專題7 全等三角形中與中點(diǎn)有關(guān)問題的解決策略（解析版）

專題7全等三角形中與中點(diǎn)有關(guān)問題的解決策略（解析版）專題解讀：中點(diǎn)是幾何中最重要的元素之一，屬于中考必考元素。掌握全等三角形中解決中點(diǎn)問題的策略，對后續(xù)解決中點(diǎn)在等腰三角形邊上，在直角三角形邊上以及在四邊形邊上等問題都很有啟發(fā)。解決策略一倍長中線典例1在△ABC中，AD為BC邊上的中線，（1）如圖1，求證：AB+AC＞2AD；（2）如圖2，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，F(xiàn)A⊥BA，且AE＝AC，AF＝AB，連接EF，寫出AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【思路引領(lǐng)】（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接CE，證明△CDE與△ADB全等，再利用三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM、CM，根據(jù)∠ABM+∠BAC＝180°、∠EAC+∠BAF＝180°知∠ABM＝∠EAF，再證△AEF≌△BMA可得．【解答】證明：（1）如圖1，延長AD至E，使DE＝AD，連接CE，在△CDE與△ADB中AD=DE∠ADB=∠EDC∴△CDE≌△ADB（SAS），∴AB＝CE，∴AC+CE＝AC+AB＞AE＝2AD，即AC+AB＞2AD；（2）EF＝2AD，如圖2，延長AD到M，使AD＝DM，連接BM、CM，∵BD＝DC，AD＝DM，∴四邊形ABMC是平行四邊形，∴AC＝BM＝AE，BM∥AC，∴∠ABM+∠BAC＝180°，又∵EA⊥AC，F(xiàn)A⊥BA，∴∠EAC+∠BAF＝90°+90°＝180°，即∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△AEF和△BMA中，∵AE=BM∠EAF=∠MBA∴△AEF≌△BMA（SAS），∴EF＝AM＝2AD．【總結(jié)提升】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)建全等三角形將待證線段利用全等三角形聯(lián)系到一起是關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022秋?西城區(qū)校級期中）如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AM＝3，DE＝6．【思路引領(lǐng)】延長AM至N，使MN＝AM，連接BN，證明△AMC≌△NMB（SAS），推出AC＝BN，∠C＝∠NBM，求出∠EAD＝∠ABN，再證明△EAD≌△ABN（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：延長AM至N，使MN＝AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM＝BM，在△AMC和△NMB中，AM=MN∠AMC=∠NMB∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∵AD＝AC，∴AD＝BN，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠EAD+∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBM＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC＝∠EAD，在△EAD和△ABN中，AE=AB∠EAD=∠ABN∴△EAD≌△ABN（SAS），∴DE＝AN＝2AM＝6．故答案為：6．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，延長AM至N，使MN＝AM，再證AN＝DE即可，這就是“倍長中線”，實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短法”．2．如圖，AB⊥AE，AB＝AE，AC⊥AD，AC＝AD，AH⊥DE于點(diǎn)H，延長AH交BC于點(diǎn)M．求證：M是BC的中點(diǎn)．【思路引領(lǐng)】過點(diǎn)B作BN∥AC交AM的延長線于點(diǎn)N，設(shè)AB交DE于點(diǎn)F，證明△BNM≌△CAM，即可得到BM＝CM．【解答】證明：過點(diǎn)B作BN∥AC交AM的延長線于點(diǎn)N，設(shè)AB交DE于點(diǎn)F，則∠ABN+∠BAC＝180°．∵∠DAE+∠BAC＝90°+90°＝180°，∴∠ABN＝∠DAE．∵AH⊥DE，AB⊥AE，∴∠BAM+∠AFH＝90°，∠AFE+∠AED＝90°，∴∠BAM＝∠AED，在△ABN和△EAD中，∠BAN=∠EAB=EA∴△ABN≌△EAD（ASA），∴BN＝AD＝AC．∵BN∥AC，∴∠BNM＝∠CAM，∠NBM＝∠ACM．在△BNM和△CAM中，∠BNM=∠CAMBN=AC∴△BNM≌△CAM（ASA），∴BM＝CM，∴M為BC的中點(diǎn)．【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．[閱讀理解]課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖（1），在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）AD的取值范圍是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7[感悟]解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．[問題解決]（3）如圖（2），AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在BC的延長線上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求證：AE＝2AD．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，根據(jù)SAS證△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠BCA＝∠MBD，根據(jù)∠BAC＝∠BCA，推出∠ACE＝∠MBA，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)求出即可．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB（SAS），故選：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故選：C．