數(shù)學(xué)教案：一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課教案及反思

教案系列數(shù)學(xué)教案：一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課教案及反思?XML:NAMESPACEPREFIX=O/>x-1＝0有兩個不相等的實根，求k

的取值范圍。

錯解:由△＝(-2)2-4(1-2k)(-1)＝-4k+8＞0得k＜2又∵k+1≥0∴k≥-1。即k的取值范

圍是-1≤k＜2

錯因剖析：漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上，當(dāng)1-2k＝0即k＝時，原方程變?yōu)橐淮畏匠蹋恍心苡袃蓚€實根。

正解：-1≤k＜2且k≠

例4（2021中考題）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的兩個實數(shù)根，當(dāng)x12+x22=15時，求m的值。

錯解：由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2＝-（2m+1）,x1x2＝m2+1,

∵x12+x22＝(x1+x2)2-2x1x2

＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）

＝2m2+4m-1

又∵x12+x22=15

∴2m2+4m-1=15

∴m1＝-4m2＝2

錯因剖析：漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當(dāng)m＝-4時，方程為x2-7x+17＝0，此時△＝（-7）2-4171＝-19＜0，方程無實數(shù)根，不符合題意。

正解：m＝2

例5若關(guān)于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1＝0有實數(shù)根，求m的取值范圍。

錯解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1)＝16m+20

∵

△≥0

∴16m+20≥0，

∴m≥-5/4

又∵m2-1≠0，

∴m≠1

∴m的取值范圍是m≠1且m≥-

錯因剖析：此題只說(m2-1)x2-2(m+2)x+1＝0是關(guān)于未知數(shù)x的方程，而未限定方程的次數(shù)，所以在解題時就必需考慮m2-1＝0和m2-1≠0兩種狀況。當(dāng)m2-1＝0時，即m＝1時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，仍有實?shù)根。

正解：m的取值范圍是m≥-

例6已知二次方程x2+3x+a＝0有整數(shù)根，a是非負(fù)數(shù)，求方程的整數(shù)根。

錯解：∵方程有整數(shù)根，

∴△＝9-4a＞0，則a＜2.25

又∵a是非負(fù)數(shù)，∴a＝1或a＝2

令a＝1，則x＝-3，舍去；令a＝2，則x1＝-1、x2＝-2

∴方程的整數(shù)根是x1＝-1，x2＝-2

錯因剖析：概念模糊。非負(fù)整數(shù)應(yīng)包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分，當(dāng)a＝0時，還可以求出方程的另兩個整數(shù)根，x3＝0，x4＝-3

正解：方程的整數(shù)根是x1＝-1，x2＝-2，x3＝0，x4＝-3

【練習(xí)】

練習(xí)1、（01中考題）已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？假如存在，求出k的值；假如不存在，請說明理由。

解：（1）依據(jù)題意，得△＝(2k-1)2-4k2＞0解得k＜

∴當(dāng)k＜

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）存在。假如方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)，則x1+x2=-=0，

解得k＝。經(jīng)檢驗k＝是方程-的解。

∴當(dāng)k＝時，方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

讀了上面的解題過程，請推斷是否有錯誤？假如有，請指出錯誤之處，并直接寫出準(zhǔn)確答案。

解：上面解法錯在如下兩個方面：

（1）漏掉k≠0，準(zhǔn)確答案為：當(dāng)k＜時且k≠0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

（2）k＝。不滿意△＞0，準(zhǔn)確答案為：不存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)

練習(xí)2（02市）當(dāng)a

取什么值時，關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1＝0只有正實數(shù)根?

解：（1）當(dāng)a＝0時，方程為4x-1＝0，∴x＝

（2）當(dāng)a≠0時，∵△＝16+4a≥0∴a≥-4

∴當(dāng)a≥-4且a≠0時，方程有實數(shù)根。

又因為方程只有正實數(shù)根，設(shè)為x1，x2，則：

x1+x2＝-＞0；

x1.x2＝-＞0解得：a＜0

綜

上所述，當(dāng)a＝0、a≥-4、a＜0時，即當(dāng)-4≤a≤0時，原方程只有正實數(shù)根。

【小結(jié)】以上數(shù)例，說明我們在求解關(guān)于二次方程的問題時，往往急于尋求結(jié)論而忽視了實數(shù)根的存在與“△”之間的關(guān)系。

1、運用根的判別式時，若二次項系數(shù)為字母，要留意字母不為零的條件。

2、運用根與系數(shù)關(guān)系時，△≥0是前提條件。

3、條件多面時（如例5、例6）考慮要周全。

【布置作業(yè)】

1、當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程x2+2（m-1）x+m2-9＝0有兩個正根？

2、已知，關(guān)于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5＝0（m≠0）沒有實數(shù)根。求證：關(guān)于x的方程

（m-5）x2-2（m+2）x+m＝0肯定有一個或兩個實數(shù)根。

考題匯編

1、（年省中考題）設(shè)x1、x2是方程x2-5x+3＝0的兩個根，不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求（x1-x2）2的值。

2、（2021年省中考題）已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1＝0

（1）若方程的一個根為1，求m的值。

（2）m＝5時，原方程是否有實數(shù)根，假如有，求出它的實數(shù)根；假如沒有，請說明理由。

3、（2021年省中考題）已知關(guān)