2022年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編05：不等式解析版

2022年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題05：不等式所以Zmax=2X4-0=8.

一、單選題故選：C

X-2Z0,【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.

2x+y-7<0,貝【Jz=3%+4y的最大值是（）

3.（2022?全國(guó)甲卷）設(shè)全集U={-2,一1,0,1,2,3）,集合A={-1,2},B={x|x2-4x4-3=

1x—y—2<0,

0）,則Q（4U8）=（）

A.20B.18C.13D.6

【答案】BA.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0）

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【答案】D

x-2>0,【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算：補(bǔ)集及其運(yùn)算：一元二次方程

2x+y-7<0,畫(huà)出可行域，

【解析】【解答】解：由題意得，F(xiàn)={X|X2-4X+3=0}={1,3},所以AUB={-1,1,2,3）,

（x-y—2<0,

所以Q（4uB）={-2,0）.

故選：D

【分析】先求解方程求出集合B,再由集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算即可得解.

4.（2022?全國(guó)甲卷）已知9m=10,a=b=8m-9,貝U（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；換底公式的應(yīng)用；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

【解析】【解答】解：由9m=10可得m=log910=^>l,

可知過(guò)點(diǎn)（2,3）時(shí)取到最大值18.而旬9^11<（妒學(xué)llj=（等j<1=?0）z,

故答案為：B所以博〉踹，

【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合圖象求解即可.

即m>lg11,

‘％+y>2,所以a=10m-ll>105L1=0.

2.（2022?全國(guó)乙卷）若x,），滿足約束條件?％+2y<4,則z=2%-y的最大值是（）

又S&glO<（08苧嚀=（等?<（國(guó)9）2，

、y>0，

A.-2B.4C.8D.12所以僚〉卷，

【答案】C

即log89>m,

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

所以b=8?n-9<83g89-9=0.

【解析】【解答】由題意作出可行域（陰影部分所示），目標(biāo)函數(shù)z=2x-y轉(zhuǎn)化為y=2x-z,

綜上,a>O>b.

上下平移直線y=2x-z,可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（4,0）時(shí)，直線截距最小，z最大，故選：A

【分析】根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=log910>l,再利用基本不等式，換底公式可得【答案】D

logs9>m,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算：其他不等式的解法

5.(2022?新高考團(tuán)卷)設(shè)a=0.1e°‘，b=3,c=—ln0.9,則()【解析】【解答】解：由題意得，M={x|0<x<16},N=[x\x2上，則MC\N={xIj<x<16}，

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b故選：D

【答案】C【分析】先由不等式的解法求得集合M,N,再根據(jù)交集的運(yùn)算求得答案.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：不等式比較大小7.(2022?浙江學(xué)考)不等式x2-4x<0的解集是()

【解析】【解答]解:令a=xe\b=Y^-,c=-ln(l-x),

1—xA.(0,4)B.(-4,0)

則lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x),C.(—co,4)D.(-co,0)U(4?+oo)

令y=x+ln(l-x),xG(0,0.1],

【答案】A

則，T，

Jy=1—1-x=1—-x<0【知識(shí)點(diǎn)】?元二次不等式的解法

所以ywo,【解析】【解答】x2-4x<0=>x(x-4)<0,解得0<%<4,所以解集為(0,4)。

所以lna<lnb,

故答案為：A

所以b>a,

a-c=xex+ln(l-x),x￡(0,0.1],

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法，進(jìn)而得出不等式X2-4X<0的解集。

令y=xe'+ln(l-x),x￡(0,0.1],

8.(2022?浙江學(xué)考)不等式組表示的平面區(qū)域是()

令k(x)=(l+x)(l—x)ex—1,

所以k'(x)=(l-2x-x2)ex>0,

所以k(x)>k(0)>0,

所以y'X),

所以a-c>0,

所以a>c,

綜上可得，c<a<b,

故選：C

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)y=x+ln(l-x),xe(0,0.1],y=xe?+ln(l-x),xe(0,0.1],根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)

【答案】B

性，再運(yùn)用作差法比較大小即可得解.

【知識(shí)點(diǎn)】二元一次不等式(組)與平面區(qū)域

6.(2022?新高考閉卷)若集合M={x\y/x<4],N={x\3x>1},則MnN=()

【解析】【解答】畫(huà)出直線x-2y4-5=0,經(jīng)過(guò)一、二、三象限，對(duì)應(yīng)圖中的實(shí)線，代入(0,0)可得5>

A.{%|0<x<2}B.{x||<x<2}

0成立，所以x-2y4-5>0表示的區(qū)域?yàn)橹本€x-2y+5=0及直線右下方；畫(huà)出直線x+y+2=0,

C.{x|3<x<16}D.{x||<x<16}

經(jīng)過(guò)二、三、四象限，對(duì)應(yīng)圖中的虛線，代入（0,0）可得2Vo不成立，所以％+y+2Vo表示的區(qū)域【解析】【解答】解：對(duì)于A,令a=2,b=l,c=0,d=-3,貝ija+d=-l,b+c=l,此時(shí)a+dvb+c,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)镼>b>c>d,即a>b,c>d,則根據(jù)不等式的性質(zhì)得a+c>b+d,故B正確；

為直線x+y+2=0及直線左下方，所以對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)锽.

