高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學(xué)生

課題：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理知識點1．分類加法計數(shù)原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=++……+種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理（乘法原理）的概念一般形式：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法．3．兩個原理的區(qū)別：（1）“每類”間與“每步”間的關(guān)系不同：分類加法計數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間的任何一種方法都是相互獨立，互不依賴的，且是一次性的；而分步乘法計數(shù)原理中的每一步是相互依賴，且是連續(xù)性的．（2）“每類”與“每步”完成的效果不同：分類加法計數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后，整個事件就完成了，而分步乘法計數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事．4．切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行，同時要優(yōu)先考慮題中的限制條件．【注1】1．計數(shù)問題中如何判定是分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理：如果已知的每類方法中的每一種方法都能單獨完成這件事，用分類加法計數(shù)原理；如果每類方法中的每一種方法只能完成事件的一部分，用分步乘法計數(shù)原理．2．利用分類計數(shù)原理解決問題時：（1）將一個比較復(fù)雜的問題分解為若干個“類別”，先分類解決，然后將其整合，如何合理進行分類是解決問題的關(guān)鍵．（2）要準確把握分類加法計數(shù)原理的兩個特點：①根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏；②分類時，注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)；=3\*GB3③對于分類問題所含類型較多時也可考慮使用間接法．3．利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意：（1）要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件．（3）對完成各步的方法數(shù)要準確確定．4．用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步．（1）分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．（2）分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．（3）對于復(fù)雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析，使問題形象化、直觀化．（4）在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理．5．在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么．（1）分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．（2）分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的．6．分類加法計數(shù)原理的兩個條件：（1）根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；（2）完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理．分步乘法計數(shù)原理的兩個條件：（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．（2）將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵．從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．7應(yīng)用兩種原理解題（1）分清要完成的事情是什么？（2）分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；（3）有無特殊條件的限制；（4）檢驗是否有重漏．8．涂色問題：涂色問題是由兩個基本原理和排列組合知識的綜合運用所產(chǎn)生的一類問題，這類問題是計數(shù)原理應(yīng)用的典型問題，由于涂色本身就是策略的一個運用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標高考的命題熱點．涂色問題的關(guān)鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色，具體操作法和按照顏色的數(shù)目進行分類法是解決這類問題的首選方法．涂色問題的實質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類．涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結(jié)合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理．【注2】（1）用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是在開始之前要進行仔細分析——需要分類還是需要分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．（2）兩個原理的區(qū)別：①“每類”間與“每步”間的關(guān)系不同：分類加法計數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間的任何一種方法都是相互獨立，互不依賴的，且是一次性的；而分步乘法計數(shù)原理中的每一步是相互依賴，且是連續(xù)性的．②“每類”與“每步”完成的效果不同：分類加法計數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后，整個事件就完成了，而分步乘法計數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事．（3）本題定義了新概念“回文數(shù)”，然后以此為出發(fā)點設(shè)置了求五位“回文數(shù)”的個數(shù)問題．求解時充分依據(jù)題設(shè)條件與“回文數(shù)”的定義，運用分步、分類計數(shù)原理，逐一分析探求“回文數(shù)”的形成過程，從而確定其個數(shù)使得問題獲解．典型例題例1圖書館的書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取一本書，共有（ ）種不同的取法．A．120 B．16C．64 D．39例2只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，則這樣的四位數(shù)有 （）A．6個 B．9個 C．18個 D．36個例3如圖所示，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A．24B．18C．12D．9例4某校的A、B、C、D四位同學(xué)準備從三門選修課中各選一門，若要求每門選修課至少有一人選修，且A,B不選修同一門課，則不同的選法有（）A．36種B．