專題11雙曲線及其性質(zhì)（知識梳理專題過關(guān)）（原卷版）

專題11雙曲線及其性質(zhì)【知識梳理】知識點一：雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）．用集合表示為．注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．（2）當時，點的軌跡是以和為端點的兩條射線；當時，點的軌跡是線段的垂直平分線．（3）時，點的軌跡不存在．在應(yīng)用定義和標準方程解題時注意以下兩點：=1\*GB3①條件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用．知識點二：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)標準方程圖形A2A2焦點坐標，，對稱性關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱頂點坐標，，范圍實軸、虛軸實軸長為，虛軸長為離心率漸近線方程令，焦點到漸近線的距離為令，焦點到漸近線的距離為點和雙曲線的位置關(guān)系共焦點的雙曲線方程共漸近線的雙曲線方程切線方程為切點為切點切線方程對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中換為，換成便得．切點弦所在直線方程為雙曲線外一點為雙曲線外一點點為雙曲線與兩漸近線之間的點弦長公式設(shè)直線與雙曲線兩交點為，，．則弦長，，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù)．通徑通徑（過焦點且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為焦點三角形雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的成為焦點三角形，設(shè)，，，則，，焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是等軸雙曲線等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線離心率兩漸近線互相垂直漸近線方程為方程可設(shè)為．【專題過關(guān)】【考點目錄】考點1：雙曲線的定義與標準方程考點2：雙曲線方程的充要條件考點3：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題考點4：雙曲線上兩點距離的最值問題考點5：雙曲線上兩線段的和差最值問題考點6：離心率的值及取值范圍考點7：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題考點8：利用第一定義求解軌跡考點9：雙曲線的漸近線考點10：共焦點的橢圓與雙曲線【典型例題】考點1：雙曲線的定義與標準方程1．（2022·江西科技學(xué)院附屬高二期中（理））已知O為坐標原點，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙曲線左支上任意一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝（

）A．1 B．2C．4 D．2．（2022·黑龍江·鐵人高二期中）雙曲線（）的左、右兩個焦點分別是與，焦距為；是雙曲線左支上的一點，且，則的值為（

）A． B． C．或 D．或3．（2022·天津·耀華高二期中）與橢圓共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．4．（2022·河北·高二期中）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，為坐標原點，，點是雙曲線左支上的一點，若，，則雙曲線的標準方程是（

）A． B．C． D．5．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬高二期中）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．6．（2022·廣西·欽州高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點，，下列條件中滿足動點的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．7．（2022·福建·南靖縣第一高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）為焦點，且過點的橢圓的標準方程.（2）已知雙曲線焦點在y軸上，焦距為10，雙曲線的漸近線方程為，求雙曲線的方程．8．（2022·黑龍江·大興安嶺實驗高二期中）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點分別為，，且經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點，；考點2：雙曲線方程的充要條件9．（多選題）（2022·全國·高二期中）已知曲線.則（

）A．若m>n>0，則C是橢圓B．若m=n>0，則C是圓C．若mn<0，則C是雙曲線D．若m=0，n>0，則C是兩條直線10．（2022·河南·高二期中（文））已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2022·吉林·遼源市田家炳高級中高二期中（理））“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點3：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題12．（2022·安徽·淮北師范大學(xué)附屬實驗高二期中）已知、是等軸雙曲線的左、右焦點，點在上，，則等于___________.13．（2022·上海金山·高二期中）已知?分別為雙曲線的左、右焦點，若點到該雙曲線的漸近線的距離為2，點在雙曲線上，且，則三角形的面積為___________.14．（多選題）（2022·湖南省汨羅市第二高二期中）已知點P是雙曲線E：的右支上一點，，為雙曲線E的左、右焦點，的面積為20，則下列說法正確的是（

