新疆烏魯木齊市第四十中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

烏魯木齊市第四十中學(xué)20222023學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（考試范圍：選擇性必修一全冊）總分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（12小題每題5分共60分）1已知直線與互相垂直，則（）A. B. C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】分別求出兩條直線的斜率，利用斜率乘積為即可得解【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為3，由題意，，解得故選：D【點睛】兩直線垂直得到斜率乘積為是解題關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.2.過點(2，4)的直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，判斷點(2，4)是否在拋物線上，即可求解.【詳解】因點(2，4)在拋物線y2＝8x上，所以過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點.故選B.3.拋物線的焦點坐標(biāo)為是拋物線上一點，則點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】由點到準(zhǔn)線距離求得結(jié)果【詳解】由于知，所以點M到拋物線的準(zhǔn)線的距離故選：C4.已知橢圓的長軸長為10，離心率為，則橢圓的短軸長為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知求出，再求出即得解.【詳解】由題意，得，，所以，所以，所以橢圓的短軸長為8.故選：D.5.曲線表示（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【答案】D【解析】【分析】化簡整理方程即得解.【詳解】解：由題得，所以，它表示以點為圓心，以2為半徑的圓.故選：D6.設(shè)拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線l與拋物線相交于A，B，點A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，再過B作AA'的垂線，由拋物線的性質(zhì)及三角形相似可得對應(yīng)邊成比例，求出|AF|，|BF|的值，進而求出比值.【詳解】解：設(shè)|BF|＝m，則由|AF|﹣|BF|可得|AF|m，由拋物線的方程可得：F（1，0），過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交于A'，B'，過B作AA'的垂線交AA'，OF分別于C，D點，則△BFD∽△BAC，所以，即，解得：m，所以2，故選：B.【點睛】本題考查了拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了基本運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于A，作出方程的圖形，結(jié)合圓心到直線的距離即可判斷；對于B，利用重要不等式（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ┘纯膳袛?；對于C，利用重要不等式及對數(shù)運算即可判斷；對于D，根據(jù)（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ┘纯膳袛?【詳解】對于A，令，則直線，如圖所示，當(dāng)直線與圓相切或相交時，，此時滿足題意，圓心到直線距離為，即，于是有，，，故A不正確；對于B，由，得，故B不正確；對于C，由，得，故C正確；對于D，由，得，故D不正確；故選：C.【點睛】本題解決的關(guān)鍵對于A選項，作出圖形利用數(shù)形結(jié)合即可解決，對于BCD三個選項，記住不等式鏈（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）即可解決該問題.8.若直線與直線互相垂直，則a的值為（）A. B.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為直線與直線互相垂直，所以解得；故選：B9.在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)建基向量，，表示，并根據(jù)向量的夾角公式求其夾角的余弦值即可.【詳解】如下圖，構(gòu)建基向量，，.則，所以所以.故選：C.10.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件建立等量關(guān)系，進一步利用通徑和焦距間的等量求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的左右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，

