人教版高數(shù)必修一第14講：函數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)的應(yīng)用____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2、體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)等與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實(shí)問題中的作用.解應(yīng)用題的策略：特別提醒：解答應(yīng)用題重點(diǎn)要過三關(guān)：(1)事理關(guān)：需要讀懂題意，知道講的是什么事件，即需要一定的閱讀能力．如教材中講的儲(chǔ)蓄問題，要清楚什么是復(fù)利，各期的本利和如何變化，即變化規(guī)律是什么，只有搞清這些問題，才能準(zhǔn)確表達(dá)本利和y與利率r及存期x的關(guān)系．(2)文理關(guān)：需把實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言，以把實(shí)際問題抽象為一個(gè)函數(shù)問題．(3)數(shù)理關(guān)：構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型后，要正確解答出數(shù)學(xué)問題，需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力．二、解決應(yīng)用題的一般程序：（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義．三、幾種不同增長的函數(shù)模型(1)指數(shù)函數(shù)模型：y＝abx＋c(b>0，b≠1，a≠0)(2)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)(3)冪函數(shù)模型：y＝axn＋b(a≠0)類型一指數(shù)函數(shù)模型例1：某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為%，試解答下列問題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到萬人)；(3)計(jì)算大約多少年后該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)．(取＝，練習(xí)1：醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的記錄如下表：天數(shù)123456病毒細(xì)胞個(gè)數(shù)12481632已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.(1)為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？(精確到天，lg2＝(2)第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？(精確到天)練習(xí)2：已知光線每通過一塊玻璃板，光線的強(qiáng)度就失掉10%，要使通過玻璃板的光線的強(qiáng)度減弱到原來強(qiáng)度的eq\f(1,3)以下，則至少需要重疊玻璃板數(shù)為()A．8塊 B．9塊C．10塊 D．11塊類型二對數(shù)函數(shù)模型例2：燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬．研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，2歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2eq\f(Q,10)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)求燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位；(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？練習(xí)1：大西洋鮭魚每年都要逆流而上2000m，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)y＝eq\f(1,2)log3eq\f(x,100)，單位是m/s，其中x表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是8100個(gè)單位時(shí)，它的游速是多少？(2)計(jì)算一條鮭魚靜止時(shí)耗氧量的單位數(shù)；(3)若鮭魚A的游速大于鮭魚B的游速，問這兩條鮭魚誰的耗氧量較大？并說明理由．練習(xí)2：某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動(dòng)物．已知該動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100，則到第7年它們的數(shù)量為()A．300 B．400C．600 D．700類型三函數(shù)模型的選取例3：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件、萬件、萬件，為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，根據(jù)已有的知識經(jīng)驗(yàn)?zāi)M函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù)y＝abx＋c(其中a、b、c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件，請問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明你的理由．練習(xí)1：某公司擬投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇：一種是年利率10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；另一種是年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年后可多得利息多少萬元(結(jié)果精確到萬元)?練習(xí)2：某山區(qū)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，綠色植被的面積每年都比上一年增長%，那么，經(jīng)過x年，綠色植被面積可以增長為原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()1、某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長44%，若每年的平均增長率相同(設(shè)為x)，則下列結(jié)論中正確的是()A．x>22% B．x<22%C．x＝22% D．x的大小由第一年產(chǎn)量確定2、某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每15min分裂一次(由1個(gè)分裂成2個(gè))，則這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成212個(gè)需經(jīng)過()A．12h B．4hC．3h D．2h3、某工廠生產(chǎn)兩種成本不同的產(chǎn)品，由于市場銷售發(fā)生變化，A產(chǎn)品連續(xù)兩次提價(jià)20%，B產(chǎn)品連續(xù)兩次降價(jià)20%，結(jié)果都以元出售，此時(shí)廠家同時(shí)出售A、B產(chǎn)品各1件，盈虧情況是()A．不虧不賺 B．虧元C．賺元 D．賺元4、某企業(yè)的產(chǎn)品成本前兩年平均每年遞增20%，經(jīng)過改進(jìn)技術(shù)，后兩年的產(chǎn)品成本平均每年遞減20%，那么該企業(yè)的產(chǎn)品成本現(xiàn)在與原來相比()A．不增不減 B．約增8%C．約增5% D．約減8%5、(2014～2015學(xué)年度江蘇泰州三中高一上學(xué)期期中測試)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a為常數(shù))，如圖所示．根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：(1)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到mg以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1．據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度，設(shè)2010年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2010年起，經(jīng)過x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝eq\s\up4(\f(x,50))·m B．y＝(1－eq\s\up4(\f(x,50)))·mC．y＝－x·m D．y＝(1－－x)·m2．某種型號的手機(jī)自投放市場以來，經(jīng)過兩次降價(jià)，單價(jià)由原來的2000元降到1280元，則這種手機(jī)平均每次降價(jià)的百分率是()A．10% B．15%C．18% D．20%3．抽氣機(jī)每次可抽出容器內(nèi)空氣的60%，要使容器內(nèi)的空氣少于原來的%，則至少要抽(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0)()A．6次 B．7次C．8次 D．9次4．某商品的市場需求量y1(萬件)、市場供應(yīng)量y2(萬件)與市場價(jià)格x(元/件)分別近似地滿足關(guān)系：y1＝－x＋70，y2＝2x－＝y(tǒng)2時(shí)的市場價(jià)格稱為市場平衡價(jià)格，則市場平衡價(jià)格為________元/件．5．某池塘中野生水葫蘆的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．假設(shè)其函數(shù)關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②在第5個(gè)月時(shí)，野生水葫蘆的面積就會(huì)超過30m2③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2④設(shè)野生水葫蘆蔓延至2m2、3m2、6m2所需的時(shí)間分別為t1、t2、t3，則有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫蘆在第1到第3個(gè)月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個(gè)月之間蔓延的平均速度．其中，正確的是________．(填序號)．能力提升6．如圖，由桶1向桶2輸水，開始時(shí)，桶1有aL水，tmin后，剩余水yL滿足函數(shù)關(guān)系y＝ae－nt，那么桶2的水就是y＝a－ae－nt.假設(shè)經(jīng)過5min，桶1和桶2的水相等，則再過____min，桶1中的水只有eq\f(a,8)L.7．一種產(chǎn)品的成本原來是a元，在今后m年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每年比上一年降低p%，則成本y隨經(jīng)過的年數(shù)x變化的函數(shù)關(guān)系為________．8．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)目前人均一年占有糧食360kg，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長%，糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%，那么x年后人均一年