第04講平行線和垂線（知識解讀真題演練課后鞏固）

第4講平行線和垂線1.理解垂線的定義、點到直線的距離的定義，掌握垂線的性質(zhì)；掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表示平行線的判定公理及定理，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式，通過學(xué)生畫圖、討論、推理等活動，給學(xué)生滲透化歸思想和分類思想．知識點1：垂線1．垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．如下圖，兩條直線互相垂直，記作或AB⊥CD垂直于點O.注意：垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：CD⊥AB．2．垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．注意：(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段．3．垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．4．點到直線的距離：定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離．圖如圖4所示，m的垂線段PB的長度叫做點P到直線m的距離。注意：點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度．知識點2：平行線的定義及畫法1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a∥b．注意：(1)平行線的定義有三個特征：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可；(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．特別地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．：用直尺和三角板作平行線的步驟：①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.知識點3：平行公理及推論1．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．2．推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．記作：如果a∥b，a∥c，那么a∥c注意：(1)平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．（2）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性【題型1垂線的定義和性質(zhì)】【典例1】（2022春?平泉市期末）下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）A．B． C．D．【答案】C【解答】解：∵三角板有一個角是直角．∴三角板的一條直角邊與直線AB重合．∵過點P作直線AB的垂線．∴三角板的另一條直角邊過點P．∴符合上述條件的圖形只有選項C．故選：C．【變式1】（2022春?都江堰市校級期中）已知點P在直線l上，過點P畫直線l的垂線，可以畫出多少條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【解答】解：∵在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，∴點P畫直線l的垂線，只能畫一條．故選：A．【典例2】（2022春?東莞市校級期中）如圖，點P到直線公路MN共有四條路，若要從點P到公路，用相同速度行走，最快到達(dá)的路徑是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【答案】B【解答】解：∵從點P到公路，用相同速度行走，最快到達(dá)，∴需要點P到公路MN的距離最短，∵垂線段最短，∴PB是最快到達(dá)的路徑．故選：B．【變式21】（2022春?思明區(qū)校級期中）某工程隊計劃把河水引到水池A中，他們先過A點作AB⊥CD，垂足為B，CD為河岸，然后沿AB開渠，可以節(jié)約人力、物力和財力，這樣設(shè)計的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩點之間線段最短 B．過一點有且只有一條直線垂直于已知直線 C．經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線 D．垂線段最短【答案】D【解答】解：從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短，故選：D．【變式22】（2022春?交城縣期中）如圖，為了解決村民飲水困難，需要在河邊建立取水點，下面四個點中哪個最方便作為取水點（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【解答】解：如圖，設(shè)村莊為點E，由于EB⊥AD，點B到村莊的距離最近．故選：B．【典例3】（2022春?巨野縣期中）直線l上有A、B、C三點，直線l外有一點P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P點到直線l的距離是（）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm【答案】C【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，∴P點到直線l的距離不大于2cm．故選：C．【變式31】（2022春?浦北縣期末）如圖，量得直線l外一點P到l的距離PB的長為6cm，若點A是直線l上的一點，那么線段PA的長不可能是（）cm cm cm D．8cm【答案】A【解答】解：直線l外一點P到l的距離PB的長為6cm，點A是直線l上的一點，那么線段PA的長最短等于6cmcm，故選：A．【變式32】（2022春?遜克縣期末）如圖，線段AB外有一點P過點P作PE⊥AB垂足為E，連接PA、PB，PA＝8cm，PB＝6cm，PEcm，若M是線段AB上任意一點，則P到M的最短距離為（）A．8cm B．6cm cm D．無法確定【答案】C【解答】解：根據(jù)垂線段最短，則P到Mcm，故選：C．【變式33】（2022春?南平期末）如圖，在三角形ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，則下列線段的長度可以表示為點B到直線AC距離的是（）A．BD B．BC C．AB D．CD【答案】B【解答】解：點B到直線AC距離的是線段BC的長度，故選：B．【題型2平行線的定義】【典例4】（2021春?和平區(qū)校級月考）下列語句正確的有（）個①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行②過一點有且只有一條直線和已知直線平行③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b④若直線a∥b，b∥c，則c∥a．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解答】解：①任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行，說法錯誤，應(yīng)為根據(jù)同一平面內(nèi)，任意兩條直線的位置關(guān)系不是相交就是平行；②過一點有且只有一條直線和已知直線平行，說法錯誤，應(yīng)為過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行；③過兩條直線a，b外一點P，畫直線c，使c∥a，且c∥b，說法錯誤；④若直線a∥b，b∥c，則c∥a，說法正確；故選：D．【變式4】（2022春?長沙期中）在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是．【答案】相交和平行【解答】解：在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系是平行和相交，故答案為：平行和相交．【題型3：平行線公理及推論】【典例5】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．不相交的兩條直線叫做平行線 B．同一平面內(nèi)，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直 C．平角是一條直線 D．過同一平面內(nèi)三點中任意兩點，只能畫出3條直線【答案】B【解答】解：A．應(yīng)強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)，錯誤；B．同一平面內(nèi)，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直，正確；C．直線與角是不同的兩個概念，錯誤；D．過同一平面內(nèi)三點中任意兩點，能畫出3條直線或1條直線，故錯誤．故選：B．【變式5】（2022秋?奉化區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．兩點之間，直線最短 B．永不相交的兩條直線叫做平行線 C．若AC＝BC，則點C為線段AB的中點 D．兩點確定一條直線【答案】D【解答】解：A、兩點之間，線段最短，故本選項說法錯誤；B、同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線，故本選項說法錯誤；C、若AC＝BC且點A、B、C共線時，則點C為線段AB的中點，故本選項說法錯誤；D、兩點確定一條直線，故本選項說法正確．故選：D．【典例6】（2022春?