2.8有理數(shù)的混合運算（四大題型）（解析版）

（蘇科版）七年級上冊數(shù)學《第2章有理數(shù)》2.8有理數(shù)的混合運算知識點知識點有理數(shù)的混合運算◆有理數(shù)的混合運算：（1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．題型一有理數(shù)的混合運算題型一有理數(shù)的混合運算【例題1】下列運算正確的是（）A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9 B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8 C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12 D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42【分析】利用有理數(shù)的相應的運算法則對各項進行運算即可得出結(jié)果．【解答】解：A、（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝（﹣27）×（﹣2）÷（﹣6）＝54÷（﹣6）＝﹣9，故A不符合題意；B、﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣1×（16）＝﹣16，故B不符合題意；C、（﹣8）×3÷（﹣2）2＝﹣24÷4＝﹣6，故C不符合題意；D、12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝12+28+8÷4＝40+2＝42．故D符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與應用．解題技巧提煉（1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【變式1-1】計算6÷（-32）×（﹣2）3的結(jié)果是【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方和有理數(shù)的乘法，除法法則計算即可．【解答】解：原式＝6×（-23）×（﹣＝32，故答案為：32．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘除法，有理數(shù)的乘方，掌握除以一個不為0的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)是解題的關鍵．【變式1-2】（2021秋?萬州區(qū)期末）計算：﹣22+（﹣2）3﹣（﹣2）4的值為（）A．4 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣28【分析】原式先算乘方，再算加減即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝﹣4+（﹣8）﹣16＝﹣4﹣8﹣16＝﹣12﹣16＝﹣28．故選：D．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，其運算順序為：先乘方，再乘除，最后加減，有括號先算括號里邊的，同級運算從左到右依次進行．【變式1-3】下列各式中．計算結(jié)果得0的是（）A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣22+（﹣2）2＝﹣4+4＝0，故本選項正確；B、﹣22﹣22＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本選項錯誤；C、﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，不是0，故本選項錯誤；D、（﹣2）2+22＝4+4＝8，不是0，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，計算時要注意﹣22與（﹣2）2的區(qū)別．【變式1-4】（2023春?黃浦區(qū)期中）計算：22【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加減．【解答】解：2=209×（﹣1=-20=-36＝﹣4．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握運算順序和運算法則是解題的關鍵．【變式1-5】（2023春?閔行區(qū)期末）計算：﹣22﹣（﹣5）2×125-（﹣223【分析】按照有理數(shù)混合運算的順序，先乘方后乘除最后加減，有括號的先算括號里面的．【解答】解：﹣22﹣（﹣5）2×125-（﹣223＝﹣4﹣25×1＝﹣4﹣1+8=-17【點評】此題考查有理數(shù)的混合運算，掌握運算順序，正確判定符號計算即可．【變式1-6】（2022?館陶縣二模）淇淇在計算：(-1)解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12-＝﹣2022+6+12﹣18………②＝﹣2048…………………③（1）淇淇的計算過程中開始出現(xiàn)錯誤的步驟是；（填序號）（2）請給出正確的解題過程．【分析】（1）根據(jù)冪的運算即可判斷；（2）按照有理數(shù)的運算法則，先計算括號內(nèi)的，再計算括號外的，利用冪運算的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（12-13）＝∴原式＝1﹣（﹣8）+6÷1∴開始出現(xiàn)錯誤的步驟是①，故答案為：①；（2）原式＝1﹣（﹣8）+6÷＝1+8+6×6＝1+8+36＝45．