（3）證明：延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，∵AD是△ABC中線，∴CD＝BD，在△ADC和△MDB中DC=DB∠ADC=∠MDB∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠BCA＝∠MBD，∵∠BAC＝∠BCA，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，∠MBA＝∠MBD+∠ABD，∴∠ACE＝∠MBA，在△ACE和△MBA中，AC=MB∠ACE=∠MBA∴△ACE≌△MBA（SAS），∴AE＝AM＝2AD．【總結(jié)提升】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．解決策略二類倍長中線典例2（2013秋?大冶市校級月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，ON⊥OM交AC于N．求證：BM+CN＞MN．【思路引領(lǐng)】延長NO至P，使OP＝NO，連接MP、BP，根據(jù)SAS可證△BOP≌△CON，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，線段中垂線定理可得MN＝MP，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求解．【解答】證明：延長NO至P，使OP＝NO，連接MP、BP，∵點(diǎn)0為BC的中點(diǎn)，∴BO＝CO，在△BOP與△CON中，OP=NO∠BOP=∠CON∴△BOP≌△CON（SAS），∴PB＝CN，∵M(jìn)O⊥PN，OP＝ON，∴MN＝MP（線段中垂線定理），∵BM+BP＞MP，∴BM+CN＞MN．【總結(jié)提升】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段中垂線定理，三角形三邊關(guān)系，本題的難點(diǎn)是作出輔助線，將三條線段轉(zhuǎn)移到一個三角形中．變式訓(xùn)練1．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【思路引領(lǐng)】延長AE，DF交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，也可證得△ABE≌△GCE，從而可得AB＝CG，即可得到結(jié)論．【解答】AF+CF＝AB．證明：如圖③，延長AE，DF交于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF（等角對等邊），∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．解題秘籍：本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，角的關(guān)系等知識點(diǎn)，所以本題的綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵解決策略三過線段的兩端點(diǎn)向中點(diǎn)處的線段作垂線構(gòu)造全等三角形典例3如圖，D為CE的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，且EF＝AC．求證：∠DFE＝∠DAC．【思路引領(lǐng)】首先根據(jù)全等三角形的判定得出△DEN≌△DCM，進(jìn)而得出EN＝MC，即可得出Rt△FEN≌Rt△CAM，進(jìn)而得出∠DFE＝∠DAC．【解答】證明：過C作CM⊥AD于M，過E作EN⊥AD于N，在△DEN和△DCM中∠CMD=∠END∠CDM=∠EDN∴△DEN≌△DCM（AAS），∴EN＝MC，在Rt△ACM和Rt△FEM中EF=ACEN=MC∴Rt△FEN≌Rt△CAM，∴∠DFE＝∠DAC．【總結(jié)提升】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理得出是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022秋?天河區(qū)校級期中）（1）如圖①，AC平分∠DAB，∠B＝∠D＝90°，若DC＝5，則BC＝5．（2）探究：如圖②，四邊形ABCD，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°，求證：DC＝BC．（3）應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)D、F分別在EC、AD上，若EF＝AC，且∠DFE＝∠DAC，求證：D為CE的中點(diǎn)．【思路引領(lǐng)】（1）利用角平分線的性質(zhì)即可得出答案；（2）在AB上截取AE＝AD，連接CE，證△DAC≌△EAC（SAS），得DC＝EC，∠D＝∠AEC，再證∠CEB＝∠B，得EC＝BC，即可得出結(jié)論；（3）過C作CM⊥AD于M，過E作EN⊥AD于N，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）解：∵AC平分∠DAB，∠B＝∠D＝90°，∴BC＝DC＝5，故答案為：5；（2）證明：在AB上截取AE＝AD，連接CE，如圖②所示：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，在△DAC和△EAC中，AD=AE∠DAC=∠EAC∴△DAC≌△EAC（SAS），∴DC＝EC，∠D＝∠AEC，∵∠AEC+∠CEB＝180°，∴∠D+∠CEB＝180°，∵∠B+∠D＝180°，∴∠CEB＝∠B，∴EC＝BC，∴DC＝BC；（3）證明：過C作CM⊥AD于M，過E作EN⊥AD于N，在△ACM和△FEN中∠EFD=∠CAD∠N=∠AMC=90°∴△ACM≌△FEN（AAS），∴EN＝MC，在△CMD和△END中∠CMD=∠N=90°∠CDM=∠EDN∴△CMD≌△END（AAS），∴DE＝DC，∴D為CE的中點(diǎn)．【總結(jié)提升】本題是四邊形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形，屬于中考?？碱}型．2．如圖，AD為△ABC的中線，E為AD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長線交AC于F，F(xiàn)G⊥AD于G．求證：AG＝EG．