2021年人教A版必修4數(shù)學(xué)第3章-三角恒等變換單元測試卷含答案

2021年人教A版必修4數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換單元測試卷含

答案

學(xué)校：班級：姓名：考號：

一、選擇題（本題共計12小題，每題5分，共計60分，）

1.已知函數(shù)/（%）=bsin（3%+口）-cos（3%+3）（0V口V",o）＞0）,其圖象兩相鄰

對稱軸間的距離為泉且圖像向左平移沙單位后關(guān)于原點對稱，則/仁）的值為（）

A.V3B.-V3C.lD.-l

2.已知sin2a=；,a6(0,：),貝ijcosa—sina=()

，.四c通

B.CD.--------

3333

3.若sin(a+/)=[,則cos2a=()

A7c7-1

A.—B.-C.—D.i

9999

4.已知角a頂點為原點，始邊與化軸非負(fù)半軸重合，點P（-百,1）在終邊上，則cos（a-

衿（）

5.已知sina=3則sin(7r+a)+cos(手—a)=()

221

A.—B.—C.—D.O

333

6.已知tan(a+/=—則2sina+cosa

cosa-sina

A.-4B.4C.5D.-5

7.已知tana=-3,tan/?=1,則tan(a-0)的值為()

i1

A.-2B.—C.2D.—

22

8.已知函數(shù)f（%）=2sincoxcos2管--sin2a）x（a）＞0）在區(qū)間［一半上是增函數(shù),

且在區(qū)間［0,兀］上恰好取得一次最大值，則3的范圍是（）

c「131cl3,cl5、

A.(0,|]c.rq,-]DUr%)

9.已知向量Q=(3,1),b=(sina,cosa),S.a//b,則tan2a=()

AB--C.-D--

i544

o

10.已知sina=a6G泮)，則tan2a=()

人24242424

A.-------B.——C—D—

725257

11.函數(shù)f（%）=cos%+V^sinx在［一兀，0］上的最大值為（）

A.lB.V3C.2D.l+V3

12.已知a,￡都是銳角,sina=|,cos(a+￡)=*則sin6

56c16-33、63

AA.-----B.——C.—D.一

65656565

二、填空題（本題共計4小題，每題5分，共計20分，）

13.在平面直角坐標(biāo)系中，角您的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與久軸的正半軸重合，若

*M央，物6Al施"

胞*:婚Y般,點在角縊的終邊上，則角嬤=.（用弧度

表示）

14.已知銳角a的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為點9，則cos2a=

2sina-cosa

15.若tana=2,則:的值為.

sina+2cosa

試卷第2頁，總18頁

16.已知函數(shù)/(x)=4sin(3x+⑴)(3>0,|初<；)的圖象如圖所示，則/(0)的值為

；函數(shù)y=/(x-§+sinx+cosx的最大值為.

三、解答題(本題共計6小題，每題11分，共計66分，)

17.己知函數(shù)/(X)=2cos2%+V3sin2x.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：

(2)在△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，a=1且/(力)=3,求△ABC面積S

的最大值.

(

18.已知/'(a)=2sin(-a)+cos7i-a)

sin(7T+a)+sin(^+a)

(1)若cosa=-|,a6(0,it),求f(a)；

(2)若f(a)=1,求sin2a.

19.已知sin-=2.

sma-cosa

⑴求tana；

(2)若tan(a-0)=1,求tan(2a—0)的值.

20.已知lOsin0+3cos0=4.

2sin0+cos0

(1)求tan。的值;

(2)求tan(20-9的值.

21.已知函數(shù)f(x)=4sin(3X+<p)(xCR,4>0,3>0,0<<p<］)的部分圖象如圖所

示，P，Q分別是圖象的最高點與相鄰的最低點，且茄=(；,1),|晶+訪|=4,。為

(1)求函數(shù)y=/Q)的解析式；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移1個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=

g{x},x6［-1,2］的值域.

22.已知函數(shù)/'(%)=cos2%+2V3sinxcosx—sin2%.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)求f(%)在區(qū)間［-葭］上的最大值和最小值.