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)的運算法則，注意運算順序．【變式1-7】（2022秋?長壽區(qū)期末）計算：（1）﹣22﹣|﹣7|+3﹣2×（-1（2）﹣14+[4﹣（38+16-【分析】（1）原式先計算乘方及絕對值運算，再計算乘法運算，最后算加減運算即可得到結(jié)果；（2）原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后算加減運算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝﹣4﹣7+3+1＝﹣7；（2）原式＝﹣1+（4﹣9﹣4+18）÷5＝﹣1+9【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式1-8】（2022秋?黃石港區(qū)期末）計算與化簡：（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4；（2）（14-49）×（﹣6）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除法和加法可以解答本題；（2）根據(jù)乘法分配律、有理數(shù)的乘除法和加法可以解答本題．【解答】解：（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4＝﹣4+|﹣18+6|÷4＝﹣4+12÷4＝﹣4+3＝﹣1；（2）（14-49）×（﹣6＝（14-49）×＝9+（﹣16）+（﹣14）＝﹣21．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．【變式1-9】計算：（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；（2）|1（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12-23）（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13-|1﹣（﹣5）【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加減即可；（2）先算乘方，再算乘法，最后算加減即可．（3）先去絕對值、計算小括號內(nèi)的式子和有理數(shù)的乘方，然后計算乘除法，最后算加法即可．（4）先算乘方，再算絕對值和括號里面的，最后算乘法和加減；【解答】解：（1）原式＝2×（﹣27）﹣4×（﹣3）+15＝﹣54+12+15＝﹣27；（2）|＝|-16|×（﹣12）-1=16×（﹣＝﹣2+1＝﹣1．（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12-23）＝﹣9÷9+（-16）×（﹣＝﹣1+2＝1．（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13-|1﹣（﹣5＝﹣1-12×＝﹣1-1＝﹣2516【點評】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的本題的關鍵．【變式1-10】（2022秋?仁懷市期中）計算：（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）；（2）-5×2+3÷1（3）-1（4）(-48)×(1【分析】（1）先把減法轉(zhuǎn)化為加法，然后根據(jù)加法法則計算即可；（2）先算乘除法，再算加減法即可；（3）先算乘方和括號內(nèi)的式子，然后計算括號外的除法，最后算加減法即可；（4）先算乘方，再算乘除法，最后算加減法即可．【解答】解：（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）＝（﹣23）+（﹣59）+（﹣41）+59＝﹣64；（2）-5×2+3÷＝﹣10+3×3+1＝﹣10+9+1＝0；（3）-＝﹣1+（﹣2）2-14÷＝﹣1+4-14×＝﹣1+4+2＝5；（4）(-48)×(＝﹣48×18+48×13＝﹣6+16﹣12+8＝6．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則和運算順序是解答本題的關鍵．題型二含乘方的程序圖運算題題型二含乘方的程序圖運算題【例題2】如圖是一個簡單的數(shù)值運算程序圖，當輸入x的值為﹣1時，輸出的數(shù)值為．【分析】首先求出﹣1的平方是多少，然后用﹣1的平方乘﹣3，求出積是多少，再用所得的積減去2，求出輸出的數(shù)值為多少即可．【解答】解：當輸入x的值為﹣1時，輸出的數(shù)值為：（﹣1）2×（﹣3）﹣2＝1×（﹣3）﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5．故答案為：﹣5．【點評】此題主要考查了代數(shù)式求值問題，要熟練掌握，求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．解題技巧提煉利用有理數(shù)的加減乘除乘方混合運算解決程序計算題的關鍵就是弄清楚題圖給出的計算程序，根據(jù)程序列出算式解答即可．【變式2-1】（2022秋?藍山縣期中）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的值為﹣2，則輸出的結(jié)果為．