【思路引領(lǐng)】過點(diǎn)B作BM⊥AD于M，過點(diǎn)C作CN⊥AD于N，根據(jù)三角形的中線的定義可得BD＝CD，然后利用“角角邊”證明△BDM和△CDN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM＝CN，再利用“HL”證明△ACN和△EBM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CAN＝∠BEM，然后求出∠CAN＝∠AEF，根據(jù)等角對等邊可得AF＝EF，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AD于M，過點(diǎn)C作CN⊥AD于N，∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDM和△CDN中，∠M=∠CND=90°∠CDN=∠BDM∴△BDM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△ACN和Rt△EBM中，BE=ACBM=CN∴Rt△ACN≌Rt△EBM（HL），∴∠CAN＝∠BEM，∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CAN＝∠AEF，∴AF＝EF，∵FG⊥AD，∴AG＝EG（等腰三角形三線合一）．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作出輔助線并兩次證明三角形全等．3．如圖．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延長線交DE于F（1）求證：點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)；（2）求證：S△ABC＝2S△BEF．【思路引領(lǐng)】（1）過點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長線于M，根據(jù)同角的余角相等求出∠EBM＝∠A，然后利用“角角邊”證明△ABC和△BEM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BC＝EM，再求出BD＝EM，然后利用“角角邊”證明△EMF和△DBF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF＝DF，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形的面積相等和等底等高的三角形的面積相等進(jìn)行證明．【解答】證明：（1）如圖，過點(diǎn)E作EM⊥CF交CF的延長線于M，∵BE⊥AB，∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，在△ABC和△BEM中，∠EBM=∠A∠C=∠M=90°∴△ABC≌△BEM（AAS），∴BC＝EM，∵BD＝BC，∴BD＝EM，在△EMF和△DBF中，∠M=∠DBF=90°∠EFM=∠DFB∴△EMF≌△DBF（AAS），∴EF＝DF，∴點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)；（2）∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)，∴S△BEF＝S△DBF=12S△BEM=12∴S△ABC＝2S△BEF．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．解決策略四中點(diǎn)加平行線構(gòu)造8字全等典例4如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB中點(diǎn)，DE⊥EC．求證：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC＝DC．【思路引領(lǐng)】（1）延長DE交CB的延長線于F，可證得△AED≌△BEF，根據(jù)三線合一的性質(zhì)可得出CD＝CF，推出∠CDF＝∠F，由∠ADF＝∠F即可證明；（2）由△AED≌△BEF，根據(jù)三線合一的性質(zhì)可得出CD＝CF，進(jìn)而利用等線段的代換可證得結(jié)論；【解答】證明：（1）延長DE交CB的延長線于F，∵AD∥CF，∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F．在△AED與△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF，DE＝EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF＝∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠F，∴∠ADE＝∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD＝BF，DE＝EF，∵CE⊥DF，∴CD＝CF＝BC+BF，∴AD+BC＝DC．【總結(jié)提升】本題考查梯形、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是因?yàn)辄c(diǎn)E是中點(diǎn)，所以應(yīng)該聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形，這是經(jīng)常用到的解題思路，同學(xué)們要注意掌握．針對訓(xùn)練1．如圖所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，若用S1、S2、S3分別表示△ADE、△EBC、△ABE的面積，則S1、S2、S3的關(guān)系是（）A．S1+S2＞S3 B．S1+S2＝S3 C．S1+S2＜S3 D．以上都不對思路引領(lǐng)：延長AE，交BC延長線于點(diǎn)F，則可得到△ADE≌△FCE，則AE＝EF，從而得到△AEB與△BFE是等底同高的兩個三角形，即它們的面積相等，則三者的關(guān)系不難得出．解：如圖，延長AE，交BC延長線于點(diǎn)F，∵AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，∴△ADE≌△FCE，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，有AE＝EF，∴△AEB與△BFE是等底同高的兩個三角形，即它們的面積相等，∴S△BFE＝S1+S2＝S3故選：B．解題秘籍：本題考查梯形，三角形的相關(guān)知識．解決此類題要懂得用梯形的常用輔助線，把梯形分割為幾個三角形，從而由三角形的性質(zhì)來求解．2．（2021?行唐縣模擬）如圖：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中點(diǎn)，請你用直尺（無刻度）作出一條線段與BE相等；并證明之；思路引領(lǐng)：延長BE與CD相交于點(diǎn)F，則EF＝BE，證明△AEB≌△△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；解：延長BE與CD相交于點(diǎn)F，則