試卷第4頁，總18頁

參考答案與試題解析

2021年人教A版必修4數(shù)學(xué)第3章三角恒等變換單元測試卷含

答案

一、選擇題(本題共計12小題，每題5分，共計60分)

1.

【答案】

C

【考點】

函數(shù)y=Asin(WX+4))的圖象變換

兩角和與差的正弦公式

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：/(%)=V3sin(a)x+9)-cos(wx+(p)

(^sin(3%+0)-cos(o)x+(p)xg

2x

=2(cos^sin(a)x+9)—sin,?cos(cox+@)]

2sin(cox+9—巴)，

6

?/圖象兩相鄰對稱軸間的距離為》

冷,r為最小正周期,

T=71,

27r27r

0)=—=—=2o,

Tn

???f(%)=2sin(2x+9—，)

/(X)向左平移g個單位后的解析式為:

O

y=2sin[2(%+§+尹一弓=2sin(2%+9+J

???/(X)向左平移3個單位后關(guān)于原點對稱,

O

「?當(dāng)％=0時，y=0,

2sin(◎+/)=0,

cp4——kn(k€Z),

6

<p—kn

6

,/0<(p<7tf

.57T

..<?=-，

???f(x)=2sin(2x+寧一：)=2sin(2%+爭,

AZ(n)=2sin(2xn+T)

c.57rc1A

=2sin—=2x-=1,

62

??個)=】?

故選C.

2.

【答案】

C

【考點】

二倍角的正弦公式

同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：已知sin2a=

所以1—sin2a=1—2sinacosa=|,

可得sin2a—2sinacosa+cos2a=|,

即(cosa—sina)2=|,

因為aG(0,.

所以cosa—sina>0,

解得cosa-sina=印.

故選C.

3.

【答案】

A

【考點】

二倍角的余弦公式

運用誘導(dǎo)公式化簡求值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由題意得，sin(a+/)=cosa=1,

則cos2a=2cos2a-1=2x(|)2—1=—

故選4

試卷第6頁，總18頁

4.

【答案】

B

【考點】

兩角和與差的余弦公式

三角函數(shù)線

【解析】

根據(jù)題意求出cosa=-'，sina=5利用兩角和與差公式展開代入即可.

【解答】

解：根據(jù)題意，cosa=-浮sina=

則cos(a--)=cosacos-+sinasin-

V3V311

=(--)X--F-X-

i2,222

31

=---1—

44

1

=—

2

故選B.

5.

【答案】

A

【考點】

三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：sin(7i+a)=—sina=-|,cos(y—a)=cos(——a)=—sina=—

所以sin(兀+a)+cos(y--a)=—|.

故選4

6.

【答案】

D

【考點】

三角函數(shù)的化簡求值

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由tan(a+])=則tana=2,

由?-2s-i-na-+-c-osa2tan—a+l

cosa-sina1-tana

故選。.

7.

【答案】

C

【考點】

兩角和與差的正切公式

【解析】

直接代入兩角差的正切公式，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：因為tana=-3,tan口=1,

tana-tan/?

所以tan(a-0)=升2.

l+tanatan^

故選C.

8.

【答案】

B

【考點】

正弦函數(shù)的周期性

三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

正弦函數(shù)的單調(diào)性

正弦函數(shù)的定義域和值域

運用誘導(dǎo)公式化簡求值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：因為/'(x)=2sina)x-cos2—9一sin2a)x

COS(0i)X-+1

=2sina)x-----------------------------sin2a)x

2

=sina)x(l+sincox)—sin2cox=sincox,

v正弦函數(shù)在％=2/C7T+三處取得最大值，

2knn

令3X=2/CTT+p/.X------1-----

32a)

■-/(x)在區(qū)間［0,7T］上恰好取得一次最大值,

0<^―<7T,解得305

232

令一1+2kn<a)x<4-2/CTT,

ATJZRn.2kn,.n,2kn

解得一瓶+茄+力,

???/(%)在區(qū)間［-與目上是增函數(shù),

試卷第8頁，總18頁

TC2TT

f

整［三3解得。式3式|,

6-2a）'

綜上，|<co<|.

