2022-2023學年八年級數(shù)學?？键c精練（蘇科版）：專題11 兩圓一線法求第三點與已知兩點構(gòu)成等腰三角形（解析版）

專題11兩圓一線法求第三點與已知兩點構(gòu)成等腰三角形1．如圖，在中，．點是直角邊所在直線上一點，若為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)最多為（

）A．3個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】D【解析】【分析】分為三種情況：①BP=AB，②AP=AB，③AP=BP，再求出答案即可．【詳解】解：作BC、AC所在直線，然后分別以B、A點為圓心，以AB為半徑作圓分別交BC、AC所在直線于6點，再作AB的垂直平分線與BC所在直線交于2點，總共符合條件的點P的個數(shù)最多有8個，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)．能求出符合的所有情況是解此題的關鍵．2．如圖，點A在直線MN上，點B在直線MN上方，點P為直線MN上一動點，當△ABP為等腰三角形時，則滿足條件的點P的個數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】分三種情況：PA＝PB、AP＝AB及BP＝BA時，分別畫出圖形即可得出點P的個數(shù)．【詳解】解：分三種情況：情況一：當PA＝PB時，點P在AB的垂直平分線上，滿足條件的點P的為1個，如下圖為P1；情況二：當AP＝AB時，相當于以A點為圓心，AB為半徑作圓，P點在該圓弧與直線MN的交點處，如下圖所示，滿足條件的點P有2個，分別為P2和P3；情況三：當BP＝BA時，相當于以B點為圓心，BA為半徑作圓，P點在該圓弧與直線MN的交點處，如下圖所示，滿足條件的點P有1個，為P4；綜上所述，滿足條件的點P的個數(shù)有4個，故選：C．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定定理及等腰三角形的存在性問題，分類討論的思想等，根據(jù)垂直平分線的定義正確作出圖形是解決本題的關鍵．3．如圖，直線，相交于點，，點在直線上，直線上存在點，使以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，則點的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三種情況討論．【詳解】∵直線，相交于點，，點在直線上，直線上存在點，∴當OB=OA時，有兩個B點是B1、B2，OB1=OA時，∠OB1A=∠OAB1=∠1=25°，OB2=OA時，∠OB2A=∠OAB2=（180°-∠1）=65°；當AO=AB時，有一個B點是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；當BO=BA時，有一個B點是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，點的個數(shù)是4個．故選C．【點睛】本題考查了因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題，解決問題的關鍵是三角形的三邊兩兩相等都有可能，有三種可能情況，分類討論．4．已知：如圖，經(jīng)過線段一端點A有一直線l，直線上l存在點C，使為等腰三角形，這樣的點C有（

）個．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】以B為圓心，以AB的長為半徑畫弧與直線l交于點D，此時AB=BD，同理以A為圓心以AB的長為半徑與直線l交于E、C，此時AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分線與直線l交于點F，此時AF=BF．【詳解】解：如圖所示，以B為圓心，以AB的長為半徑畫弧與直線l交于點D，此時AB=BD，同理以A為圓心以AB的長為半徑與直線l交于E、C，此時AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分線與直線l交于點F，此時AF=BF，∴一共有4個點滿足題意，故選C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的定義．5．如圖所示，直線m，n交于點B，m，n的夾角為，A是直線m上的點，在直線n上尋找一點C，使是等腰三角形，這樣的點C有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】【分析】分別以∠A、∠B、∠C為頂角進行討論即可求得答案．【詳解】解：∵△ABC為等腰三角形，∴分三種情況：①當以∠C為頂角時，則有BC=AC，即點C在線段AB的垂直平分線上，可知滿足條件；②當以∠A為頂角時，則有AC=AB，由兩直線夾角為50°，可知此時點C只能在直線m的上方，有一個點；③當以∠B為頂角時，則有AB=CB，此時點C可以在直線m的上方，也可以在直線n的上方，有兩個點，綜上可知滿足條件的C點有4個，故選：D．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定，由條件確定出點C的位置是解題的關鍵，注意分類討論．6．如圖，直線a，b相交形成的夾角中，銳角為52°，交點為O，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O，A，B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的點B有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】【分析】以點O、A、B為頂點的等腰三角形有3種情況，分別為，，，從這三方面考慮點B的位置即可．【詳解】解：如圖所示，①當時，以點O為圓心，OA為半徑作圓，與直線b在O點兩側(cè)各有一個交點，此時B點有2個；②當時，以點A為圓心，OA為半徑作圓，與直線b有另外一個交點，此時B點有1個；③當時，作OA的垂直平分線，與直線b有一個交點，此時B點有1個，綜上，B點總共有4個，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，兩條邊相等的三角形為等腰三角形，因此要注意分類討論，由每種情況的特點選擇合適的方法確定點B是解題的關鍵．7．如圖，直線l1、l2相交于點A，點B是直線外一點，在直線l1或l2上找一點C，使△ABC為一個等腰三角形．滿足條件的點C有（