【分析】根據(jù)運算程序計算，若結(jié)果大于0，則符合題意，若結(jié)果小于0，則輸入程序重新計算即可．【解答】解：當x＝﹣2時，（﹣2）2﹣8＝﹣4＜0，當x＝﹣4時，（﹣4）2﹣8＝8＞0，∴輸出的結(jié)果為8．故答案為：8．【點評】本題考查了代數(shù)式求值以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是根據(jù)程序列出正確的計算式．【變式2-2】（2022春?承德期末）根據(jù)圖所示的程序計算，若輸入x的值為2，則輸出y的值為；若輸入x的值為﹣1，則輸出y的值為．【分析】將x＝2和x＝﹣1分別代入，別判斷計算結(jié)果是否大于0，即可得答案．【解答】解：輸入x的值為2，輸出y的值為22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4；若輸入x的值為﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2，∵﹣2＜0，∴（﹣2）2×2﹣4＝4，∴輸入x的值為﹣1，輸出y的值為4，故答案為：4，4．【點評】本題考查有理數(shù)的運算，解題的關鍵是理解圖中的計算程序．【變式2-3】按照以下程序圖輸入x的值為﹣3，則輸出的y值為．【分析】首先用輸入x的值乘（﹣2），結(jié)果是6，第二次輸入，62×（﹣2），結(jié)果小于0，可得結(jié)論．【解答】解：∵﹣3×（﹣2）＝6＞0，∴y＝62×（﹣2）＝﹣72，故答案為：﹣72．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵就是弄清楚題中圖形給出的計算程序．由于將x＝﹣3開始代入計算是6，不是負數(shù)，返回繼續(xù)計算，要平方后再代入，這是本題易出錯的地方．【變式2-4】（2023?襄陽模擬）按照如圖所示的計算程序，若輸入結(jié)果是﹣3，則輸出的結(jié)果是．【分析】認真讀懂題意，根據(jù)題目的計算程序進行計算，然后判斷即可．【解答】解：當x＝﹣3時，10﹣（﹣3）2＝1，1＞0，∴根據(jù)題意繼續(xù)計算10﹣12＝9，9＞0，∴根據(jù)題意繼續(xù)計算10﹣92＝﹣71，﹣71＜0，∴輸出結(jié)果為﹣71．故答案為：﹣71．【點評】本題考查了代數(shù)求值，解題的關鍵要讀懂題意，能根據(jù)題意進行代數(shù)計算，最后得到符合題意的結(jié)果．【變式2-5】如圖，是一個有理數(shù)運算程序的流程圖，請根據(jù)這個程序回答問題：當輸入的x為﹣2時，最后輸出的結(jié)果y是．【分析】根據(jù)題中的程序流程圖，將x＝﹣2代入計算得到結(jié)果為1，將x＝1代入計算得到結(jié)果大于1，即可得到最后輸出的結(jié)果．【解答】解：把x＝﹣2代入可得：[(-2)再把x＝1代入可得：[1所以y=7故答案為：7【點評】此題考查了代數(shù)式求值，弄清題中的程序流程是解本題的關鍵．【變式2-6】（2022秋?朝陽區(qū)月考）如圖是一個有理數(shù)運算程序的流程圖，請根據(jù)這個程序回答問題：當輸入的x為﹣2時，最后輸出的結(jié)果y是．【分析】根據(jù)題中的程序流程圖，將x＝﹣2代入計算得到結(jié)果為3，將x＝3代入計算得到結(jié)果小于1，即可得到最后輸出的結(jié)果．【解答】解：把x＝﹣2代入可得：（﹣2﹣1）3×（-1＝（﹣3）3×（-1＝﹣27×（-1＝3，再把x＝3代入可得：（3﹣1）3×（-1＝23×（-1＝8×（-1=-89故最后輸出的結(jié)果y是-8故答案為：-8【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，代數(shù)式求值，弄清題中的程序流程是解本題的關鍵．【變式2-7】按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數(shù)是18；而結(jié)果不大于100時，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進行第二次運算，直到符合要求為止，則最后輸出的結(jié)果為（）A．72 B．144 C．288 D．576【分析】把18輸入程序中計算，依此類推，結(jié)果大于100輸出即可．【解答】解：把18輸入得：18×|-12|÷[﹣（12＝18×12÷＝﹣36＜100，把﹣36輸入得：﹣36×|-12|÷[﹣（12＝﹣36×12÷＝72＜100，把72輸入得：72×|-12|÷[﹣（12＝72×12÷＝﹣144＜100，把﹣144輸入得：﹣144×|-12|÷[﹣（12＝﹣144×12÷＝288＞100，則輸出的數(shù)字為288．故選：C．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式2-8】（2022?蓮池區(qū)校級一模）如圖所示，某數(shù)學活動小組編制了一道有理數(shù)混合運算題，即輸入一個有理數(shù)，按照自左向右的順序運算，可得計算結(jié)果，其中“●”表示一個有理數(shù)．（1）若●表示2，輸入數(shù)為﹣3，求計算結(jié)果；（2）若計算結(jié)果為8，且輸入的數(shù)字是4，則●表示的數(shù)是幾？（3）若輸入數(shù)為a，●表示的數(shù)為b，當計算結(jié)果為0時，請求出a與b之間的數(shù)量關系．