故選8.

9.

【答案】

D

【考點】

二倍角的正切公式

平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】

由；〃7可得tana=3,利用二倍角的正切公式即得結(jié)果.

【解答】

解：?/a=(3,1),b=(sina,cosa),且a//b,

sincr=3cosa,即tana=3,

c2tana2x33

tan2a=------k=——r=——?

l-tan2a1-324

故選D.

10.

【答案】

A

【考點】

兩角和與差的正切公式

弦切互化

【解析】

【解答】

解：因為sina=|且］<a<|TT,

所以tana=--

4

故tan2a=2?=一處

l-tanza7

故選4.

11.

【答案】

A

【考點】

三角函數(shù)的最值

三角函數(shù)的積化和差公式

正弦函數(shù)的圖象

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：/(%)=cosx+V3sinx=2cos(x—》

%e[-7T,0],

久一巴e[_如，_勺，

3L33J

根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可知，f(x)在[―凡0]上的最大值為/(0)=1x2=1.

故選4

12.

【答案】

D

【考點】

兩角和與差的正弦公式

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】

本題考查三角函數(shù)的化簡求值.根據(jù)已知條件求出cosa=g由a,。都是銳角,cos(a+

0)=-5，求得sin(a+￡)=!|,再根據(jù)兩角差的正弦公式sin/?=sin(a+0)cosa-

cos(a+/?)sina即可得解.

【解答】

解：sina=a是銳角，

所以cosa=J1-sin2a=

因為a,/?都是銳角，

所以0Va+￡V7T,

因為cos(a+3)=—

所以sin(a+B)=J1—cos2(a+.)=||,

所以sin/?=sin[(a+/?)-?]

=sin(a4-/?)cosa—cos(a+￡)sina

_63

-65,

故選D.

二、填空題(本題共計4小題，每題5分，共計20分)

13.

【答案】

71

6

【考點】

試卷第10頁，總18頁

二倍角的正切公式

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角的正切公式求解.

【解答】

因為點、_P(1—tar??2ta吟)在角a的終邊上，

所以由三角函數(shù)的定義知tana=-之空和=tan(2x白)=tang="

1-tan2—\12/63

12

又0Va<71

所以a=￡

6

故答案為：￡

o

14.

【答案】

1

~2

【考點】

二倍角的余弦公式

任意角的三角函數(shù)

【解析】

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求得cosa的值，即可求出cos2a.

【解答】

解：若銳角a的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為&務(wù)則cosa=5

cos2a=2cos2a—1=-

2

故答案為：一￡

15.

【答案】

3

4

【考點】

弦切互化

【解析】

把所求的式子分子、分母都除以cosa,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把弦化切后，得

到關(guān)于tana的關(guān)系式，把tana的值代入即可求出值.

【解答】

解：因為tana=2,

則原式=阻空二=%二=

tana+22+24

故答案為：

4

16.

【答案】

?,或+1

【考點】

三角函數(shù)的最值

由y=Asin(3X+6)的部分圖象確定其解析式

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由函數(shù)f(x)=4sin(wx+磔)(3>0,\(p\<的部分圖象,

—r〃Fi4?IE12TIn.n

可得4=1,-T=-x—=一+-，

22336

解得3=2,可得f(%)=sin(2x+8).

再根據(jù)圖象過點&0),

可得sin(2x；+卬)=0,

(p=Jai—卷(kEZ).

vl<Pl<p

.n

?.<P=p

故f(x)=sin(2x+E),

+sinx+cosx

=sin[2(—)+g+sinx+cosx

=sin2x+sinx+cosx

=(sinx+cos%)2+(sinx+cosx)—1

=2sin2(x+：)+V2sin(x+》-1

ymax=2+V2-l=V2+l.

故答案為:~V2+1.

三、解答題(本題共計6小題，每題11分，共計66分)

17.

【答案】

解：(1);/(x)=2cos2%+V3sin2x

=1+cos2x+V3sin2x

=2sin(2x+-)+1,

6

2/CTT——<2%+&W2/CTT+-(/CGZ)?

試卷第12頁，總18頁

解得—^<X</CTT+(/cGZ).

