2022-2023學年八年級數(shù)學常考點精練（蘇科版）：專題06 旋轉(zhuǎn)證全等（原卷版）

專題06旋轉(zhuǎn)證全等類型一等腰三角形中的旋轉(zhuǎn)證全等1．已知：如圖，在等邊三角形中，點，分別在邊和上，且．以為邊作等邊三角形，連接，，．（1）你能在圖中找到一對全等三角形嗎？請說明理由；（2）圖中哪個三角形可以通過旋轉(zhuǎn)得到另一個三角形？請說明是怎樣旋轉(zhuǎn)的．2．復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如下圖①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，連接BQ，CP，則BQ＝CP．”（1）小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ＝CP．請你幫小亮完成證明；（2）之后，小亮又將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ＝CP”仍然成立嗎？若成立，請你就圖②給出證明；若不成立，請說明理由．3．如圖①，、均為等邊三角形，點D、E分別在邊AB、AC上．將ADE繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，連結BD、CE．（1）如圖②，可以根據(jù)三角形全等判定定理_________證得．（A）邊邊邊；（B）邊角邊；（C）角邊角；（D）角角邊．（2）如圖③，求證：．（3）當點D、E、C在同一條直線上時，∠EDB的大小為________度．4．閱讀材料：小胖同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形．小胖把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，則BD＝CE,(1)在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學總結規(guī)律，構造“手拉手”圖形來解答下面的問題：(2)如圖2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求證：AD+CD＝BD；(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，點E為△ABC外一點，點D為BC中點，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）．5．如圖1，以AB為腰向兩側(cè)分別作全等的等腰△ABC和△ABD，過頂角的頂點A作∠MAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），將∠MAN的邊AM與AC疊合，繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與射線CB、BD分別交于點E、F．設旋轉(zhuǎn)角度為β．（1）如圖1，當0°＜β＜α時，說明線段BE＝DF的理由；（2）當α＜β＜2α時，在圖2中畫出符合題意的圖形并寫出此時線段CE、FD與線段BD的數(shù)量關系是．（直接寫出答案）（3）聯(lián)結EF，在∠MAN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中（0°＜β＜2α），當線段AD⊥EF時，用含α的代數(shù)式表示∠CEA＝（直接寫出答案）．類型二等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)證全等6．兩塊等腰直角三角尺與（不全等）如圖（1）放置，則有結論：①②；若把三角尺繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，如圖（2）所示，判斷結論：①②是否都還成立？若成立請給出證明，若不成立請說明理由．7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點，∠EDF=90°．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，則圖中全等三角形一共有對；（2）【類比探究】若將∠EDF繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到E、F點分別在AB、CA延長線上時，BE=AF嗎？請利用圖②說明理由．（3）【解決問題】連結EF，把△EDF把繞點D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到DF與△ABC的腰所在的直線垂直時，請直接寫出∠BDF的度數(shù).8．旋轉(zhuǎn)變換是全等變換的一種形式，我們在解題實踐中經(jīng)常用旋轉(zhuǎn)變換的方法來構造全等三角形來解決問題．（1）方法探究：如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E在邊BC上，∠DAE=45°試探究線段BD、CE、DE可以組成什么樣的三角形．我們可以過點B作BF⊥BC，使BF=EC，連接AF、DF，易得∠AFB=45°進而得到△AFB≌△AEC，相當于把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB，請接著完成下面的推理過程：∵△AFB≌△AEC，∴∠BAF=，AF=AE，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠CAE=，∴∠BAF+∠BAD=45°，∴∠DAF=45°=，在△DAF與△DAE中，AF=AE，∠DAF=∠DAE，AD=AD，∴△DAF≌△DAE，∴DF=，∵BD、BF、DF組成直角三角形，∴BD、CE、DE組成直角三角形.（2）方法運用①如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，點E在邊BC上，點F在邊CD上，∠EAF=45°試判斷線段BE、DF、EF之間的數(shù)量關系，并說明理由．②如圖③，在①的基礎上若點E、F分別在BC和CD的延長線，其他條件不變，①中的關系在圖③中是否仍然成立？若成立請說明理由；若不成立請寫出新的關系，并說明理由．9．已知：△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點M，連接BM和DM．（1）如圖1，如果點D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關系與位置關系是；（2）將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，判斷（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由．類型三多邊形中的旋轉(zhuǎn)證全等10．如圖，四邊形是正方形，點E在上，點F在的延長線上，，在此圖中是否存在兩個全等的三角形？其中一個三角形能夠通過旋轉(zhuǎn)另外一個三角形而得到嗎？11．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=45°，把△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，請直接寫出圖中所有的全等三角形；（2）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°.①如圖2，若E、F分別是邊BC、CD上的點，且2∠EAF=∠BAD，求證：EF=BE+DF；②若E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且2∠EAF=∠BAD，①中的結論是否仍然成立？請說明理由12．近年來，我校的學習小組搞得有聲有色，同學們合作交流、勇于探討．一次，某學習小組在討論這樣的一個題目：如圖1，已知，，求五邊形的面積．孔明說：“延長到，使得，再