【分析】（1）把﹣3和●表示的數(shù)輸入計算程序中計算即可求出值；（2）設●表示的數(shù)為x，根據(jù)計算程序列出方程，求出方程的解即可得到x的值；（3）把a與b代入計算程序中計算，使其結(jié)果為0，得到a與b的數(shù)量關系即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（﹣3）×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣2＝12÷2﹣1﹣2＝6﹣1﹣2＝3；（2）設●表示的數(shù)為x，根據(jù)題意得：4×（﹣4）+2+（﹣1）﹣x＝8，解得：x＝﹣17；（3）由題意得：-4a2+（﹣1）﹣b＝整理得：b＝﹣2a﹣1．【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的運算是解本題的關鍵．題型三題型三含乘方的新定義運算問題【例題3】用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝ab2+2ab+a，如1☆3＝1×32+2×1×3+1＝16．則（﹣2）☆3的值為．【分析】利用題中所定義的運算規(guī)則得出算式，按照有理數(shù)的混合運算法則計算即可．【解答】解：∵a☆b＝ab2+2ab+a，∴（﹣2）☆3＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32．【點評】本題考查了新定義在有理數(shù)的混合運算中的簡單應用，正確按照定義得出算式是解題的關鍵．解題技巧提煉新定義運算問題主要是運用題目中所給的新定義的運算方式進行計算即可，注意計算時的運算順序，也是對有理數(shù)的混合運算的考查.【變式3-1】（2022秋?潢川縣校級期末）用“*”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a*b＝ab2+2a，則3*（﹣2）＝．【分析】根據(jù)a*b＝ab2+2a，可得：3*（﹣2）＝3×（﹣2）2+2×3，據(jù)此求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵a*b＝ab2+2a，∴3*（﹣2）＝3×（﹣2）2+2×3＝3×4+6＝12+6＝18．故答案為：18．【點評】此題主要考查了定義新運算，以及有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．【變式3-2】用“☆”定義一種新運算：對任意給定的兩個有理數(shù)a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，則（﹣2）☆3＝．【分析】利用題中所定義的運算規(guī)則得出算式，按照有理數(shù)的混合運算法則計算即可．【解答】解：∵a☆b＝3ab2+2ab+a，∴（﹣2）☆3＝3×（﹣2）×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣54﹣12﹣2＝﹣68．故答案為：﹣68．【點評】本題考查了新定義在有理數(shù)的混合運算中的簡單應用，正確按照定義得出算式是解題的關鍵．【變式3-3】對于有理數(shù)a、b定義運算如下：a*b＝（a+b）2（b﹣a），則﹣10*（﹣4*5）＝．【分析】根據(jù)新定義運算法則列出算式，然后按照有理數(shù)混合運算的運算順序和計算法則進行計算．【解答】解：原式＝﹣10*[（﹣4+5）2×（5+4）]＝﹣10*（1×9）＝﹣10*9＝（﹣10+9）2×[9﹣（﹣10）]＝（﹣1）2×（9+10）＝1×19＝19，故答案為：19．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，理解新定義運算法則，注意明確有理數(shù)混合運算順序（先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算）是解題關鍵．【變式3-4】（2022秋?泊頭市期中）洪洪同學在電腦中設置了一個有理數(shù)的運算程序：輸入數(shù)“a”加“★”鍵，再輸入“b”，就可以得到運算a?b=|2-a2|-1b+1．按此程序（﹣3）?（﹣【分析】根據(jù)題意列出算式進行計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：(-3)?(-2)=|2-=|2-9|+1=7+1＝8.5．故答案為：8.5．【點評】本題主要考查了代數(shù)式求值，有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是根據(jù)題意列出算式，準確計算．【變式3-5】定義一種運算：acbd=ad﹣bc，如1-3-20=1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么當a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，【分析】首先分別求出a、b、c、d的值各是多少；然后根據(jù)acbd=【解答】解：a＝（﹣2）2＝4b＝﹣（﹣1）3+1＝2c＝﹣32+5＝﹣9+5＝﹣4d=14-|∴a＝ad﹣bc＝4×（-12）﹣2×（﹣＝﹣2+8＝6【點評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．【變式3-6】（2023春?大豐區(qū)月考）如果xn＝y(tǒng)，那么我們規(guī)定（x，y）＝n．例如：因為32＝9，所以（3，9）＝2．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，8）＝，（2，14）＝（2）記（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．試說明：a+b＝c．