘州市瀘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

瀘縣一中2023年秋期高一期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集、補集運算即可.【詳解】由已知可得，因此，.故選：B2.命題“，”的否定是()A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用全程量詞命題的否定的概念即可求解.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是，.故選：A.3.如果，下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合作差比較，逐項判定，即可求解.詳解】對于A中，由，可得，又由，其中的符號不確定，所以A不正確；對于B中，根據(jù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，可得，即，所以B正確；對于C中，由，由，可得，但的符號不確定，所以C不正確；對于D中，例如：，可得，所以D不正確.故選：B.4.若，且，則（）.A. B.或0 C.或1或0 D.或或0【答案】B【解析】【分析】利用條件，得或，求解之后進行驗證即可．【詳解】解：因為，，

若，則或，解得x＝2或?2或1或0．

①當x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，滿足．

②當x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．

③當x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，滿足．

④當x＝?2，集合A＝{1，4，?2}，B＝{1，4}，滿足．

綜上，x＝2或?2或0．

故選：B．【點睛】本題主要考查集合關(guān)系的應(yīng)用，考查分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)等于A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【詳解】試題分析：因為，所以，故選C.考點：分段函數(shù)的解析式.6.已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A.25 B.16 C.12 D.【答案】A【解析】分析】利用將化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】∵正數(shù)a，b滿足，∴，，等號僅當即時等號成立．故選：A．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.7.若，不等式恒成立，則a的取值范圍是（）A. B. C.{a|a＞1} D.【答案】D【解析】【分析】將已知轉(zhuǎn)化為，，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解.【詳解】由于，不等式恒成立所以，恒成立，即恒成立令，顯然在上單調(diào)遞減，所以實數(shù)a的取值范圍是故選：D【點睛】方法點睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖像在上方即可)；③討論最值或恒成立.8.若函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在為減函數(shù),若,則不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在為減函數(shù),若,畫出函數(shù)的大致圖像,結(jié)合圖像即可求得答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在為減函數(shù),若,畫出函數(shù)的大致圖像,如圖:①當時,即,由,得或解得:.②當時,即由得或解得綜上所述:的取值范圍是.故選:B.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求解函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像,結(jié)合單調(diào)性和奇偶性進行求解,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合A＝{0，1}，則下列式子正確的是（）A.0∈A B.{1}∈AC.??A D.{0，1}?A【答案】ACD【解析】【分析】利用元素與集合，集合與集合的基本關(guān)系判斷.【詳解】解：因為集合A＝{0，1}，所以0∈A，{1}A，?A，{0，1}?A，故選：ACD10.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)相同函數(shù)的定義，定義域和對應(yīng)法則都相同，依次判斷即可【詳解】選項A，兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不同，不是同一函數(shù)；選項B，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都不相同，不是同一函數(shù)；選項C，，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，是同一函數(shù)；選項D，兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相同，與自變量的符號表示無關(guān)，是同一函數(shù).故選：CD11.下列命題中的真命題有（）A.當時，的最小值是3B.最小值是2C.當時，的最大值是5D.對正實數(shù)x，y，若，則的最大值為3【答案】AC【解析】【分析】對A：將目標式進行配湊，再利用基本不等式即可求解；對B：令，構(gòu)造對勾函數(shù)，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果；對C：直接利用基本不等式即可求得結(jié)果；對D：取特殊值，即可判斷正誤.【詳解】對A：當時，，當且僅當，即時取得等號，故A正確；對B：，令，則，令，又在上單調(diào)遞增，故，故的最小值為，也即的最小值為，故B錯誤；對C：，當且僅當，即時取得等號；故當時，的最大值是,故C正確；對D：因為，且，顯然滿足題意，此時有，故D錯誤.故選：AC.12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】一元二次不等式的解的端點即為對應(yīng)的一元二次方程的解，再根據(jù)開口確定的正負.【詳解】因為的解集為，所以，解得，所以A錯誤；對于B：將代入可得，解得，B正確；對于C：不等式的解集為，所以時，C錯誤；對于D：將代入可得，即，解得，D正確，故選：BD第II卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求解.【詳解】不等式等價于，即，對應(yīng)方程的根是和，所以不等式的解集是.故答案為：14.已知，，，，則p是q的________條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充要【解析】【分析】判斷和的真假．【詳解】解析當，時，且成立,當且時，得所以p是q的充要條件.故答案為：充要條件【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，在確定了和的真假后可給出正確選擇．15.函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)的定義域為，等價于恒成立，然后分和兩種情況討論求解即可得答案【詳解】函數(shù)的定義域為，等價于恒成立，當時，顯然成立；當時，由，得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：16.已知是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題知，解不等式組即可得答案.【詳解】解：當時，為減函數(shù)，故又因為是上的減函數(shù)，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記全集，集合，．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合運算，結(jié)合數(shù)軸分析可得；（2）先分析集合A，B的包含關(guān)系，然后利用數(shù)軸討論即可.【小問1詳解】若，則，因為或，所以或.【小問2詳解】若，則，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)，且（1）求解析式；（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】【分析】（1）由題得且，解方程組即得解；（2）利用單調(diào)性的定義判斷證明即可.【小問1詳解】解：且，解得.所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】解：∵.∵，，所以，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增.19.已知定義域在上的奇函數(shù),當時,的圖象如圖所示.（1）請補全函數(shù)的圖象并寫出它的單調(diào)區(qū)間.（2）求函數(shù)的表達式.【答案】（1）如圖所示：的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，即可畫出圖像．（2）令,則，即，再根據(jù)即可寫出，，即可得出答案．【詳解】（1）如圖所示：單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）令,則，又為奇函數(shù)，所以所以【點睛】本題考查利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．20.已知，且（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，求出的最小值，而，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的最大值.【小問1詳解】因為，且，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，【小問2詳解】因為（）恒成立，所以恒成立，因為，，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，所以，所以的最大值為.21.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水背山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元．已知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為400元【解析】【分析】（1）利用，即可求解；（2）對進行化簡，得到，然后分、討論的取值，進而得到答案.【小問1詳解】根據(jù)題意，，化簡得，；【小問2詳解】由（1）得，當時，，當時，，所以，當且僅當時，即時等號成立，因為，所以當時，，故當施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為400元.22.設(shè)二次函數(shù)滿足條件：①當時，的最大值為0，②成立，③；（1）求的解析式；（2）求的解集；（3）求最小的實數(shù)，使得存在實數(shù)，只要當時，就有成立.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)，由得的對稱軸為，再設(shè)二次函數(shù)的頂點式，利用得到的解析式；（2）解一元二次不等式即可；（3）存在性問