對(duì)于C,令a=2,b=l,c=0,d=-3,則ad=-3,bc=O,此時(shí)ad<bc,故C錯(cuò)誤；

故答案為：B

對(duì)于D,令a=-l,b=-2,c=-3,d=-4,則ac=3,bd=8,此時(shí)ac<bd,故D錯(cuò)誤.

故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合二元一次不等式組畫(huà)出可行域，從而找出不等式組表示的平面區(qū)域。

【分析】運(yùn)用特殊值法，結(jié)合不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解.

9.（2022?浙江學(xué)考）若log（2x-1）-x<log（A-2X+3X）對(duì)任意xe（0,+co）恒成立，則A的取值范圍

22二、多選題

是（）11.（2022?新高考田卷）對(duì)任意x,y,%?+y2一町,=1,貝[j（）

A.焉,4-oo）B.（0,i）C.（1,+oo）D.（0,i）A.x+y<1B.x+y>—2C.x2+y2<2D.x2+yz>1

【答案】B,C

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)恒成立問(wèn)題；基木不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

【解析】【解答】根據(jù)abW（竽/W哼」（a,beR）.爐+y2-xy=1可變形為，（x+y）2-1=

xXxrX

【解析】【解答】由log2（2-1）-x<log2（A-2+3A）,可得log2（2-1）-logz2<log2（A-2+3A）,

X3xy<3（^^）2?解得-2Wx+yW2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1

所以log2,2+3A），因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在（0,+oo）上單調(diào)遞增，所以與jv（2'+

3）A=>2/；；3）<4在（°，+8）上恒成立，令t=2x（t>1）,則某鼻V4在（1,+oo）上恒成立，時(shí)，x+y=2,所以A不符合題意，B符合題意；

x2+y2-xy=l可變形為（/+丫2）_1=到m直我,解得x2+y2<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±1時(shí)取

C-111,1_1

令"GTgl）+占+5,則”（1）+1+5工2k-1）.金+5=工當(dāng)且僅當(dāng)"3,即“

等號(hào)，所以C符合題意；

22

因?yàn)閤+y-Xy=l變形可得（?豕+為2=1,設(shè)X_Z=COS0,2^y=sine，所以x=cose+

log23時(shí)，取等號(hào)，所以A>o

故答案為：A%sin6,y=-^sin0,因此x?+y?=cos20+gsinS+煮sin9cos0=1+*sin20-gcos2e+4

=^+|sin（20-^e[1,2],所以當(dāng)x=g,y=-堂時(shí)滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所以D

xXx

【分析】由log2（2-1）-x<log2（A.2+3X）,可得log2^i<log2（A-2+3A），再利用函數(shù)y=

不符合題意.

logx在（0，+oo）上單調(diào)遞增，所以與二<（2'+3）A=/臺(tái)為<2在（0,+QO）上恒成立，令t=

2故答案為：BC

【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng).

2x（t>1），則靛JV4在（L+8）上恒成立，令y=Z^=（i）+六+5，再利用均值不等式求

三、填空題

1

最值的方法得出y=（51）+'+5的最大值，再結(jié)合不等式恒成立問(wèn)題求解方法，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)a的取值范12.（2022?全國(guó)甲卷）已知1ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，Z.ADB=120%AD=2,CD=2BD,當(dāng)?shù)谌?/p>

圍。

得最小值時(shí)，BD=.

10.（2022?上海）已知a>b>c>d,下列選項(xiàng)中正確的是（）

【答案】V3-1或-1+V5

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ad>beD.ac>bd

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用

【答案】B

【解析】【解答】解：設(shè)CD=2BD=2m>0,

【知識(shí)點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式：不等式比較大小

故答案為：(0,1).

A

【分析】根據(jù)分式不等式的解法直接求解即可.

四、解答題

15.(2022?全國(guó)乙卷)已知a,b,c都是正數(shù)，且3+黃+3=1，證明：

(1)abc<1：

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcosZADB=m2+4+2m,⑵贏+點(diǎn)+舟V志-

在4ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,【答案】(1)證明：因?yàn)閍>0,b>0,c>0,則君>0，4>0'J>0>

,AC24m2+4-4m4(m2+4+2m)-12(l+m)12、，1240月所以甥退NJGO，

所以存=應(yīng)由=—罰而一=4-耐幣鬲"-耐鎘=4-2爪,

即(afec)Z<1.所以血V/,當(dāng)且僅當(dāng)君=4=&，即a=b=c=喝時(shí)取等號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)m+1=3■即m=6-1時(shí)，等號(hào)成立，

m+i

(2)證明：因?yàn)镼>0,/?>0,c>0,

所以當(dāng)親取最小值時(shí)，7n=遮一1，即BD=VI-1.