）

A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】D【解析】【分析】以A為圓心，AB長為半徑畫??；以B為圓心，AB長為半徑畫弧，再作AB的垂直平分線分別找出交l1、l2點的個數(shù)即可．【詳解】解：以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交l1、l2于4個點；以B為圓心，AB長為半徑畫弧交l1、l2于2個點，再作AB的垂直平分線交l1、l2于2個點，共有8個點，故選：D．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定，關鍵是掌握兩邊相等的三角形是等腰三角形．8．如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】分AB為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點C的個數(shù)．【詳解】解：如下圖：當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作圓，可找出格點C的個數(shù)有2個；當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有1個，所以點C的個數(shù)為：2+1=3．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，能分以AB為底和以AB為腰兩種情況，并畫出圖形是解題關鍵．9．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】【分析】當AB為腰時，分別以點A、點B為圓心，AB長為半徑畫圓，觀察此時滿足條件的格點數(shù)；當AB為底邊時，作線段AB的垂直平分線，觀察此時滿足條件的格點數(shù)，由此得到答案．【詳解】解：如下圖：當AB為腰時，分別以點A、點B為圓心，AB長為半徑畫圓，觀察可知滿足條件的格點共4個；當AB為底邊時，作線段AB的垂直平分線，觀察可知滿足條件的格點共4個，所以C是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形的點數(shù)共8個．故選：C【點睛】本題考查格點圖中尋找可與已知兩點構(gòu)成等腰三角形的點，熟練掌握分類討論思想是解題的關鍵．10．如圖所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一條邊為邊畫等腰三角形，使它的第三個頂點在△ABC的其他邊上，則這樣的點有（

）A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和線段垂直平分線的性質(zhì)分情況討論求解即可．【詳解】解：①如圖1，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，△BCD就是等腰三角形；②如圖2，以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E，△ACE就是等腰三角形；③如圖3，以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點F，△BCF就是等腰三角形；④如圖4，作AC的垂直平分線交AB于點H，△ACH就是等腰三角形；⑤如圖5，作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形；⑥如圖6，作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI是等腰三角形．故選：B．如圖，【點睛】本題考查等腰三角形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)以及學生的動手操作能力，熟練掌握等腰三角形的判定，學會分類討論的思想是解答的關鍵．11．等邊三角形所在平面內(nèi)有一點，且點不與點，，重合，使得，，都是等腰三角形，這樣的點共有（