【分析】（1）認真讀懂題意，利用新定義的運算法則計算；（2）利用新定義計算并證明a+b＝c．【解答】解：（1）（2，8）＝3，（2，14）＝﹣2故答案為：3，﹣2；（2）∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，∵12×5＝60，∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c，∴a+b＝c．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方的新定義，解題的關鍵是認真讀懂題意掌握新定義，利用新定義解決問題．【變式3-7】規(guī)定一種新運算法則：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．請用上述運算法則回答下列問題．（1）求3※（﹣1）的值；（2）求（﹣4）※（12※2（3）若m※5的值為40，求m的值．【分析】（1）根據(jù)a※b＝ab﹣2a+b2，可以求得所求式子的值；（2）先算后面括號內(nèi)的式子，然后再根據(jù)題目中的新法則計算即可；（3）根據(jù)m※5的值為40，可以得到5m﹣2m+52＝40，然后求解即可．【解答】解：（1）由題意可得，3※（﹣1）＝3×（﹣1）﹣2×3+（﹣1）2＝（﹣3）﹣6+1＝﹣8；（2）（﹣4）※（12※2＝（﹣4）※（12×2﹣2×1＝（﹣4）※（1﹣1+4）＝（﹣4）※4＝（﹣4）×4﹣2×（﹣4）+42＝（﹣16）+8+16＝8；（3）∵m※5的值為40，∴5m﹣2m+52＝40，解得m＝5，即m的值是5．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是會用新定義解答問題．【變式3-8】（2022秋?朝陽區(qū)校級期中）探究規(guī)律，完成相關題目．定義“*”運算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．0*0＝02+02＝0（1）歸納*運算的法則：兩數(shù)進行*運算時，．（文字語言或符號語言均可）特別地，0和任何數(shù)進行*運算，或任何數(shù)和0進行*運算，．（2）計算：（+1）*[0*（﹣2）]＝．（3）是否存在有理數(shù)m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求理由．【分析】（1）首先根據(jù)*運算的運算法則進行運算的算式，歸納出*運算的運算法則即可；然后根據(jù)：0*（﹣5）＝（﹣5）2；（+3）*0）＝（+3）2，可得：0和任何數(shù)進行*運算，或任何數(shù)和0進行*運算，等于這個數(shù)的平方．（2）根據(jù)（1）中總結(jié)出的*運算的運算法則，以及有理數(shù)的混合運算的運算方法，求出（+1）*[0*（﹣2）]的值是多少即可．（3）加法有交換律和結(jié)合律，這兩種運算律在有理數(shù)的*運算中還適用，并舉例驗證加法交換律適用即可．【解答】解：（1）歸納*運算的法則：兩數(shù)進行*運算時，同號得正，異號得負，并把兩數(shù)的平方相加．特別地，0和任何數(shù)進行*運算，或任何數(shù)和0進行*運算，等于這個數(shù)的平方．（2）（+1）*[0*（﹣2）]＝（+1）*（﹣2）2＝（+1）*4＝+（12+42）＝1+16＝17；（3）∵（m﹣1）*（n+2）＝0，∴±[（m﹣1）2+（n+2）2]＝0∴m﹣1＝0，n+2＝0，解得m＝1，n＝﹣2．故答案為：同號得正，異號得負，并把兩數(shù)的平方相加；等于這個數(shù)的平方；﹣3．【點評】此題主要考查了定義新運算，以及有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算，注意加法運算定律的應用．題型四含乘方的探究規(guī)律題題型四含乘方的探究規(guī)律題【例題4】（2022秋?淮南期末）觀察下面三行數(shù)．﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…（1）求第一行的第n個數(shù)；（n為正整數(shù)）（2）求第二行的第6個數(shù)、第三行的第7個數(shù)；（3）取每一行的第k個數(shù)，這三個數(shù)的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，請說明理由．【分析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)第一行數(shù)的規(guī)律為（﹣2）”，（﹣2）“即為第一行的第n個數(shù)；（2）觀察第二、三行數(shù)與第一行數(shù)的關系，可得出第二行的第n個數(shù)是（﹣2）”+1，第三行的第n個數(shù)是2×（﹣2）”，再求出第二行的第6個數(shù)和第三行的第7個數(shù)即可；（3）根據(jù)（2）得出的三行數(shù)的關系，可設第一行的第k個數(shù)為x，則第二行的第k個數(shù)為（x+1），第三行的第k個數(shù)為2x，根據(jù)題意有x+（x+1）+2x＝﹣127，解方程得x＝﹣32，然后根據(jù)第一行數(shù)的規(guī)律得到（﹣2）k＝﹣32，所以k＝5．【解答】解：（1）第一行數(shù)的規(guī)律是：后面一個數(shù)是前一個數(shù)的﹣2倍，即（﹣2）1，（﹣2）2，（﹣2）3，…，所以第一行的第n個數(shù)是（﹣2）n．