所以b+c>2\[bc，a+c>2>[ac，a+b>2\[ab，

故答案為：V5—1.333

所以°v0—虎,bvb_虎,c<c_c2

【分析】設(shè)CD=2BD=2mX),利用余弦定理表示出或后，結(jié)合基本不等式即可得解.^+c-2>/bc=2>fabca+c-=2y[abca+b-2>fab=14abc

AB1333333

abc02b2c2a2+城+琥1

13.(2022?新高考團(tuán)卷)若曲線y=(x4-a}ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍_____+_____+______v_______+_______+_______==_______

b+cQ+Ca+b_2/abc24abe2/abc2dabc_____2dabc

是.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

【答案】a>0或aV-4

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式：不等式的證明

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；?元二次方程

【解析】【分析】(1)利用三元均值不等式即可證明：

【解析】【解答】解：易得曲線不過(guò)原點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)為(xo,(xo+a)exo),則切線斜率為f(xo)=(xo+a+l)eXo,

(2)利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可.

可得切線方程為y-(xo+a)exo=(xo+a+1)e'o(x-xo),又切線過(guò)原點(diǎn)，

16.(2022?新高考回卷)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知*$乙

可得-(xo+a)eXo=-xo(XQ+a+1)ex(),化簡(jiǎn)得x；+ax^—a=0(※，1+sinA

(1)若c=冬,求B：

又切線有兩條，即方程※有兩不等實(shí)根，由判別式△=a2+4a>0,得av-4或a>0.

故答案為：avd或a>0.(2)求。緣2的最小值.

C乙

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，再結(jié)合切線過(guò)原點(diǎn)，易得方程/+a%o-a=O有兩不等實(shí)根,

Y決心、,1、E%cos4sin2B2sinFcosBsinF

【答案】(1)因?yàn)?4^5=1+^2B=2C2B=■

由△>()求解即可.OS

所以cosAcosB=sinB+sinAsinB，

14.(2022?上海)不等式^.<0的解集為

所以cosQ4+8)=sinB,

【答案】(0,1)

又因?yàn)閏os(/l+B)=sinB=>sinB=cos(n-C)=cos'=工，

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次不等式的解法：其他不等式的解法

0=冬>￡，所以8V5，故8=卷.

【解析】【解答】解：由題意得M<0等價(jià)于x(x-l)<°，解得Ovxvl,故所求解集為(0,1).

(2)因?yàn)閟inB=cos(7t—C)=sin(C-今(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB的什么位置時(shí)，梯形FEBC的面積有最大值，最大面積為多少？

(長(zhǎng)度精確到0.1m,面積精確到0.01nP)

所以B=C-^

【答案】(1)如圖，作DHJ_EF,

所以sin/l=sin(B+C)=sin(2C—^)=—cos2C

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=>a2+b2=c2+2abcosC

所以(z2+d2_c2+2abcosC_.2abcosC

c2==1+-c2--

2sinAsinBcosC

=1+---------27-----

sin2c

2sinAsinBcosC

=1+---------o-------

sin2c

2cos2Ccos2C則EF=EH+HF=15tan200+l5tan500~23.3m：

=i+------^7-

sinC(2)設(shè)/ADE=AAE=15tan0,FH=15tan(900-20),

2(l-2sin2C)(l-sin2C)則LEFD=竽(30tan8+15cot20)=2^(3tan8+之—

=1+

smC當(dāng)且僅當(dāng)3tan6=焉，即tan”爭(zhēng)寸，等號(hào)成立，

1

2

=1+2(2sinC+—5—-3)即當(dāng)AE=15tan0=575時(shí)，最大面積為450-爺叵士255.14m2

sinzC

>l+2(2>/2-3)=4V2-5【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用：任意角三角函數(shù)的定義

當(dāng)且僅當(dāng)2sin2C=,即si“C=￥時(shí)取得等號(hào)，【解析】【分析】(1)根據(jù)正切函數(shù)的定義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解即可；

綜上，修！的最小值為4夜-5.(2)根據(jù)面積公式，結(jié)合基本不等式求最值求解即可.

CL18.(2022?上海)已知函數(shù)f(x),甲變化：；乙變化：|/(x+t)-fW\，t>0.

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值；余弦

(1)若t=1,/(x)=2X,/(x)經(jīng)甲變化得到g(x),求方程gQ)=2的解：

定理的應(yīng)用

(2)若/(x)=x2,/(x)經(jīng)乙變化得到h(x),求不等式/i(x)</(x)的解集；

【解析】【分析】U)先由二倍角公式與兩角和的余弦公式，化簡(jiǎn)得cos(A+B)=sinB,再由誘導(dǎo)公式，結(jié)

(3)若/(X)在(-co,0)上單調(diào)遞增，將/(X)先進(jìn)行甲變化得到u(x),再將u(x)進(jìn)行乙變化得到

合三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，得sinF=\,可得B；

九1(%):將/(均先進(jìn)行乙變化得到v(x),再將v(x)進(jìn)行甲變化得到電。)，若對(duì)