麒麟?yún)^(qū)期末）下列說法正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b⊥c，則a∥c D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a⊥c【答案】A【解答】解：先根據(jù)要求畫出圖形，圖形如下圖所示：根據(jù)所畫圖形可知：A正確．故選：A．【變式61】（2022春?陽春市校級月考）下列說法中，正確的個數(shù)為（）（1）過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果兩線段不相交，那么它們就平行（4）如果兩直線不相交，那么它們就平行A．1個A B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解答】解：（1）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤；（2）根據(jù)平行公理的推論，正確；（3）線段的長度是有限的，不相交也不一定平行，故錯誤；（4）應(yīng)該是“在同一平面內(nèi)”，故錯誤．正確的只有一個，故選A．【變式62】（2022春?饒平縣校級期中）若AB∥CD，AB∥EF，則∥，理由是．【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF，理由是：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行，故答案為平行于同一條直線的兩條直線互相平行．1．（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點是（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【解答】解：根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK，如圖所示：根據(jù)圖形可以看出OB是反射光線，故選：B．2．（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點確定一條直線 C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．3．（2022?河南）如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（）A．26° B．36° C．44° D．54°【答案】B【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故選：B．4．（2021?杭州）如圖，設(shè)點P是直線l外一點，PQ⊥l，垂足為點Q，點T是直線l上的一個動點，連結(jié)PT，則（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【答案】C【解答】解：∵PQ⊥l，點T是直線l上的一個動點，連結(jié)PT，∴PT≥PQ，故選：C．5．（2020?樂山）如圖，E是直線CA上一點，∠FEA＝40°，射線EB平分∠CEF，GE⊥EF．則∠GEB＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【解答】解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵射線EB平分∠CEF，∴，∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，故選：B．6．（2020?河北）如圖，在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】D【解答】解：在同一平面內(nèi)，與已知直線垂直的直線有無數(shù)條，所以作已知直線m的垂線，可作無數(shù)條．故選：D．7．（2020?陜西）如圖，AC⊥BC，直線EF經(jīng)過點C，若∠1＝35°，則∠2的大小為（）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故選：B．1．（2023秋?埇橋區(qū)期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【答案】C【解答】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個交點，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點，兩條直線平行，故C正確；故選：C．2．（2023?濱湖區(qū)一模）如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線a外一點O的4條直線中，與直線a相交的直線至少有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條【答案】B【解答】解：根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出如果有和直線a平行的，只能是一條，即與直線a相交的直線至少有3條，故選：B．3．（2023春?瀘縣校級期中）下列說法正確的是（）A．經(jīng)過一點有一條直線與已知直線平行 B．經(jīng)過一點有無數(shù)條直線與已知直線平行 C．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線平行 D．經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【答案】D【解答】解：根據(jù)平行線公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，可判斷只有D選項正確．故選：D．4．（2023春?冠縣期中）同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，則c、d的位置關(guān)系為（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．沒有確定關(guān)系【答案】B【解答】解：如圖，∵a∥b，a⊥c，∴c⊥b，又∵b⊥d，∴c∥d．故選：B．5．（2022春?連平縣校級期中）在同一個平面內(nèi)，直線a、b相交于點P，a∥c，b與c的位置關(guān)系是（）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交【答案】B【解答】解：∵在同一個平面內(nèi)，直線a、b相交于點P，a∥c，∴b與c的位置關(guān)系是相交，故選：B．6．（2022春?庫車市校級月考）過直線l外一點A作l的平行線，可以作（）條．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：因為平行公理：過已知直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．故選：A．7．（2022春?海淀區(qū)校級期中）下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c【答案】D【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本選項錯誤；B、在同一平面內(nèi)，當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a∥c，故本選項錯誤；C、當(dāng)a∥b，b⊥c時，a⊥c，故本選項錯誤；D、當(dāng)a∥b，b∥c時，a∥c，故選項正確；故選：D．8．（2022秋?江北區(qū)期末）在下列圖形中，線段PQ的長表示點P到直線MN的距離的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，∴線段PQ是P到直線MN的垂線段，PQ⊥MN，選項B，C，D中PQ與MN不垂直，選項A符合題意．故選：A．9．（2023春?順德區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥CD于點O，若∠BOE＝40°，則∠AOC等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠BOE＝40°，∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝50°．故選：C．10．（2023?長春模擬）下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（）A．測量跳遠(yuǎn)成績 B．木板上彈墨線 C．兩釘子固定木條 D．彎曲河道改直【答案】A【解答】解：A、測量跳遠(yuǎn)成績是利用了“垂線段最短”，故本選項合題意．B、木板彈出一條墨跡是利用了“兩點確定一條直線”，故本選項不合題意；C、用兩個釘子就可以把木條固定在墻上是利用了“兩點確定一條直線”，故本選項不合題意；D、把彎曲的河道改直，就能縮短路程是利用了“兩點之間，線段最短”，故本選項不符合題意；故選：A．11．（2022秋?榆樹市期末）如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點之間，直線最短 C．兩點確定一條直線 D．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短【答案】D【解答】解：將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路可走AB、AC、AD，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是垂線段最短．故選：D．12．（2023春?千山區(qū)期中）如圖，P是直線l外一點，A，B，C三點在直線l上，且PB⊥l于點B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①線段BP的長度是點P到直線l的距離；②線段AP是A點到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長度是點P到直線l的距離A．①②③