）A．點P的橫坐標為 B．的周長為C．小于 D．的內(nèi)切圓半徑為15．（2022·四川·閬中高二期中（文））已知為雙曲線：的兩個焦點，，為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．16．（2022·廣東·江門市第二高二期中）雙曲線上一點與它的一個焦點的距離等于1，那么點與另一個焦點的距離等于___________.17．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二高二期中（理））已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點P是雙曲線左支上一點且，則______．18．（2022·天津市咸水沽第二高二期中）已知，分別是雙曲線的左?右焦點，AB是過點的一條弦（A，B均在雙曲線的左支上），若的周長為30，則___________.19．（2022·吉林·白城高二期中）雙曲線的兩個焦點為,點在雙曲線上，若·＝0，則點到軸的距離為________．20．（2022·上海市崇明高二期中）已知雙曲線的兩個焦點分別為、，為雙曲線上一點，且，則的面積為_________.21．（2022·江蘇·高二專題練習）雙曲線過焦點的弦AB，A、B兩點在同一支上且長為m，另一焦點為，則的周長為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m22．（2022·新疆·烏魯木齊101高二期中（文））設(shè)，是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上一點，且，則的面積等于（

）A．6 B．12 C． D．23．（2022·遼寧大連·高二期中）已知，分別是雙曲線的左?右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且.則的面積為（

）A．8 B． C．16 D．考點4：雙曲線上兩點距離的最值問題24．（2022·上海東校高二期末）過橢圓右焦點F的圓與圓外切，該圓直徑的端點Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動點，則長度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．225．（2022·安徽省宣城市第二高二階段練習（理））已知分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，若內(nèi)切圓圓心為，則圓心到圓上任意一點的距離最小值為（

）A． B． C． D．26．（2022·101高二期末）雙曲線的右焦點為，點在橢圓的一條漸近線上.為坐標原點，則下列說法錯誤的是（

）A．該雙曲線離心率為B．雙曲線與雙曲線的漸近線相同C．若，則的面積為D．的最小值為27．（2022·北京高二期中）已知定點A、B，且|AB|＝4，動點P滿足||PA|﹣|PB||＝3，則|PA|的最小值是（

）A． B． C． D．5考點5：雙曲線上兩線段的和差最值問題28．（2022·湖南·長沙市南雅高二期中）設(shè)雙曲線C：的左焦點和右焦點分別是，，點A是C右支上的一點，則的最小值為___________.29．（2022·黑龍江·雞西市第高二期中）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓和上的點，則|PM|－|PN|的最大值為_________.30．（2022·黑龍江·哈高二期中）已知雙曲線的方程為，如圖所示，點，是圓上的點，點為其圓心，點在雙曲線的右支上，則的最小值為______31．（2022·北京·高二期中）已知點，，，動點M到A的距離比到B的距離多2，則動點M到B，C兩點的距離之和的最小值為___________.32．（2022·湖南·嘉禾縣第一高二階段練習）過雙曲線的右支上的一點P分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．1133．（2022·四川省江油市第一高二期中（文））已知為雙曲線的左?右焦點，點在雙曲線的右支上，點是平面內(nèi)一定點.若對任意實數(shù)，直線與雙曲線的漸近線平行，則的最小值為（

）A． B． C． D．34．（2022·吉林市田家炳高級高二期中）設(shè)是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．35．（2022·江西南昌·高二期中（理））設(shè)是雙曲線的右支上的點，則代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．考點6：離心率的值及取值范圍36．（2022·廣東·汕頭市潮南區(qū)陳店實驗高二階段練習）已知，，，是雙曲線的兩個焦點，若點Р為橢圓上的動點，當P為橢圓的短軸端點時，取最小值，則橢圓離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．37．（2022·四川省仁壽縣文宮高二階段練習（文））已知，是雙曲線（，）的左、右焦點，點關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．38．（2022·福建·泉州市城東高二期中）已知雙曲線的右頂點為，若以點為圓心，以為半徑的圓與的一條漸近線交于，兩點，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．39．（2022·江西省萬載高二階段練習（理））已知雙曲線兩條漸近線的夾角為60°，則該雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C．2或 D．或40．（2022·福建·廈門外國語高二期末）如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A．B．C．D．41．（2022·廣東汕頭·高二期末）已知雙曲線（a、b均為正數(shù)）的兩條漸近線與直線圍成的三角形的面積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．242．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室高二期末）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設(shè)的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．243．（2022·安徽省臨泉第一高二期末）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，是雙曲線上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．44．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知雙曲線的焦距為為其左右兩個焦點，直線l經(jīng)過點且與漸近線平行，若l上存在第一象限的點P滿足，則雙曲線C離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．考點7：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題45．（多選題）（2022·河北·衡水市第二高二期中）已知曲線：，則（

