八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（北師大版）：等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型（強(qiáng)化）（解析版）

專題1.6等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型1．如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C．三角形是等腰直角三角形 D．【解答】解：如圖，，分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)，與不一定相等，故錯(cuò)誤；，，，為中點(diǎn)，，，，，，，，故正確；在和中，，，，是等腰直角三角形，故正確；，，，，故正確，故選：．2．如圖，在中，，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，連接，則下列結(jié)論中：①是等腰直角三角形；②的周長(zhǎng)有最小值；③四邊形的面積為定值8；④的面積有最小值；⑤的面積有最大值．正確的有A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【解答】解：是等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，故①正確；當(dāng)時(shí)，最小，則的周長(zhǎng)、面積有最小值，故②④正確；，四邊形的面積為的面積，，的面積為，的面積為4，四邊形的面積為定值4，故③錯(cuò)誤；當(dāng)?shù)拿娣e有最小時(shí)，此時(shí)的面積最大，故⑤正確，正確的有①②④⑤，共4個(gè)，故選：．3．如圖，在等腰中，，，是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、邊上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），且保持，連接、、，在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②四邊形的面積是12；③．其中正確的結(jié)論是A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【解答】解：①連接，，，，是邊上的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，，即，是等腰直角三角形，所以此結(jié)論正確；②，四邊形的面積，故②錯(cuò)誤；③，，，，，，故③正確，故選：．4．如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)是中點(diǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，，給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③是等腰直角三角形；④當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)不與，重合），．上述結(jié)論中始終正確有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，即結(jié)論①正確；是等腰直角三角形，是的中點(diǎn)，，又不一定是的中位線，，故結(jié)論②錯(cuò)誤；，，又，是等腰直角三角形，故結(jié)論③正確；，，，故結(jié)論④正確；綜上，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)不與，重合），始終正確的有3個(gè)結(jié)論．故選：．二．解答題（共14小題）5．已知：如圖所示中，，，是中點(diǎn)，、分別是、邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，無論、如何運(yùn)動(dòng)，始終保持．求證：是等腰直角三角形．【解答】證明：連接，是中點(diǎn)，中，，，，，，在和中，，，，，，，即，是等腰直角三角形．6．如圖，在中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)，試給出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】證明：延長(zhǎng)到，使，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，．7．如圖，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，、分別是、邊上的點(diǎn)，且，若，，求線段的長(zhǎng)．【解答】解：連接，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，，，，，又，．在與中，，．．，，．在中，，，，．8．如圖，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，．分別是、邊上的點(diǎn)，且，（1）求證：；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．【解答】解：連接，在中，，為邊的中線，，，，又，，，在與中，，．；（2），，，．9．如圖，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，，分別是，邊上的點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）證明：．【解答】證明：（1）連接，等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)，，，平分，，，，，，，，在和中，，．（2），，，，，，即．10．如圖，、是等腰的斜邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，，且．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1）是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，；（2）由（1）知，，，，，，，，在與中，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，．11．已知：在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，以始邊作．（1）如圖1，當(dāng)，且時(shí)，試說明和的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：．【解答】解：（1）與位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是．理由：，，，，在和中，，，且．，，即；（2）如圖2，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．連接，則，，，．，．，在和中，，．，又，，即；12．如圖，在等腰中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，作等腰，且，連接．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1）和都是等腰直角三角形，，，，，，在與中，，；（2）是等腰直角三角形，，由（1）得，，，．13．如圖，和都是等腰直角三角形，，為邊上一點(diǎn)．求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1）和都是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，；（2），，，，，，，，，，，，．14．如圖，是等腰直角三角形，，為斜邊的中點(diǎn)，，分別為，邊上的點(diǎn)，且．若，．求的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接．，，，，，，，，，，，，，．15．如圖，是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，、分別是、邊上的點(diǎn)，且．（1）請(qǐng)說明：；（2）請(qǐng)說明：；（3）若，，求的面積（直接寫結(jié)果）．【解答】（1）證明：連接，等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)，，，平分，，，，，，，，在和中，，．（2）證明：，，，，，在和中，，，，即．（3）解：，，根據(jù)勾股定理，的面積是．答：的面積是25．16．如圖，在中，，，，垂足為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接，若，，求①的長(zhǎng)；②四邊形的面積．【解答】（1）證明：是中點(diǎn)，，，，，，，在和中，，；（2）解：①，；同理可證：，，，，，在中，；②，，，，，，，，，四邊形的面積．17．如圖，和都是等腰直角三角形，，為邊上一點(diǎn)，求證：（1）；（2）．【解答】證明：（1）和都是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，；（2）是等腰直角三角形，度．，，．由（1）知，，即．18．如圖所示：是等腰直角三角形，，是斜邊的中點(diǎn)，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且，（1）求