專題7.4 數(shù)列求和（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學一輪復習題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題7.4數(shù)列求和題型一倒序相加法題型二分組求和法題型三并項求和法題型四奇偶數(shù)列求和題型五裂項相消法題型六含絕對值數(shù)列求和題型七數(shù)列求和與不等式題型一 倒序相加法例1．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，設，．(1)計算的值．(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)2(2)【分析】（1）直接計算可得答案；（2）由（1）的計算結果，當時，利用倒序相加法可得答案.【詳解】（1）；（2）由題知，當時，，又，兩式相加得，所以，又不符合，所以.例2．（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)，則__________；數(shù)列滿足，則這個數(shù)列的前2015項的和等于__________.【答案】/1007.5【分析】根據(jù)，化簡即可，再利用倒序相加法即可求得答案.【詳解】由，得，所以，設數(shù)列前項之和為，則，，兩式相加得，所以，即這個數(shù)列的前2015項的和等于.故答案為：；.練習1．（2022秋·天津南開·高三天津市天津中學?？计谀┮阎瘮?shù)，數(shù)列滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【答案】A【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.【詳解】∵，∴．∵，∴．令，則，兩式相加得，∴．故選:A練習2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中校考期末）已知函數(shù)，則________.【答案】/【分析】可令，，利用倒序相加法，將角度之和為的兩項結合（如化簡整理即可．【詳解】解：，，令，①，②①②得：，，即．故答案為：.練習3．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件得，再利用倒序相加法即可求解.【詳解】由，得，所以，設,,由，得即，于是有，解得，所以.故答案為：.練習4．（2023·全國·高三專題練習）已知，則______.【答案】4042【分析】先判斷函數(shù)的對稱性，然后用倒序相加法求和..【詳解】由，令可得，，且，則，所以，函數(shù)關于點對稱，即由已知，，又兩式相加可得，所以，.故答案為：4042.練習5．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，設，．求數(shù)列的通項公式．【答案】【分析】通過，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.【詳解】；時，，，相加得，所以，又，所以對一切正整數(shù)，有；題型二 分組求和法例3．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件建立關于的方程組，然后解出即可得答案；（2）利用分組求和法求出答案即可.【詳解】（1）∵，∴，，解得，∴；（2）由題可知，∴，∴，例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大學附屬中學校考期中）已知等差數(shù)列滿足，．(1)①求公差；②求數(shù)列的通項公式；③設數(shù)列的前項和為，求使得最小的的值；(2)若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．①求數(shù)列的通項公式；②求數(shù)列的前項和．【答案】(1)①；②；③，當時，取最小值(2)①；②【分析】（1）①根據(jù)直接求解；②根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得的表達式；③根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求得，利用二次函數(shù)的基本性質可求得當取最小值時的值；（2）①求出數(shù)列的通項公式，結合數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；②利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：①因為，，則；②；③，由二次函數(shù)的基本性質可知，當時，取最小值.（2）解：①因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，；②.練習6．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？计谥校┰O等比數(shù)列的前項和為，公比，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和為.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分組求和即可求解.【詳解】（1）解：，解得，；（2）

.練習7．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知的面積為1，點D，E，F(xiàn)分別為線段，，的中點，記的面積為；點G，H，I分別為線段，，的中點，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點后，得到的三角形面積記為．(1)求，，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相鄰兩個三角形的面積關系可得，即可求解通項，（2）先利用并項求和法求得為偶數(shù)的情況的和，再利用所得結論求得奇數(shù)的情況的和，然后寫成分段形式.【詳解】（1）由題意可知,，...，由此可知，故是以公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由得，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，故.練習8．（2023春·北京豐臺·高三北京市第十二中學校考期中）已知數(shù)列的前n項和為，且，，則使得成立的n的最小值為（

