2022年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（學(xué)生版+解析版）

2022年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1.（4分）設(shè)全集U={x€R|x'l},集合4={x€R**23},則Cu4=（）

A.[1,V3）B.[1,V3]C.（y，+8）D.西，+8）

2.（4分）復(fù)數(shù)z滿足（l+i）?z=l-i,則z=（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.（4分）從1,2,3,4,5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下（）

A.2B.AC.3D.3

5254

4.（4分）設(shè)/是直線，a,0是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若/〃a,/〃0,貝ija〃0B.若/〃a,/±p,則a_L0

C.若l±a,則D.若l//a,則

5.（4分）已知圓C：（x-3）2+/=9,過點（1,2）的直線/與圓C交于A,則弦AB長度

的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

6.（4分）函數(shù)f（乂）=——-——的圖象大致為（）

1

A.

y

7.（4分）在等差數(shù)列｛的｝中，03+46+49=36,設(shè)數(shù)列｛“"｝的前"項和為S",則Su=（）

A.12B.99C.132D.198

8.（4分）在△ABC中，sin2A=sinBsinC,若/女/-，則/B的大小是（）

3

A.—B.—C.—D.空

6433

9.（4分）“〃?<4”是“2?-〃a+1>0在（1,+8）上恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（4分）設(shè)A,8為拋物線C：y=/上兩個不同的點，且直線AB過拋物線C的焦點凡

分別以A,兩條切線交于點P.則下列結(jié)論：

①點P一定在拋物線C的準線上；

③△孫鳥的面積有最大值無最小值.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）函數(shù)/（x）=lg（x+l）的定義域是.

x+2

12.（5分）在（x3j）7的展開式中，/的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）

2

13.（5分）正項數(shù)列｛〃”｝滿足anaH+2=an+1,neN*.若“5=9,“2a4=1,則ai的值為.

2_

14.（5分）設(shè)點Fi,尸2分別為橢圓C：\-+y2=i的左，右焦點，若使得pF；

成立的點恰好是4個.

x

15.（5分）已知非空集合A,B滿足：AUB=R,AAB=0f（x）=J'對于下列

3x-2,x€B

結(jié)論：

①不存在非空集合對（A,B）,使得/（x）為偶函數(shù)；

②存在唯一非空集合對（A,B）,使得/（x）為奇函數(shù)；

③存在無窮多非空集合對（A,B）,使得方程/（x）=0無解.

其中正確結(jié)論的序號為.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步程或證明過程。

16.（13分）已知函數(shù)/（x）=〃?sin（3x+-^-）（??>0,3>0）只能同時滿足下列三個條件

中的兩個：

①函數(shù)f（x）的最大值為2；

②函數(shù)f（x）的圖象可由產(chǎn)&/⑵-2L）；

4

③函數(shù)f（X）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為TT.

（1）請寫出這兩個條件的序號，說明理由，并求出一（X）；

（2）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c—,q=/（A）,求△ABC面

3

積的最大值.

17.（13分）某學(xué)校高中三個年級共有300名學(xué)生，為調(diào)查他們的課后學(xué)習時間情況，通過

分層抽樣獲得了20名學(xué)生一周的課后學(xué)習時間（單位：小時）:

高一年77.588.59

級

高二年78910111213

級

高三年66.578.51113.51718.5

級

（1）試估計該校高三年級的學(xué)生人數(shù)；

（2）從高一年級和高二年級抽出的學(xué)生中，各隨機選取一人，高一年級選出的人記為甲，

求該周甲的課后學(xué)習時間不大于乙的課后學(xué)習時間的概率：

（3）再從高中三個年級中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周的課后學(xué)習時間分別是8,9,

10（單位：小時）羨，表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為羨，試判斷；-與羨（結(jié)論不要求證明）

X]xox0x1

18.（14分）如圖1,在平面四邊形PZ5C8中，PD//BC,PA^AB=BC=\,工，使得

2

平面SA8_L平面A8CZ）,如圖2所示.

（1）設(shè)平面SCC與平面SAB的交線為/,求證：BCL；

（2）在線段SC上是否存在一點。（點。不與端點重合），使得二面角Q-BO-C的余

弦值為近,請說明理由.

6

⑴若m=-1,

①求曲線f（x）在點（0,f（0））處的切線方程;

②當（1,+8）時，求證：f（x）<?.

