人教版高數(shù)選修2第7講：直線與平面的空間向量表示及其夾角

直線與平面的空間向量表示及其夾角____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1理解直線的方向向量及平面的法向量；2能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；3能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理．4能用向量方法解決直線與直線，直線與平面，平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題；5了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用．1．直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱(chēng)eq\o(AB,\s\up8(→))為直線l的方向向量，與eq\o(AB,\s\up8(→))平行的任意非零向量也是直線l的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))2．用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為ν1和ν2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?(2)設(shè)直線l的方向向量為ν，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量ν1和ν2，則l∥α或l?α?(3)設(shè)直線l的方向向量為ν，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?(4)設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?3．用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為ν1和ν2，則l1⊥l2?(2)設(shè)直線l的方向向量為ν，平面α的法向量為u，則l⊥α?設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?4．空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿(mǎn)足cosθ＝__|cos〈m1，m2〉|＝eq\f(|m1·m2|,|m1|·|m2|)．(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成角θ滿(mǎn)足sinθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(|m·n|,|m|·|n|)．(3)求二面角的大小(ⅰ)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝__〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉．(ⅱ)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿(mǎn)足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．5．點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up8(→))·n|,|n|)．規(guī)律方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．其中靈活建系是解題的關(guān)鍵．(2)其一證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可．當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面法向量平行．其三證明面面垂直：①證明兩平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可．類(lèi)型一利用空間向量證明平行問(wèn)題例１：如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面EFG.練習(xí)１：已知平面α的一個(gè)法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，則直線AB與平面α的關(guān)系是()A．AB∥α B．AB⊥α C．ABα D．AB∥α或ABα類(lèi)型二利用空間向量證明垂直問(wèn)題例2：(2014·遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．練習(xí)１：如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).證明：A1C⊥平面BB1D1D.類(lèi)型三利用空間向量解決探索性問(wèn)題例3：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長(zhǎng)．練習(xí)１：(2013·北京卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求證：AA1⊥平面ABC；(2)求證：二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求eq\f(BD,BC1)的值．類(lèi)型四求異面直線所成的角例4：在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求異面直線BA1與AC所成的角．練習(xí)１：練習(xí)１已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()\f(\r(10),10) \f(1,5) \f(3\r(10),10) \f(3,5)類(lèi)型五利用空間向量求直線與平面所成的角例5：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、C1D1的中點(diǎn)，則A1B1與平面A1EF夾角的正弦值為()\f(\r(6),2) \f(\r(6),3) \f(\r(6),4) \r(2)練習(xí)1：正四棱錐S－ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________．練習(xí)2：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與A1C1所成角的大小是________．類(lèi)型六利用空間向量求二面角例6：如圖所示，P是二面角α－AB－β棱上一點(diǎn)，分別在α，β內(nèi)引射線PM，PN，若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，則二面角α－AB－β大小為_(kāi)_______．練習(xí)１：如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是()\f(\r(6),4) \f(1,6) \f(\r(6),3) \f(\r(3),2)2.如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°3．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A－BD－C，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的為()A．AC⊥BD B．△ACD是等邊三角形C．AB與平面BCD所成的角為60° D．AB與CD所成的角為60°4．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_(kāi)_______．5.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.6.(2014·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C.(1)證明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固（1）1.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是()\f(\r(6),3) \f(\r(6),6) \f(\r(3),3) \f(\r(2),2)2.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.點(diǎn)E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，又作DF⊥PB交PB于點(diǎn)F，則PB與平面EFD所成角為()A．30° B．45° C．60° D．90°3．如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是________．4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小是________．5.正四棱錐S－ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角是________．能力提升（2）6.如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長(zhǎng)；7.如圖，在直三棱柱ADE-BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點(diǎn)，O為DF的中點(diǎn)．求證：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.8.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2eq\r(2)，C1H⊥