）A．32 B．33 C．44 D．45【答案】D【分析】分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，得到的通項公式，進而分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況求和，解不等式，求出答案.【詳解】①，當時，②，兩式相減得，當為奇數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為4，公差為4，所以，中，令得，故，故當為偶數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為2，公差為4，所以，所以當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，令，解得，當為偶數(shù)時，令，解得，所以成立的n的最小值為.故選：D練習9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，．(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）計算，確定，得到證明.（2）計算，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式結合分組求和法計算得到答案.【詳解】（1），則，，故是以首項為3，公比為3的等比數(shù)列．（2），故，.練習10．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求.【答案】(1)；(2)1024144.【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，分奇偶討論求出的通項公式.（2）利用（1）的結論，利用分組求和法，結合等差數(shù)列前n項和公式求解作答.【詳解】（1）數(shù)列滿足：，，，當時，，數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，因此，即當為偶數(shù)時，，當時，，即，由，得，因此，即當為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，.題型三 并項求和法例5．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）已知公差不為零的等差數(shù)列的首項為1，且是一個等比數(shù)列的前三項，記數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前20項的和．【答案】(1)，(2)210【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質計算即可；（2）利用分組求和法求和即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，又，所以．因為是一個等比數(shù)列的前三項，所以．即又，所以所以數(shù)列的通項公式為，（2）由（1）知數(shù)列的前項和所以，數(shù)列的前20項的和為例6．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前2023項和.【答案】(1)(2)1012【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及給定的條件求出公差d和；（2）根據(jù)數(shù)列的周期性求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，對于任意，有，所以，故數(shù)列的前2023項和為.練習11．（2023·全國·高三專題練習）設是數(shù)列的前n項和，已知，.(1)求，；(2)令，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關系即可聯(lián)立求解，（2）根據(jù)偶數(shù)項和奇數(shù)項的關系可得，進而根據(jù)分組求和即可.【詳解】（1）由得即，即，又，所以，（2）當時，，當時，，兩式相加可得，得，由于，所以練習12．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，…，是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列前2n項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列前n項求和公式可得當時，，驗證符合該式即可；（2）由（1）可得，，結合等差數(shù)列前n項求和公式計算即可求解.【詳解】（1）當時，，又，符合上式，∴；（2）由（1）知，，，∴.練習13．（2023·全國·模擬預測）記為正項數(shù)列的前項和，已知．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由可得出的值，當時，由可得，兩式作差可推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，計算出，然后分為偶數(shù)、為奇數(shù)兩種情況討論，利用分組求和法可求得的表達式.【詳解】（1）由，得，當時，，解得，當時，，所以，整理得，對任意的，，則，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故（2）由（1）可知，，則，所以，對任意的，，當為偶數(shù)時，設，則；當為奇數(shù)時，設，則，.綜上所述，.練習14．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求的前100項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由與關系得數(shù)列為等差數(shù)列，進而結合通項公式求解即可；（2）結合題意得，，進而，再求和即可.【詳解】（1）解：當時，，,，由得當時，遞推得，所以，兩式作差得：，即，因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，又因為，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，公差、首項均為，所以.（2）解：由得，，；令，則.練習15．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足（n≥2，），．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）構造等比數(shù)列，再求其通項；（2）利用等比數(shù)列求和公式以及分組求和法得出結果.【詳解】（1）∵，∴，所以，又，∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴．（2）∵，∴，當n為偶數(shù)時，．當n為奇數(shù)時，．綜上．題型四 奇偶數(shù)列求和例7．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計算即可求解，（2）由分組求和，結合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）由，得所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當為奇數(shù)時，．當為偶數(shù)時．所以例8．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項公式即可；（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.【詳解】（1）因為是等比數(shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時；綜上所述：.練習16．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)已知求數(shù)列的前20項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗證時是否成立，即可得到；（2）分奇偶項求和，奇數(shù)項用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項用裂項相消的方法求和，最后相加即可.【詳解】（1）當時，可得，當時，，，上述兩式作差可得，因為滿足，所以的通項公式為.（2）因為，所以，.所以數(shù)列的前20項和為.練習17．（2023春·全國·高三期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構造法求出的通項，從而可得的通項公式；（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結合分組求和法即可得解.【詳解】（1），得，因為，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，故，所以；（2）當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，綜上所述，.練習18．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，且，則______．【答案】【分析】令，然后由條件可得，然后求出數(shù)列的通項公式，然后可算出答案.【詳解】令，因為，且，所以，，所以，所以數(shù)列是首項為8，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，故答案為：練習19．（2023春·北京·高三北京五十五中?？茧A段練習）設等差數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，（），，（）(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，可求數(shù)列的通項公式；對于數(shù)列，當時，，先求出遞推公式，從而得到的通項公式；（2）利用分組求和的方法可求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以，（）；對于數(shù)列，由已知，當時，，得，當時，，