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點

22_

20.(15分)已知橢圓C：+^—=1Ca>b>0)的短軸長等于2百」.

a2b22

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過右焦點F作斜率為k的直線I,與橢圓C交于A,B兩點，判斷一嘰是否為定

AB

值

21.(15分)若數(shù)列｛〃”｝中存在三項，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱｛“”｝為“等比源

數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列｛麗｝為4,3,1,2,數(shù)列｛加｝為1,2,6,24,分別判斷｛板｝,｛加｝是否

為“等比源數(shù)列”，并說明理由；

(2)已知數(shù)列｛Cn｝的通項公式為Cn=2〃r+1,判斷｛Cn｝是否為“等比源數(shù)列”，并說明理

由；

(3)已知數(shù)列｛辦｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且diWO,dneZ(n6N*),求證｛辦｝為“等比

源數(shù)列”.

2022年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1.(4分)設(shè)全集U={x€R|x》l},集合A={xCR*|?》3},則CuA=()

A.[1,V3)B.[1,V3]C.(我，+8)D.IA/3.+8)

【解答】解：全集U={xCR|x》l},

集合A={xeR*|/，6}={x|x>V^},

貝底乂={卻★》<企}=口，V3).

故選：A.

2.(4分)復(fù)數(shù)z滿足(l+i”z=l-i,貝ljz=()

A.-iB.iC.-1D.1

【解答】解：???(l+i)?z=l-i,

5

?_2-i=(1-i)=.：

"，z-l+i(1+i)(1-i)

故選：A.

3.(4分)從1,2,3,4,5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下()

A.2B.Ac.3D.3

5254

【解答】解：設(shè)事件4?為第i次抽到偶數(shù)，i=l,2,

-

則P(43)=W'、'魚=2,P(/liT)=Ax—=-i->

8X4325810

...在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第7次抽到奇數(shù)的概率為：

_2

5

故選：D.

4.(4分)設(shè)/是直線，a,0是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()

A.若/〃a,/〃0,貝iJa〃BB.若/〃a,/±p,則

C.若。_1_。，/1a,則D.若&，0,l//a,則LL。

【解答】解：設(shè)/是直線，a,0是兩個不同的平面，

對于A,若/〃a,則a與。相交或平行；

對于8,若/〃a,則由面面垂直的判定定理得aJ_0；

對于C,若a，0,貝心與0平行或/u0；

對于。，若a_L0,則/與0相交，故。正確.

故選：B.

5.（4分）已知圓C：（》-3）2+/=9,過點（1,2）的直線/與圓C交于A,則弦AB長度

的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：設(shè)點（1，2）為。點，

2

?.?圓C：（AT-4）+/=3,

二圓心C（3,0）,

當直線OC垂直于直線/時，弦A8最短，

7lDCl=V（7-l）2+（2-2）2=4V2

：.\AB\min=27r7-|DCI2=2V6-8=2-

故選：B.

6.（4分）函數(shù)f（x）=——-——的圖象大致為（)

Ix|-3X

【解答】解：函數(shù)f(x)=~~--的定義域為“仇r0｝,

Ix|-3X

當x>3時，f(x)=(2)％當x<3時，f(x)=-(A)x.

33

則/(x)在(8,+8)單調(diào)遞減，0)單調(diào)遞增，

故選：D.

7.(4分)在等差數(shù)列｛。"｝中，G+。6+。9=36,設(shè)數(shù)列｛“”｝的前〃項和為S”，則Sn=()

A.12B.99C.132D.198

【解答】解：,."3+〃6+。2=36,

???3。6=36,解得44=12,

11(ai+aii)

???s一二----------L!—=11制=132.

>112

故選：C.

8.(4分)在△ABC中，sin2A=sinBsinC,若/女/匚則/B的大小是()

3

A.—B.—C.—D.空

6433

【解答】解：：在△ABC中，sin2A=sinBsinC/A>^，

3

；.cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC="cosBcosC+sin5A=-cosBcosC+——

42

cosBcosC——,

2

*.*sinBsinC=—,

4

cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=8,即/8-/C=0,

：.ZB^ZC=—jr,

3

故選：C.