72種C．30種D．66種例5用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A．144個B．120個C．96個D．72個例6圖書館的書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取一本書，共有（ ）種不同的取法．A．120 B．16C．64 D．39例7只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，則這樣的四位數(shù)有 （）A．6個 B．9個 C．18個 D．36個例8某通訊公司推出一組卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10000個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶數(shù)字“5”或“8”的一律作為“金馬卡”，享受一定優(yōu)惠政策，則這組號碼中“金馬卡”的個數(shù)為（）A．2000B．4096C．5904D．8320例9某班2名同學(xué)準備報名參加浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)和上海交大的自主招生考試，要求每人最多選報兩所學(xué)校，則不同的報名結(jié)果有（）．33種．24種．27種．36種例10從1,2,…，9這九個數(shù)字中，任意抽取兩個相加所得的和為奇數(shù)的不同代數(shù)式的種數(shù)是（）A．6B．9C．20D．25例11按ABO血型系統(tǒng)學(xué)說，每個人的血型為A，B，O，AB型四種之一，依血型遺傳學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)父母中至少有一人的血型是AB型時，子女的血型一定不是O型，若某人的血型的O型，則父母血型的所有可能情況有（）A．12種B．6種C．10種D．9種例12有5列火車停在某車站并列的5條軌道上，若火車A不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有（）A．96種B．24種C．120種D．12種例13把5名師范大學(xué)的畢業(yè)生分配到A、B、C三所學(xué)校，每所學(xué)校至少一人。其中學(xué)數(shù)學(xué)的兩人，學(xué)語文的兩人，學(xué)英語的一人，若A校不招收同一學(xué)科的畢業(yè)生，則不同的分配方法共有（）A．148種B．132種C．126種D．84種例14一個盒子里有5個分別標有號碼為1，2，3，4，5的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是4的取法有__________．例15某校選定甲、乙、丙、丁、戊共名教師去個邊遠學(xué)校支教，每學(xué)校至少人，其中甲和乙必須在同一學(xué)校，甲和丙一定在不同學(xué)校，則不同的選派方案共有__________種．例16某校高三年級5個班進行拔河比賽，每兩個班都要比賽一場．到現(xiàn)在為止，1班已經(jīng)比了4場，2班已經(jīng)比了3場，3班已經(jīng)比了2場，4班已經(jīng)比了1場，則5班已經(jīng)比了______場．舉一反三1．在中國文字語言中有回文句，如：“中國出人才人出國中．”其實，在數(shù)學(xué)中也有回文數(shù)．回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如：3位回文數(shù)：101，111，121，…，191，202，…，999，則5位回文數(shù)有A．648個 B．720個C．900個 D．1000個2．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有（）A．250個B．249個C．48個D．24個3．在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為（）A．10B．11C．12 D．154．某班元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為______．5．設(shè)，，，若以，，為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三角形有__________個．6．某學(xué)校需從3名男生和2名女生中選出4人，分派到甲、乙、丙三地參加義工活動，其中甲地需要選派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要選派1人，則不同的選派方法的種數(shù)是（）A．18B．24C．36D．427．11月11日這一天被稱為“百年一遇的光棍節(jié)”，因為這一天中有6個“1”，如果把“20111111”中的8個數(shù)字順序任意排列，可以組成的八位數(shù)共有（）A．49個B．36個C．28個D．24個8．有5列火車停在某車站并列的5條軌道上，若火車A不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有（）A．96種B．24種C．120種D．12種9．八個一樣的小球按順序排成一排，涂上紅、白兩種顏色，5個涂紅色，三個涂白色，恰好有三個連續(xù)的小球涂紅色，則涂法共有（）．A．12B．24C．36 D．4810．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A．144個B．120個C．96個D．72個11．八個一樣的小球按順序排成一排，涂上紅、白兩種顏色，5個涂紅色，三個涂白色，恰好有三個連續(xù)的小球涂紅色，則涂法共有（）．A．12B．24C．36 D．4812．某班元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為______．13．設(shè)，，，若以，，為三條邊的長可以構(gòu)成一個等腰（含等邊）三角形，則這樣的三角形有__________個．課后練習(xí)1．在某商業(yè)促銷的最后—場活動中，甲、乙、丙、丁、戊、已名成員隨機抽取個禮品，每人最多抽一個禮品，且禮品全被抽光，個禮品中有兩個完全相同的筆記本電腦，兩個完全相同的山地車，則甲、乙兩人都抽到禮品的情況有（）A．種B．種C．種D．9種2．某校的A、B、C、D四位同學(xué)準備從三門選修課中各選一門，若要求每門選修課至少有一人選修，且A,B不選修同一門課，則不同的選法有（）A．36種B．72種C．30種D．66種3．如圖，在A、B間有四個焊接點，若焊接點脫落，而可能導(dǎo)致電路不通，如今發(fā)現(xiàn)A、B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有（）A．10B．13C．12D．154．某學(xué)校需從3名男生和2名女生中選出4人，分派到甲、乙、丙三地參加義工活動，其中甲地需要選派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要選派1人，則不同的選派方法的種數(shù)是（）A．18B．24C．36D．425．某班2名同學(xué)準備報名參加浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)和上海交大的自主招生考試，要求每人最多選報兩所學(xué)校，則不同的報名結(jié)果有（）．33種．24種．27種．36種6．將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，若只有5種顏色可供使用,則不同的染色方法總數(shù)有（）A．240種B．300種C．360種D．420種7．把5名師范大學(xué)的畢業(yè)生分配到A、B、C三所學(xué)校，每所學(xué)校至少一人。其中學(xué)數(shù)學(xué)的兩人，學(xué)語文的兩人，學(xué)英語的一人，若A校不招收同一學(xué)科的畢業(yè)生，則不同的分配方法共有（