）A．若，則曲線是圓，其半徑為B．若，則曲線是橢圓，其焦點在軸上C．若曲線過點，，則是雙曲線D．若，則曲線不表示任何圖形46．（多選題）（2022·江蘇連云港·高二期中）關(guān)于的方程（其中）表示的曲線可能是（

）A．焦點在軸上的雙曲線 B．圓心為坐標原點的圓C．焦點在軸上的雙曲線 D．長軸長為的橢圓47．（多選題）（2022·河北省曲陽縣第一高級高二期中）若方程所表示的曲線為，則下面四個選項中正確的是（

）A．若，則曲線為橢圓B．若曲線為橢圓，且長軸在軸上，則C．若曲線為雙曲線，則或D．曲線可能是圓.48．（多選題）（2022·云南·羅平縣第一高二開學(xué)考試）已知曲線，則（

）A．當時，則的焦點是，B．當時，則的漸近線方程為C．當表示雙曲線時，則的取值范圍為D．存在，使表示圓49．（多選題）（2022·江蘇江蘇·高二期中）已知雙曲線：，則（

）A．雙曲線的焦距為4 B．雙曲線的兩條漸近線方程為：C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線有且僅有兩條過點的切線50．（多選題）（2022·黑龍江·哈師大附中高二開學(xué)考試）雙曲線的標準方程為，則下列說法正確的是（）A．該曲線兩頂點的距離為B．該曲線與雙曲線有相同的漸近線C．該曲線上的點到右焦點的距離的最小值為1D．該曲線與直線：，有且僅有一個公共點51．（2022·上海市新場高二期中）當時，方程所表示的曲線是（

）A．焦點在軸的橢圓 B．焦點在軸的雙曲線C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線考點8：利用第一定義求解軌跡52．（2022·河南·濮陽一高高二期中（理））若雙曲線C的方程為，記雙曲線C的左、右頂點為A，B．弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB交點為M，其軌跡為曲線T，則曲線T的離心率為________．53．（2022·吉林·白城高二期中）已知的兩個頂點分別為橢圓的左焦點和右焦點，且三個內(nèi)角滿足關(guān)系式.(1)求線段的長度；(2)求頂點的軌跡方程.54．（2022·全國·高二專題練習）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動圓與定圓，都外切，求動圓圓心的軌跡方程．55．（2022·福建·廈門高二期中）已知動圓M與圓外切與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡C的方程為___________.56．（2022·上海市新場高二期中）已知兩點，若，那么點的軌跡方程是______.57．（2022·吉林高二期中）若動圓過定點且和定圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是_________.58．（2022·廣東·深圳市寶安（集團）高二期中）已知點，動圓C與直線相切于點B，過M，N與圓C相切的兩直線相交于點P，則點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．59．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江高二期中）動圓M與圓：，圓：，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．60．（2022·新疆·博爾塔拉蒙古自治州蒙古高二期中）動點到點及點的距離之差為，則點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．兩條射線 D．一條射線61．（2022·江西·景德鎮(zhèn)高二期中（理））已知定圓，定圓，動圓圓與定圓都內(nèi)切，則動圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．62．（2022·浙江·效實高二期中）與圓外切，且與圓內(nèi)切的圓的圓心在（

）A．拋物線上 B．圓上 C．雙曲線的一支上 D．橢圓上63．（2022·天津河西·高二期中）與圓及圓都外切的圓的圓心在（

）A．橢圓上 B．雙曲線的一支上 C．線段上 D．圓上考點9：雙曲線的漸近線64．（2022·全國·高二期中）以雙曲的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程為______．65．（2022·陜西漢中·高二期末（理））已知雙曲線的漸近線與圓相切，則a=（

）A． B． C． D．66．（2022·湖南·高二期末）若雙曲線的離心率為，則直線與兩條漸近線圍成的三角形的面積為（

）A． B．4 C． D．67．