）A．1個 B．4個 C．7個 D．10個【答案】D【解析】【分析】當點P在三角形的內(nèi)部時，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，則點P是三角形的外心，當點P在三角形的外部時，只要每條邊的垂直平分線上的點到三角形的各個頂點連接而成的三角形是等腰三角形即可．【詳解】如圖所示：當點P在三角形的內(nèi)部時，點P到△ABC的三個頂點的距離相等，則點P是三角形的外心，分別以三角形各頂點為圓心，邊長為半徑，與各邊的垂直平分線的交點就是滿足要求的點，每條垂直平分線上有3個交點，再加上三角形的外心，一共有10個點．故選D．【點睛】本題主要考查等腰三角形的定義，掌握中垂線的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)，是解題的關鍵．12．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有___個．【答案】4【解析】【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個交點；同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個交點；作AB的垂直平分線與BC有一個交點，即有1+2+1＝4個，故答案為4．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應用，主要考查學生的理解能力和動手操作能力．13．已知在中，且為最小的內(nèi)角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成兩個等腰三角形，則_______【答案】123°或132°或90°或48°【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)分情況討論即可求解．【詳解】解：如圖，若BC=CD，AD=BD，由題意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°，∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°，∵∠ADB=180°-82°=98°，則在BC=CD的前提下只有AD=BD；如圖，若CD=BD，AB=BD，由題意可得：∠DBC=∠C=16°，∴∠ADB=2∠C=32°，∴∠A=∠ADB=32°，∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°，符合最小的內(nèi)角為∠C=16°，如圖，若BD=CD，AB=AD，則∠C=∠DBC=16°，∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°，∴∠A=180°-2×32°=116°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°；如圖，若BD=CD，AD=BD，∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°，∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°；若BD=BC，則∠C=∠CDB=16°，∴∠ADB=180°-∠CDB=164°，則只能滿足AD=BD，∴∠A=∠CDB=8°，即∠A＜∠C，不滿足；綜上：∠ABC的度數(shù)為123°或132°或90°或48°．故答案為：123°或132°或90°或48°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是畫出圖形，分情況討論．14．如圖，的點在直線上，，若點P在直線上運動，當成為等腰三角形時，則度數(shù)是_______．【答案】10°或80°或20°或140°【解析】【分析】分三種情形：，，分別求解即可解決問題．【詳解】解：如圖，在中，，①當時，，，②當時，，③當時，，綜上所述，滿足條件的的值為或或或．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于?？碱}型．15．如圖，在中，，，在直線或直線上取點，使得為等腰三角形，符合條件的點有_______個．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB=AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM=BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA=MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故答案為：8．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．16．如圖，已知點P是射線上一動點（點P不與點B重合），，，則當______時，以A，O，B三點中的任意兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．【答案】45°或67.5°或75°或90°【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出符合的情況，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：分為以下5種情況：①OA=OP，∵∠AOB=45°，OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=×（180°-45°）=67.5°；②OA=AP，∵∠AOB=45°，OA=AP，∴∠APO=∠AOB=45°，∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-45°=90°；③AB=AP，∵∠ABM=60°，AB=AP，∴∠APO=∠ABM=60°，∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°；④AB=BP，∵∠ABM=60°，AB=BP，∴∠BAP=∠APO=×（180°-60°）=60°，∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°；⑤AP=BP，∵∠ABM=60°，AP=BP，∴∠ABM=∠PAB=60°，∴∠APO=180°-60°-60°=60°，∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-45°-60°=75°；⑥當AP=OP時，∴∠AOP=∠OAP=45°；所以當∠OAP=45°或67.5°或75°或90°時，以A、O、B中的任意兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形，故答案為：45°或67.5°或75°或90°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識點，能畫出符合的所有圖形是解此題的關鍵．17．如圖，已知，點，在邊上，，，點是邊上的點，若使點，，構(gòu)成等腰三角形的點恰好只有一個，則的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論，分別求解范圍即可．【詳解】①如圖1，當時，即，以為圓心，以2為半徑的圓交于點，此時，則點，，構(gòu)成的等腰三角形的點恰好只有一個．②如圖2．當時，即，過點作于點，∴．∴，作的垂直平分線交于點，則．此時，以，，構(gòu)成的等腰三角形的點恰好有2個．則當時，以，，構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個．綜上，當或時，以，，構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個．【點睛】本題考查等腰三角形的判定，主要通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，解題關鍵在于熟練掌握已知一邊，作等腰三角形的畫法．18．如圖為一張藏寶圖，已知秘密寶藏藏在圖中的某個黑點標示的位置．建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，現(xiàn)知道的直角頂點的位置的坐標為，點位置的坐標為．經(jīng)過調(diào)查，秘密寶藏的位置滿足為條件：為非等腰的銳角三角形．點位置的坐標為______，符合條件的點的個數(shù)為______個．【答案】