則：△為等腰直角三角形．

由于通徑，

則：，

解得：，

所以：，

解得：；

由于e＞1，

所以：，

故選：C．【點睛】本題考查通徑在求離心率中的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．11.已知點在直線上，點在橢圓上，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則點到直線的距離,然后根據(jù)三角函數(shù)求出最值.【詳解】設(shè)，則點到直線的距離.因為，所以，則.故選：A.【點睛】本題考查求橢圓上的點到直線的距離的最小值問題，屬于中檔題.12.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.內(nèi)含 D.外切【答案】D【解析】【分析】由圓的方程得到兩圓的圓心和半徑，通過比較圓心距與半徑關(guān)系即可判斷.【詳解】由題，圓的圓心為，半徑為2；圓，即，所以圓心為，半徑為；所以兩圓圓心距離為，所以兩圓外切.故選：D二、填空題（共4小題，每題5分共20分）13.在正方體中，給出以下向量表達式：①；②；③；④.其中能夠化簡為向量的是______________（填序號）.【答案】①②【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法運算的幾何意義，即可得答案；【詳解】①中，；②中，；③中，；④中，.故答案為：①②.【點睛】本題考查空間向量的加法、減法運算的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.平面的斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別為，則斜線與平面所成角為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義可得，即為線面所成角或其補角，利用兩的夾角公式求解即可.【詳解】由線面角的含義知，即為線面所成角或其補角，又因為線面角，所以，所以，即斜線與平面所成角為60°.故答案為：.【點睛】本題考查線面角的定義、空間中線面角的求法，考查分析理解，計算求值的能力，屬基礎(chǔ)題.15.已知空間三點，，，向量分別與，都垂直，且，且的橫?縱?豎坐標(biāo)均為正，則向量的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)向量的坐標(biāo)為，根據(jù)，，以及列方程組，解方程組即可求解.【詳解】設(shè)向量的坐標(biāo)為，因為，，，所以，，因為向量分別與，都垂直，且，所以，解得：，所以向量的坐標(biāo)為，故答案為：.16.已知直線與圓相交于A，B兩點，則線段的長為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意,求出直線經(jīng)過定點，以及由圓的方程分析圓的圓心與半徑,結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案.【詳解】直線恒過點，圓的圓心，半徑為，直線恒過圓的圓心，所以直線交圓的弦長為直徑，所以線段的長為.故答案為：.【點睛】本題考查了直線與圓的弦長問題.對于這類問題,一般有兩種方法,一是聯(lián)立直線和圓的方程,利用弦長公式進行求解；另外還可利用幾何的方法,求出圓心到直線的距離,求出圓的半徑,根據(jù)勾股定理可求出弦長.三、解答題（共70分，請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效.）17.如圖，在四棱錐中，，底面，是邊長為2的菱形，，正所在平面與底面垂直．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的中點為O，利用面面垂直的性質(zhì)證明平面，從而證明，進而證明四邊形為平行四邊形，由此可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出面和平面的法向量，利用向量的夾角公式結(jié)合同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)的中點為O，連接,因為是正三角形，所以，又因為平面平面，所以平面，又因為底面，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，因此平面．【小問2詳解】因為，，所以是正三角形，連接OB,則，如圖，以O(shè)為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可取平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，由，由，令，即，所以，所以所求二面角的正弦值為．18.已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.（1）若點是棱上的動點請判斷下列條件：①直線AM與平面ABCD所成角的正切值為；②中哪一個條件可以推斷出平面（無需說明理由），并用你的選擇證明該結(jié)論；（2）若點為棱上的一點（不含端點），試探究上是否存在一點N，使得平面ADN平面BDN？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）②，證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先連接、交于，確定是幾等分點，再確定是的幾等分點．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，平面垂直，對應(yīng)法向量垂直，數(shù)量積為，列出方程求解．【小問1詳解】條件②可以推斷平面.如圖，連接，相交于點，連EM.在梯形中，有，，.又因，所以，故，又平面，平面，所以平面.故當(dāng)時，平面.【小問2詳解】以A為原點，AD，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，設(shè)，則對于平面ADN，設(shè)其法向量，滿足，即，故取對于平面BDN，設(shè)其法向量，滿足，即，故取，若平面ADN平面BDN，則，即，解得，此時N為PC中點，.19.判斷下列不同的直線與是否平行.（1）的斜率為2，經(jīng)過，兩點；（2）經(jīng)過，兩點，平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點；（3）經(jīng)過，兩點，經(jīng)過，兩點．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】【分析】（1）利用兩直線的斜率是否相等進行判斷即可.（2）根據(jù)直線的斜率即可判斷.（3）求出兩直線的斜率即可求解.【詳解】（1）經(jīng)過，兩點，則，則，可得兩直線平行.（2）經(jīng)過，兩點，可得平行于x軸，平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點，所以；（3）經(jīng)過，兩點，，經(jīng)過，兩點，則，所以.20.雙曲線的實軸為，點是雙曲線上的一個動點，引，，與的交點為，求點的軌跡方程.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，，，由已知條件可得，即，又點在雙曲線上，代入可得，即為點的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，，，由題意可知，，否則點（或點）和點（或點）重合，不符合題意；，，利用垂直斜率關(guān)系可得，兩式相乘得①又點在雙曲線上，，即將其代入①式得，化簡整理得：所以點的軌跡方程為：【點睛】方法點睛：本題考查求動點的軌跡方程，求曲線的軌跡方程常用的方法：（1）直接法：如果題目中有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關(guān)系，求方程時可用直接法；（2）定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程；（3）代入法：如果軌跡點依賴于另一動點，而又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于的方程組，利用表示出，把代入已知曲線方程即可得到動點的軌跡方程；21.求經(jīng)過點，并且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)等軸雙曲線可設(shè)為，點代入直接求解即可.【詳解】設(shè)所求的等軸雙曲線的方程為：，將代入得：，即，所以等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：22.如圖，在三棱錐中，，O為中點.（1）證明：直線平面；（2）若點M在棱上，，且，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證得和，然后根據(jù)線面垂