???/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為生兀一，而+(](kwz).

36

(2)；/04)=3,，sin(2>4+-)=1.

0<A<n,2A+-=~,B|M=

626

a2=b2+c2-2bccosA,

b2+c2=y/3bc+1,

\[3bc4-1>2bc,B|J6c<24-V3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=^2+通時取得等號,

.i人?(12+V3

?.Sc——bcs\r\A工---，

24

S的最大值為?？?

【考點】

二倍角的余弦公式

兩角和與差的正弦公式

基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

余弦定理

正弦定理

正弦函數(shù)的單調(diào)性

【解析】

(1)利用二倍角公式，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求出單調(diào)

增區(qū)間；

(2)首先根據(jù)/'(4)=3求出乙4,然后由余弦定理a?=b2+c2-2bccos4及匕2+c2>

n2

2兒得出be進(jìn)而可以求出三角形面積的最大值.

2(l-cos4)

【解答】

解：(1);/(%)=2cos2%+V3sin2x

=1+cos2x+V3sin2x

=2sin(2x+7)+1,

6

.0?2/CTT——<2x+&W2kJI+5(/c€Z),

解得ATT-^<%</C7T+7(/CGZ).

3o

./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為伙兀一9kTT+m(kez).

36

(2)-.-/(4)=3,二sin(24+F)=L

6

Q<A<n,：.2/1+-=B|M=

626

a2=b2c2—2bccosA,

Z?2+c2=V3bc+1,

V3bc4-1>2bc,即be<24-V3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=42+時取得等號,

.1i,.(72+A/3

?.Sc——bcs\v\A工----,

24

s的最大值為竽

18.

【答案】

2sin(-a)+cos(7r-a)_-2sina-cosa

解：(1)/(?)=

sin(7r+a)+sin(^+a)-sina+cosa

由cosa=-￡aE(0,TT),得sina=g,

_8.3

5

/(a)=-H

7’

-2sina-cosa-2tana-l.

(2)由f(Q)=l,即—：------=--------=1,

-sina+cosa-tana+1

得tana=-2,

.cr.2tana4

sin2a=zsinacosa=----丁

l+tan2a5,

【考點】

三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值

正弦函數(shù)的奇偶性

【解析】

此題暫無解析

【解答】

2sin(-a)+cos(7T-a)_-2sina-cosa

解:(1)/(Q)=

sin(7r+a)+sin(-+a)-sina+cosa

由cosa=—￡a6(0,n),得sina=:

8-

???/(a)=±—+i=|c.

-2sina-cosa—2tana-l.

(2)由/(a)=l,即—：------=--------=1,

-sina+cosa-tana+1

得tana=-2,

「.2tana4

sin2a2sinacosa=----▽

l+tan2a5,

19.

【答案】

試卷第14頁，總18頁

tana+1

解：(1)因為史g2,

sma-cosatana-1

所以tana=3.

(2)tan(2a—S)=tan[a+(a—￡)]

tana+tan(a-0)

=---------；——=—2.

l-tanatan(a-^)

【考點】

兩角和與差的正切公式

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)因為陋3=則空1=2,

sma-cosatana-1

所以tana=3.

(2)tan(2a—￡)=tan[a+(a-￡)]

tana+tan(a-^)

=---------；——=—2.

l-tanatan(a-^)

20.

【答案】

解：(1)由題意知：lOsinfl+3cos0=8sin0+4cos。,

2sin0=cos。，

所以tan。=

(2)由(1)知tan26=M^

tan2^-tany

所以tan(2。-9=__________41

l+tan20tan—

47

【考點】

二倍角的正切公式

三角函數(shù)的化簡求值

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：(1)由題意知:lOsin0+3cos0=8sin0+4cos0,

2sin0=cos。，

所以tan。=

2tan0_2x|_4

(2)由⑴知tan20=l-tan20-i-l-3"

4

JT4

tan20—tan---1i

所以tan(29—§__________=3__士

l+tan26tan=1+-7

43

21.

【答案】

解：(1)由題意得：

0P=(^,1),

P的縱坐標(biāo)為1,