9.(4分)V4”是“2?-,〃x+l>0在xe(1,+8)上恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：“#一,依+7>0在(1,+8)上恒成立”，

2

則(5,

X

2

又g(x)=2x+6=2x+工在xe⑸

XX

則g(x)>3,

即znW3,

又“機<4"是“mW3”的必要不充分條件，

即機<4”是“4/-〃tv+l>7在xe(1,+8)上恒成立”的必要不充分條件，

故選：B.

10.(4分)設(shè)A,B為拋物線C：)，=/上兩個不同的點，且直線AB過拋物線C的焦點F,

分別以A,兩條切線交于點P.則下列結(jié)論:

①點P一定在拋物線C的準線上；

②尸PJ_A&

③△以B的面積有最大值無最小值.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：由拋物線知焦點尸（0,1）,可設(shè)直線的方程為），=履+工3,yi）,B（X2,

74

）5）,

聯(lián)立直線與拋物線方程得X1-kx-JL=01+工6=攵，XiX2=-旦，

54

yi+y6=F+Ly\y2=^-f

'7.16

切線AP的方程為y-yi=2x4（x-xi）,化簡得y+yi=6九IR,

同理切線BP的方程為y+”=5g,

聯(lián)立解得p（K,-1）,故①正確；

24

kpF-.-----=-—PF*k—-1,故②正確；

區(qū)k

2

當左=0時，5△陽B有最小值，無最大值.

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）函數(shù)f（x）=-（x；l）的定義域是（-1,+8）.

【解答】解：根據(jù)題意，由［x+l>0,得X>-1,

lx+3盧0

所以函數(shù)/（X）=1g8）的定義域為（-1,

故答案為：（-2,+8）,

12.（5分）在（x34）7的展開式中，/的系數(shù)是35.（用數(shù)字填寫答案）

【解答】解：63」）4的展開式中的通項公式為T，+1=C：（乂6）7-r（工）r=C：x2Ir，

令21-4r=3,

解得r=4,

即/的系數(shù)是c；=35,

故答案為：35.

13.(5分)正項數(shù)列｛“"｝滿足.若45=9,4204=1,則42的值為1

3

【解答】解：?.7〉0,_2,

11anan+2-an+6

aaaa

?.?---n-+--2-~----n-+-l---??二3一二一2

an-Mana3al

，｛a〃｝是等比數(shù)列，設(shè)｛〃〃｝公比為q,且q>2,

4_(1

a8q-9n丁

由〃5=9,。5〃4=1得，＜3

a5qa1q=2(q=3

a2=a7clVX5"

故答案為：1.

3

2門

14.(5分)設(shè)點Fi,尸2分別為橢圓C：^-+y2=l的左，右焦點，若使得pF；,PF；="，

成立的點恰好是4個0(答案不唯--)

【解答】解：當，〃=0時，PF；.pF；=S則PF；J_PF；

由橢圓方程可知，J=4,/=],°2=2,

因為c>b,所以以F1F2為直徑的圓與橢圓有7個交點，

使得畫.畫=3成立的點恰好有4個.

故答案為：0(答案不唯一)

15.(5分)已知非空集合A,8滿足：AU3=R,ACB=0f(x)=(對于下列

3x-2,x€B

結(jié)論:

①不存在非空集合對(A，B),使得/(x)為偶函數(shù)；

②存在唯一非空集合對(A,B),使得/(x)為奇函數(shù)：

③存在無窮多非空集合對(A，B),使得方程f(x)=0無解.

其中正確結(jié)論的序號為①③.

【解答】解：①若x€A,-.YGA3,f(-x)=-x3,f(x)壬/.(-x),

若x&B,-x&B,/(-x)--3x-2,

若x&A,-xEB3,/(-x)--2x-2,f(x)￥于(-x),

若xEB,-xEA,/(-x)--x1,f(x)刊(-x),

綜上不存在非空集合對(A,B)；

②若小=3工-2,貝!]x=6或x=-2,

當8={1},A=CR8時，/(1)=6X1-2滿足當x=4時/=1,所以/Q)可統(tǒng)一為了

(x)—%3,此時/(-X)---f(X)為奇函數(shù)，

當8={-2},A=CRB時，/(-3)=3X(-2)-8=-8滿足當x=-2時-8,

所以/(x)可統(tǒng)一為了(X)=?,此時/(-x)=-x4=-f(x)為奇函數(shù)，

所以存在非空集合對(A,B),且不唯一；

③1?=0解的x=3,3x-2=4解的乂上，

X3

當非空集合對(A,B)滿足6cA且2CB，

3

又因為AUB=R,AAB=0,B),

故答案為：①③.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步程或證明過程。

16.(13分)已知函數(shù)/(x)=msin(a)x+-2L)(/H>0,U)>0)只能同時滿足下列三個條件

6

中的兩個：

①函數(shù)/(x)的最大值為2；

②函數(shù)f(x)的圖象可由y=J^sin(2x-

4

③函數(shù)/(X)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為7T.