；

4【解析】【分析】根據(jù)已知點的坐標建立平面坐標系，即可得到點A的坐標，再根據(jù)等腰三角形的判定和銳角三角形的定義，結(jié)合圖形即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵為直角三角形，點坐標為，點坐標為，∴所在直線為軸，垂直于所在直線為軸，如圖所示：∴點坐標為．∵為非等腰的銳角三角形，∴點不能在過點垂直于的直線上（不能等腰），點不能在軸上（），不能在軸左側(cè)（），由對稱性可知點不能在過點垂直于軸垂線上，以及右側(cè)，下方那兩點也不能（），∴滿足條件點，如圖所示：，，，，共4個，故答案為：（0，0）；4．【點睛】本題考查由點的坐標確定平面直角坐標系、等腰三角形、銳角三角形，理解等腰三角形和銳角三角形的定義，正確建立平面直角坐標系是解答的關鍵．19．如圖，中，，，在射線上找一點D，使為等腰三角形，則的度數(shù)為_____．【答案】75°或120°或15°【解析】【分析】分為三種情況，先畫出圖形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：如圖，有三種情形：①當AC=AD時，∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠CAB=30°，∵AC=AD，∴∠ADC=∠DCA=（180°-∠CAB）=75°；②當CD′=AD′時，∵∠CAB=30°，∴∠D′CA=∠CAB=30°，∴∠AD′C=180°-30°-30°=120°．③當AC=AD″時，則∠AD″C=∠ACD″，∵∠CAB=30°，∠AD″C+∠ACD″=∠CAB，∴∠AD″C=15°，故答案為：75°或120°或15°．【點睛】本題考查等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．20．如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是__________．【答案】a＞8或a=4【解析】【分析】如圖，作線段MN的垂直平分線交OB于點OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，另外當△PMN是等邊三角形時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個．【詳解】如圖，作線段MN的垂直平分線交OB于點OP，連接PM，PN，則PM=PN，△PMN是等腰三角形，過點M作MH⊥OB于H，當MH＞MN，即MH＞4時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個，當MH=4時，∵∠AOB=30°，∴OM=2MH=8，∴當a＞8時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個，另外當△PMN是等邊三角形時，滿足構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個，此時a=4，故答案為：a＞8或a=4【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會特殊位置解決問題．21．如圖，，是延長線上一點，若，動點從點出發(fā)沿以的速度移動，動點從點沿以的速度移動，如果點、同時出發(fā)，用表示移動的時間，當______時，是等腰三角形？【答案】6或18【解析】【分析】分點P在線段OC上和點P在線段OB上兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形的定義列出等式，求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）點P在線段OC上時，若ΔPOQ是等腰三角形，則只有OP=OQ才滿足因此有18?2t=t解得t=6(s)（2）點P在線段OB上時，若ΔPOQ是等腰三角形，∵∴ΔPOQ也是等邊三角形因此有2t?18=t解得t=18(s)綜上，當t等于6s或18s時，ΔPOQ是等腰三角形故答案為：6或18．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵．三、解答題(共0分)22．如圖，在直線上有一點，直線外有一點，點在直線上，是以、為腰的等腰三角形．（1）在圖中畫出（2）已知，求【答案】（1）見解析；（2）70°或20°【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形（注意有兩種情形）．（2）分兩種情形，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖，△ABC，△ABC′即可