（2）∵同位置的第二行數(shù)比第一行數(shù)大1，同位置的第三行數(shù)是第一行數(shù)的2倍，∴第二行的第n個數(shù)是（﹣2）n+1，第三行的第n個數(shù)是2x（﹣2）n；第二行的第6個數(shù)是（﹣2）6+1＝65，第三行的第7個數(shù)是2×（﹣2）7＝﹣256；（3）能，設第一行的第k個數(shù)為x，則第二行的第k個數(shù)為（x+1），第三行的第k個數(shù)為2x，根據(jù)題意有x+（x+1）+2x＝﹣127，解得x＝﹣32，∴（﹣2）k＝﹣32，∴k＝5，∴k的值為5．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)已知得出規(guī)律，運用規(guī)律是解答此題的關鍵．解題技巧提煉乘方運算中的數(shù)或數(shù)列呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，可以從符號和絕對值兩個方面考慮數(shù)的變化規(guī)律，由特殊到一般，由得到的規(guī)律來解決問題．【變式4-1】觀察下列等式，找出規(guī)律然后在空格處填上具體的數(shù)字．1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，根據(jù)規(guī)律填空1+3+5+7+9+…+2021＝．【分析】根據(jù)已知等式知，從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)的和等于序數(shù)加1和的平方，據(jù)此可知第n個等式的和為（n+1）2，據(jù)此求解即可．【解答】解：∵第1個等式：1+3＝4＝22；第2個等式：1+3+5＝9＝32；第3個等式：1+3+5+7＝16＝42；第4個等式：1+3+5+7+9＝25＝52；…，∴第n個等式：1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝（n+1）2，當2n+1＝2021時，解得：n＝1010，∴1+3+5+7+9+…+2021＝（1010+1）2＝10112．故答案為：10112．【點評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律并會用代數(shù)式表示是關鍵．【變式4-2】觀察下面三行數(shù)：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…．③（1）按第①行數(shù)的規(guī)律，分別寫出第7和第8個數(shù)；（2）請你分別寫出第②③行的第7個數(shù)；（3）取每行數(shù)的第9個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．【分析】（1）觀察不難發(fā)現(xiàn)，第①行數(shù)后一個數(shù)是前一個數(shù)的（﹣2）倍，寫出第n項的表達式，然后把n＝7、8代入進行計算即可得解；（2）第②行為第①行的數(shù)加2；第③行為第①行的數(shù)的一半減1，分別寫出第n個數(shù)的表達式，然后把n＝7代入求解即可；（3）根據(jù)各行的表達式求出第9個數(shù)，然后相加即可得解．【解答】解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，∴第n個數(shù)是（﹣2）n，∴第7個數(shù)是（﹣2）7＝﹣128，第8個數(shù)是（﹣2）8＝256；（2）觀察發(fā)現(xiàn)，第②行為第①行的數(shù)加2，所以，第②行的第n個數(shù)為（﹣2）n+2，所以，第7個數(shù)是（﹣2）7+2＝﹣128+2＝﹣126；第③行為第①行的數(shù)的一半減1，所以，第③行的第n個是為12×（﹣2）n﹣所以，第7個數(shù)為12×（﹣2）7﹣1＝﹣64﹣1＝﹣（3）第①行的第9個數(shù)為（﹣2）9＝﹣512，第②行的第9個數(shù)為（﹣2）9+2＝﹣510，第③的第9個數(shù)為12×（﹣2）9﹣1＝﹣所以，這三個數(shù)的和為：（﹣512）+（﹣510）+（﹣257）＝﹣1279．【點評】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，比較簡單，觀察出第②③行的數(shù)與第①行的數(shù)的聯(lián)系是解題的關鍵．【變式4-3】觀察下面三行數(shù)：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②12，﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…；（1）請直接寫出第①行數(shù)的第100項：，第n項：；（2）第②行數(shù)的第2012項：；（3）第③行數(shù)與第①行數(shù)有什么關系？（4）取每行數(shù)第10個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．【分析】（1）根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個數(shù)是（﹣1）n?2n；（2）第①行的每一項都加2，可得第②行；（3）第①行的每一項都乘以（-14），可得第（4）根據(jù)每行的規(guī)律，可得第10個數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．【解答】解：（1）請直接寫出第①行數(shù)的第100項：200，第n項：（﹣1）n?2n；（2）第②行數(shù)的第2012項是（﹣1）2012×22012+2＝22012+2（3）第一行的每一項都乘以（-1（4）取每行數(shù)第10個數(shù)，計算這三個數(shù)的和[（﹣1）10×210]+[（﹣1）10×210+2]+[（﹣1）10×210×（-14＝1024+1026﹣256＝1794．