(1)請寫出這兩個條件的序號，說明理由，并求出/(X)；

(2)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c—,〃=/(A),求△ABC面

3

積的最大值.

【解答】解：(1)對于函數(shù)/(x)="?sin(u)x+-2L.)(m>0,

6

②函數(shù)f(x)的圖象可由y=Jgsin(2X-2L；③函數(shù)/G)圖象的相鄰兩條對稱軸之

4

間的距離為m

故a)=4,

所以/(x)sin(2x-+^-)>

(2)在aABC中，內(nèi)角A,B,h,c,A=—,

3

所以〃=/(衛(wèi)_)=近，

32

利用余弦定理：/=_2hccosA=h6+c2-bc》bc,

整理得bc<1，

故SAABC="fbcsinA<yXyX'=J.

(1)同時選①函數(shù)/(x)的最大值為2;②函數(shù)/(x)的圖象可由工)的圖象

4

平移得到加出現(xiàn)矛盾；

(1)同時選①函數(shù)/(X)的最大值為6；③函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距

離為it,

整理得"7=2,0)=1,

故函數(shù)f(x)=7sin(x+2L)；

(2)在△ABC中，內(nèi)角A,B,b,c,,

3

TT

a=f(A)=2sin—=2;

利用余弦定理：a2=Z?2+c2-6bccosA—b2+ci-bc^bc,

整理得兒<7,

故SAABC^bcsinA<yX4X華=V3;

17.(13分)某學(xué)校高中三個年級共有300名學(xué)生，為調(diào)查他們的課后學(xué)習時間情況，通過

分層抽樣獲得了20名學(xué)生一周的課后學(xué)習時間(單位：小時)：

高一年77.588.59

級

高二年78910111213

級

高三年66.578.51113.51718.5

級

(1)試估計該校高三年級的學(xué)生人數(shù)；

(2)從高一年級和高二年級抽出的學(xué)生中，各隨機選取一人，高一年級選出的人記為甲,

求該周甲的課后學(xué)習時間不大于乙的課后學(xué)習時間的概率：

(3)再從高中三個年級中各隨機抽取一名學(xué)生，他們該周的課后學(xué)習時間分別是8,9,

10(單位：小時)羨，表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為立，試判斷「-與羨(結(jié)論不要求證明)

X]xox0x1

【解答】解：(1)抽出的20名學(xué)生中，來自高三的有8名，

根據(jù)分層抽樣方法，估計高二的學(xué)生人數(shù)為：

300X_L=120(人).

20

(2)設(shè)事件4?表示“高一年級的第i名學(xué)生”，i=5,2,3,6,5,

事件Cj表示“乙是高二年級的第，名學(xué)生"，_/=1,3,3,4,8,6,7,

由題意尸(A；)P(Cj)P(A,Cj)—P(Az)P(Cj)——X—

565735

設(shè)事件M表示“該周甲的課后學(xué)習時間大于乙的課后學(xué)習時間”，

由題意PCM)=P(A6C1)+P(A3c8)+P(A4C1)+P(AsCi)+P(A4c8)+P(A5c2)

=7X_L=_^_,

3535

該周甲的課后學(xué)習時間不大于乙的課后學(xué)習時間的概率為：

P(M)=4-尸CM)=空

35

(3)一―=7+7.4+8+8.3+9=6,一_=7+8+6+10+11+12+13

'/高—5'x高二y，

___6+3.5+7+5.5+11+13.5+17+18.4_

X高三一8一，

三組總平均值：=40+70+88=3.9,

X。20

加入的三個數(shù)8,6,10的平均數(shù)為9,比7小，

x0

?一>一

,,X]

18.(14分)如圖1,在平面四邊形PDCB中，PD//BC,%=AB=8C=1,AO=工，使得

2

平面SAB_L平面ABCZ),如圖2所示.