，兩式相減，得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，得，（）.（2）由（1）可得設,所以練習20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學期中）（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A選項直接由遞推關系式即可求出；B選項由即可判斷；C選項由即可判斷；D選項由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】，故選項A正確；對于，有，兩式相加，得，則，故選項B正確；由，知，則，故選項C錯誤；由偶數(shù)項均為，可得為偶數(shù)時，，則，則，故選項D正確.故選：ABD.題型五 裂項相消法例9．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列前項和為，數(shù)列前項積為.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求得數(shù)列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用裂項相消求和法求得.【詳解】（1）是等差數(shù)列，，即：，又，，.又，當時，，符合上式，.（2）由（1）可得：，.例10．（河南省TOP二十名校2023屆高三猜題大聯(lián)考（二）數(shù)學（文科）試題）已知等差數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；（2）對裂項，用累加法求數(shù)列的通項公式.【詳解】（1）設的公差為，首項為，因為所以解得所以.（2）由題設，所以當時，，將上式累加可得：，又，則.又，也適合上式，故.練習21．（2023春·河南南陽·高三鎮(zhèn)平縣第一高級中學?？茧A段練習）數(shù)列的前2022項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)裂項相消法求和即可.【詳解】因為，所以數(shù)列的前2022項的和為：.故選：D練習22．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列的前項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①；②；③.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差得到，當時兩邊同除，即可得到為常數(shù)數(shù)列，從而求出，即可證明；（2）設的公差為，根據(jù)等比中項的性質得到方程，求出，即可求出的通項，再根據(jù)所選條件，利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）因為，即，當時，解得，當時，所以，即，所以，當時上述式子恒成立，當時兩邊同除可得，即，所以為常數(shù)數(shù)列，即，所以，即，當時上述也成立，所以，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）設的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以；若選①，則，所以.若選②，則，所以.若選③，則，所以.練習23．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎棓?shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得;（2）根據(jù)裂項求和法可求出結果.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）,所以.練習24．（2023春·河南南陽·高三鎮(zhèn)平縣第一高級中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求通項公式；（2）先根據(jù)求出，再把拆項為，然后求和．【詳解】（1）∵，，當時，，∴．由，，兩式相減可得：．∴，又．∴是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴．（2）因為，，所以.練習25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）已知正項數(shù)列，其前項和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項和，設，若對任意恒成立，則的最小值是___________.【答案】1【分析】利用，得出，即可判斷數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，，，，根據(jù)，不等式恒成立，轉化為，不等式且恒成立，即可得出結論.【詳解】由題意知，，且，則當時，，兩式相減得，所以，而，即，又，解得，數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，則，，，數(shù)列是單調遞增的，，而數(shù)列是單調遞減的，，因為，不等式恒成立，則，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案為：1題型六 含絕對值數(shù)列求和例11．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）在正項數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意因式分解可得，即，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解；（2）分和兩種情況去絕對值符號，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式即可得解.【詳解】（1）由，得，因為，所以，又，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以；（2），當時，，當時，，綜上所述，.例12．（2023·全國·高三對口高考）等差數(shù)列中，是它的前n項的和，且滿足.則的最大值為__________；數(shù)列的前n項和__________.【答案】【分析】由已知得，進而求通項，根據(jù)的正負，即可確定取得最大值時的值，進而可求；由已知得是首項為，公差為的等差數(shù)列，由，得時，時，，由此分類能求出數(shù)列的前項和.【詳解】∵，設等差數(shù)列的公差為，∴，∴.∴＝.∴當時，，時，，∴當時，取得最大值，且最大值為.又因為等差數(shù)列的前n項和為，，設的前n項和為當時，，當時，因此故答案為：；.練習26．（2022秋·上海浦東新·高三上海市建平中學?？奸_學考試）已知數(shù)列的通項公式為，那么滿足的整數(shù)k的個數(shù)為______．【答案】2【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，去絕對值符號，對進行討論，進而求得的表達式，解方程即可求得結果．【詳解】∵，∴若，則，∴與矛盾，∴，∴，解得或，∴滿足的整數(shù)，5，即整數(shù)k的個數(shù)為2，故答案為2．【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的通項公式求數(shù)列的和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，去絕對值是解題的關鍵，考查運算能力，屬中檔題．練習27．（2023春·高三課時練習）已知數(shù)列的通項公式，則（

）A．150 B．162 C．180 D．210【答案】B【分析】根據(jù)對勾函數(shù)性質得到數(shù)列單調性，再根據(jù)大小關系去掉絕對值符號得到答案.【詳解】由對勾函數(shù)的性質可知：當時，數(shù)列為遞減；當時，數(shù)列為遞增.所以====162.故選：B.【點睛】本題考查了數(shù)列求和，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力，確定數(shù)列單調性是解題的關鍵.練習28．（2022·高三課時練習）已知數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前100項和（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，求出，再判斷出數(shù)列各項符號后，去掉絕對值可求得結果.【詳解】∵，∴.又∵數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，∴，可得.易得當時，，當時，，∴數(shù)列的前100項和.故選：C【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)通項公式判斷出各項符號，去掉絕對值符號求解是解題關鍵.練習29．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，設，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證明數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列即可求解；（2）結合（1）得，再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：由，得，兩式相減，得，所以，即.又因為時，，所以，因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以.（2）解：由（1）得，.當時，，當時，綜上，練習30．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和，若，則（

）A．578 B．579C．580 D．581【答案】B【分析】由的關系得出通項公式，再討論，兩種情況，結合求和公式得出.【詳解】當時，當時，，經檢驗時，不成立.故得到.令，則，解得，且，當時，，當時，，故：，.故選：B.題型七 數(shù)列求和與不等式例13．（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，設數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用遞推關系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求數(shù)列的和，最后利用函數(shù)的單調性求出結果.【詳解】數(shù)列滿足，①當時，，②①②得，，故，則，則，由于恒成立，故，整理得：，因隨的增加而減小，所以當時，最大，且為，即.故選：D例14．（河南省開封市等2地學校2022-2023學年高三下學期普高聯(lián)考測評（六）理科數(shù)學試題）數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列得，利用裂項求和可得，結合不等式的性質代入求解即可得答案.【詳解】因為數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，所以，則，所以，則，不等式整理得，當時，左邊，右邊，顯然不滿足不等式；當時，左邊，右邊，顯然滿足不等式；且當時，左邊，右邊，則不等式恒成立；故當不等式成立時的最小值為9.故選：B.練習31．（2023春·北京·高三北京四中?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項和，數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)求使不等式成立的最小正整數(shù)的值.