故答案為：2100，（﹣1）n?2n；22012+2．【點評】本題考查了規(guī)律型，觀察發(fā)現(xiàn)每行的規(guī)律是解題關鍵，利用（﹣1）的乘方得出每項的符號是解（1）的關鍵．【變式4-4】觀察下面三行數(shù)：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．（1）第一行第十個數(shù)是；（2）第二行第n個數(shù)是（n為正整數(shù)）；（3）取每行的第十個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．【分析】（1）根據(jù)第①行的數(shù)的變化特點，可以寫出第n個數(shù)，從而可以寫出第十個數(shù)；（2）根據(jù)第②行的數(shù)的變化特點，可以寫出第n個數(shù)，從而可以解答本題；（3）根據(jù)第③行的數(shù)的變化特點，可以寫出第n個數(shù)，然后再根據(jù)（1）和（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，即可分別寫出前三行中的第十個數(shù)字，然后相加，即可解答本題．【解答】解：（1）∵第①行的數(shù)為：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…，∴第n個數(shù)為：（﹣1）n?（4n﹣3），∴當n＝10時，這個為（﹣1）10?（4×10﹣3）＝37，故答案為：37；（2）∵第②行的數(shù)為：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，∴第n個數(shù)為（﹣1）n?2n，（3）∵第③行的數(shù)為：﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…，∴第n個數(shù)為（﹣1）n?n2，∵第①行第n個數(shù)為：（﹣1）n?（4n﹣3），第②行第n個數(shù)為（﹣1）n?2n，∴當n＝10時，第①行的數(shù)為37，第②行的數(shù)為210＝1024，第③行的數(shù)為102＝100，∵37+1024+100＝1161，∴取每行數(shù)的第十個數(shù)，這三個數(shù)的和是1161．【點評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答的關鍵是分析清楚題中的數(shù)所存在的規(guī)律．【變式4-5】觀察下列運算過程：S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②②﹣①，得2S＝32018﹣1，S=3用上面的方法計算：1+5+52+53+…+52017．【分析】仿照題目中的例子，可以設S＝1+5+52+53+…+52017，然后得到5S，再作差，整理即可得到所求式子的值．【解答】解：設S＝1+5+52+53+…+52017，則5S＝5+52+53+…+52018，5S﹣S＝52018﹣1，4S＝52018﹣1，則S=5故答案為：52018【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．【變式4-6】已知13＝1=14×12×22，13+23＝9=14×22×32，13+23+33＝36=（1）13+23+33+43+53＝=14×2×（2）猜想：13+23+33+…+n3＝14×（3）利用（2）中的結(jié)論計算：（寫出計算過程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．【分析】（1）根據(jù)題目提供的三個算式利用類比法可以得到13+23+33+43+53的結(jié)果；（2）根據(jù)上面的四個算式總結(jié)得到規(guī)律13+23+33+…+n3=14×n2×（n+1（3）113+123+313+143+153+163+…+393+403轉(zhuǎn)化為13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用總結(jié)的規(guī)律即可求得答案．【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝225=14×52（2）猜想：13+23+33+…+n3=14×n2×（n（3）利用（2）中的結(jié)論計算：113+123+133+143+153+163+…+393+403．解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）=14×402×412-14＝672400﹣3025＝669375【點評】本題考查了數(shù)字的變化類問題，仔細的觀察題目提供的算式并找到規(guī)律是解決此題的關鍵．【變式4-7】（2022秋?永定區(qū)期中）觀察下面算式的演算過程：1+11+11+11+1…（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：1+15×7=1+16×8=1+12n×(2n+2)=(2n+1)（2）根據(jù)規(guī)律計算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+1【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以寫出相應的式