(1)設(shè)平面SOC與平面SAB的交線為/,求證：BC±h

(2)在線段SC上是否存在一點。(點Q不與端點重合)，使得二面角。-3。-C的余

弦值為丑，請說明理由.

6

【解答】（1）證明：延長BA,C。相交于點E,則SE為平面SC。與平面SBA的交線/.

證明如下：

由平面SABJ_平面ABC。，BA1AD,

且平面SASH平面ABCD=AB,所以AO_L平面SAB,

又由4￡>〃8C,所以BC_L平面S4B,

因為SEu平面S4B,所以BULSE.

⑵解:由⑴知:SA±AB,ADLAB,

以A為坐標原點，以A。，AS所在的直線分別為x軸，如圖所示，

￡

可得

A(0,0,4),B(0,1,6),C(l,1,4),D(-1,3,0),S(0,6,1)，則

BD=(y?T,0)'

設(shè)西=入豆（其中4V入VI）,入1-入）而=（入,X-4,I-%）>

—?.I

n-BD=yx-y=O

設(shè)平面。80的法向量為1=(X,y,z)，則，

nBQ=入x+(入-l)y+(4-入)z=0

令x=2,可得y=2,z=^4；；=(2,1,哈;一)，

D-A1-A

又由SA_L平面BDC,所以平面8OC的一個法向量為\=(3,Q,1)，

13-3入

L-\_Imm-n=—=-^-?解得X

則cos'、m，n/1—?

|m|nzl-3)2」63

4+(TT

所以存在點。為SC的中點時，使得二面角Q-BD-C的余弦值為限.

6

19.(15分)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+w/n(x+1)(/z?eR).

(1)若m=-1,

①求曲線/(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

②當xC(1,+8)時，求證：f(x)</.

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點

2

【解答】解：⑴①當m=-1時,/(%)=/-加(x+5),f，(x)=2x-~^Jx+7'-1

x+6x+1

/(0)=-2,f(0)=0,

可得曲線/(x)在(0,/(0))處的切線方程4=-1(x-1)；

②證明：令h(x)=/(x)-x7-x3+x2-In(x+7),則

13x3+(x-1)6

h'(x)=-3X2+8X-

x+1x+1

當xe(1,+8),h(x)在(8,

又因為%(1)=-ln2<0,所以〃(x)<62-In(x+1)<x6,即/(x)<小,

即當xe(1,+8)時5；

3x2+2x+m

(2)由函數(shù)/(x)—x1+mln(x+1),xG(3,可得f，(x)=2x+m

x+1x+7

令g(x)=2x1+5x+m(x6(0,1)),

當/n22時，g(x)>0,f(x)在(0,

因為/(O)=5,所以/(x)>f(0)=0,

所以在區(qū)間(0,8)上沒有零點,

當機VO時，g(x)=2/+2x+機的圖像開口向上，且對稱軸為戶一L

x2

由g(1)=2+2+mW2,解得mW-4f

當mW-4時，g(x)V4在區(qū)間(0,

即/(x)<0,f(x)在區(qū)間(6,因為/(0)=0,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,3)上沒有零點，

綜上可得-4WmV0,

設(shè)X7W(0,1)使得g(X8)=0,

當尤E(0,X7)時，g(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當尤(刈，5)時，g(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

因為/(0)=0,要使得函數(shù)/(x)在區(qū)間(8,

則滿足/(I)1+mln(1+4)>0,解得私〉——>

ln4

所以實數(shù)膽的取值范圍為(=—,8)-

ln2

22_

20.(15分)已知橢圓C：Ca>b>0)的短軸長等于

a2b22

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過右焦點尸作斜率為k的直線/,與橢圓C交于A,8兩點，判斷膽工是否為定

lABI

值

24

【解答】解：(1)由橢圓C：C：2二，^=1(〃>42)的短軸長等于2M3,

a2b22

’2b=2?

可得<a=2c,

解得“=3,b=\[3,

22

所以橢圓的方程為“上=5；

43

26

（2）由橢圓的方程三-￡=1,7）,

43

y=k（x-1）

聯(lián)立方程組|v22,整理得（4必+7）/-8dx+4必-12=5,

設(shè)A(xi,yi),B(x8,y2)